2.1 Prototype Analog Butterworth LPF

최대평탄(maximally flat) 특성을 갖는 Prototype Analog Butterworth LPF 주파수 진폭 특성은 식(1.1)과 같다^(4-11).

식(1.1)로부터 직류(ω = 0)이득은 1이고 0[dB]이며, $\left|H_N\right(j\omega \left)\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}$이 되는 주파수 즉 $\frac{\omega }{{\omega }_c}=1$로 되는 주파수 ω = ω_c를 차단주파수라 한다. ω = ∞이면 |H_N(jω)| = 0이고, ω가 커지면 단조로운 감소특성을 보이고 작아지면 0dB에 가까워지며, 그림. 2.1과 같이 차수 N에 따라 통과 대역에서의 진폭특성이 차수 N이 커질수록 이상적인 최대 평탄특성과 비교적 급준한 차단 특성을 갖는다.

그림. 2.1에서 차단주파수는 통과대역 전력의 1/2, 즉 3[dB] 감쇠인 10.8[kHz]로 설정하였으며 샘플링 주파수는 48[kHz]로 하였다.

2.2 Prototype Analog Chebyshev LPF

일반적으로 Butterworth 필터는 통과대역에서 리플이 없지만 체비세프 필터는 등맥동(equiripple)의 리플이 존재한다. 급준한 skirt 경사 특성을 갖는 Prototype Analog Chebyshev LPF의 주파수 응답 식은 식(1.2)와 같다^(4-12).

여기서 ε은 통과대역의 리플조절 매개변수(regulating parameter)이고 C_N은 Chebyshev 다항식이다. $\frac{\omega }{{\omega }_c}$을 1로 정규화(normalizing)하여 ω로 표시하면 다항식 C_N은 식(1.3)과 같다^(1-6).

통과대역 리플(passband ripple)을 A_p = 1[dB]로 놓으면 통과대역 리플조절 매개변수(regulating parameter) ε은 식(1.4)와 같이 구해진다⁽³⁾.

통과대역 리플 A_p = 1[dB], 통과대역 주파수는 9.8[kHz], 샘플링 주파수는 48[kHz]로 하였을 때의 체비세프의 주파수에 대한 진폭특성은 그림. 2.2와 같다. 필터의 차수 N이 커질수록 급준한 skirt 특성을 가지며 통과대역에서 등맥동한다.

2.3 Frequency Transformation

prototype analog LPF를 BPF로 주파수 변환하기 위해서는 먼저 원하는 디지털 필터의 스펙으로부터 prototype analog LPF를 유도하고, 유도한 LPF를 원하는 특성의 필터, 즉 BPF나 HPF 등으로 변환시킨다. 본 논문에서 원하는 필터 특성은 BPF이므로 BPF의 하한 주파수(lower edge frequency) ω_L과 상한 주파수 ω_H를 결정하여 저역 필터의 전달함수 H(s)에 식(1.5)를 대입하여 BPF의 전달함수를 구한다^(4,6-9).

여기서, ω_c는 중심주파수이며 ${\omega }_c^2$=ω₁·ω₂이고, B는 대역폭이며 B=ω₂-ω₁이다.

식(1.5)에 의해 구한 BPF의 전달함수 H(s)를 식(1.6)의 쌍선형 z변환(bilinear z transform)을 적용하여 디지털 IIR 필터 전달함수 H(z)을 구한다.

식(1.6)에 의해 쌍선형 변환을 하면 주파수 응답의 왜곡현상이 발생하는데 이를 보상하기 위해, 즉 아날로그 주파수 응답과 디지털 주파수 응답이 원하는 주파수 범위에서 매우 비슷해지도록 하기 위해 미리 식(1.7)을 대입하여 프리워핑(prewarping)시킨다^(4,9,10).

여기서 ω_c'는 디지털 임계 주파수이며, ω_c는 아날로그 임계주파수이다.

prototype analog LPF의 중심주파수 ω_c를 식(1.7)에 대입하여 프리워핑한 후 식(1.5)에 대입하여 BPF로 주파수 변환하고, 마지막으로 쌍선형 변환 식(1.6)에 대입함으로써 디지털 IIR 필터의 전달함수 H(z)을 구할 수 있다^(2,4-6). 주파수 변환된 BPF의 주파수 응답을 그림. 2.3과 그림. 2.4에 나타내었다.

그림. 2.3은 Prototype Analog Butterworth LPF를 BPF로 주파수 변환한 BPF의 주파수 응답이며, 그림. 2.4는 Prototype Analog Chebyshev LPF를 BPF로 주파수 변환한 주파수 응답이다.

주파수 변환된 BPF는 Prototype LPF의 차수보다 식(1.5)에 의해 2배가 되는데⁽⁴⁾, 그림. 2.4의 굵은 실선은 주파수 변환된 Chebyshev BPF로서 1차의 Prototype Chebyshev LPF를 BPF로 주파수 변환하여 차수는 2차가 된다. 그림. 2.4는 주파수 변환된 BPF의 차수와 리플의 수가 동일함을 보여주고 있다.

2.4 Cascade of Transformed Lowpass Chebyshev

종속필터의 원리를 설명하기 위하여 그림. 2.5에 종속 Chebyshev BPF의 상쇄 개념도를 예로 보였다. 그림에서 보는 바와 같이 종속필터의 리플상쇄 원리는 2개의 Chebyshev BPF에서 한 필터의 리플 감쇠주기가 상승일 때 다른 필터의 리플감쇠 주기를 하강이 되도록 맞추고, 반대로 하강일 때는 상승이 되도록 맞추도록 하여 서로 상쇄되게 하는 것이다. 그림. 2.5에서 검정색 실선은 Chebyshev 4차 BPF의 주파수 응답이고 빨간색 점선은 Chebyshev 6차 BPF의 주파수 응답이다. 4차 BPF와 6차 BPF를 종속 연결하면 리플이 상쇄되어 Butterworth 필터의 장점인 통과대역의 평탄성을 얻을 수 있고 Chebyshev 필터의 장점인 급준한 skirt 특성도 얻을 수 있다. 이러한 최적의 리플 상쇄를 이루기 위해서는 종속필터의 차수가 서로 2차의 차이가 나야한다⁽¹⁾.

2.5 Definition of passband and transition band in Chebyshev BPF

Chebyshev BPF의 통과대역과 천이대역을 정의하기 위하여 통과대역 리플감쇠 A_pass을 -1[dB], 저지대역 크기(Magnitude) 감쇠 A_stop을 -10[dB]로 설계하여 그림. 2.6에 나타낸다.

그림. 2.6에 보인 것처럼 체비세프 BPF에서의 통과대역은 주파수 크기응답(Magnitude Response)이 0[dB]에서 통과대역 리플감쇠 A_pass[dB] 사이의 값을 갖는 주파수 대역을 의미한다. 즉 통과대역은 차단주파수의 하한값 (f_cl)에서 상한값(f_ch)까지의 대역이다. 통과대역은 필터의 대역폭(Band width)에 해당하므로 B로 표기하였다. 그리고 천이대역은 통과대역 리플감쇠 A_pass보다 작은 값을 갖는 주파수부터 저지대역(stop band) 감쇠 A_stop까지의 주파수 대역을 의미한다. 천이대역은 하한 천이대역과 상한 천이대역으로 구분할 수 있는데, 하한 천이대역은 △f_l로 표기하고 상한 천이대역은 △f_h로 표기한다. 하한 천이대역 △f_l은 저지대역 하한주파수(f_sl)와 차단주파수 하한값(f_cl) 사이의 주파수 대역 즉 f_sl$\le$△f_l$\le$f_cl 이며, 상한 천이대역 △f_h은 차단주파수 상한값(f_ch)과 저지대역 상한주파수(f_sh) 사이의 대역, f_ch$\le$△f_h$\le$f_sh이다.

3.1 10차 Chebyshev BPF의 Trade-off 분석

10차 Chebyshev BPF의 리플감쇠에 따른 천이대역의 trade- off 관계를 그림. 3.2에 나타낸다. 10차 Chebyshev BPF는 Prototype Chebyshev LPF의 차수를 5차로 설계하고 이것을 주파수 변환하여 10차의 BPF로 설계한 것이다.

통과대역의 리플 A_pass을 작게 설정하면 skirt 특성이 완만하게 되어 천이대역이 넓어지고, 리플 A_pass을 크게 설정하면 급격한 경사의 skirt 특성을 갖는다. 따라서 설계하고자 하는 필터의 스펙 범위에서 통과대역 리플 A_pass을 크게 잡을수록 천이대역폭이 줄어들게 되어 가용할 수 있는 주파수 대역이 넓어진다. 통과대역 리플 A_pass에 따른 자세한 실험값을 표 3.1에 정리한다.

표 3.1에 보인 바와 같이 통과대역 리플감쇠 A_pass를 변화시키면 천이대역폭도 변화가 된다. 즉 필터의 스펙에서 리플감쇠 A_pass를 2.5[dB]의 여유도를 가질 경우 천이대역폭은 55% 이상 감쇠시킬 수 있어 통신대역을 효율적으로 이용할 수가 있어 경제적이다.

3.2 10차 종속 Chebyshev BPF의 Trade-off 분석

10차 종속 Chebyshev BPF는 4차 Chebyshev BPF와 6차 Chebyshev BPF를 종속 결합한 필터이다. 10차 종속 Chebyshev BPF의 리플감쇠에 따른 천이대역의 trade-off 관계를 그림. 3.2에 나타낸다.

리플감쇠가 0.5[dB], 1[dB], 1.5[dB], 2[dB], 2.5[dB]에 대해 천이대역폭에 변동이 있으며 리플감쇠의 여유도가 2.5[dB] 정도로 클수록 천이대역폭은 크게 감소하여 급격한 경사의 skirt 특성을 가진다. 통과대역 리플 A_pass에 따른 천이대역폭의 trade- off 관계를 정리하면 표 3.2와 같다.

표 3.2에서 하한 차단주파수(f_cl)는 7.2[kHz], 상한 차단주파수(f_ch)는 14.4[kHz]로서 Chebyshev BPF와 동일한 7.2[kHz]의 통과대역을 가진다. 표에서 확인할 수 있듯이 종속 Chebyshev BPF는 Chebyshev BPF보다 리플감쇠 변화분에 대해 더 큰 천이대역 변동폭을 가지며, 수치적으로 자세하게 비교하면 통과대역 리플감쇠 A_pass = 0.5[dB]일 때의 하한 천이대역폭 0.92[kHz]는 2.5[dB]일 때의 천이대역폭 0.257[kHz]에 비해 약 3.58배의 주파수 대역을 차지하게 되고, 약 72%의 주파수를 절약할 수 있다. 그러므로 필터의 리플감쇠에 여유를 가진다면 주파수 측면에서 볼 때 보다 효율적으로 주파수를 사용할 수 있고 따라서 통신 효율을 높일 수 있다.

3.3 Chebyshev BPF와 종속 Chebyshev BPF의 Trade-off 분석

10차 Chebyshev BPF와 10차 종속 Chebyshev BPF를 비교하기 위하여 통과대역 리플감쇠 A_pass를 0.5[dB]와 2.5[dB]로 설계하여 주파수 응답을 나타내면 그림. 3.3과 같다. 이전의 실험과 동일하게 통과대역은 7.2[kHz]에서 14.4[kHz]로서 대역폭은 7.2[kHz]이다.

그림. 3.3에서 검정색은 통과대역 리플감쇠가 A_pass = 0.5[dB]이고 파란색은 A_pass = 2.5[dB]이다. 그림. 3.3의 데이터를 통과대역 리플감쇠 변화에 대한 천이대역 trade-off 관계로 구분, 분석하여 표 3.3에 나타내었다.

표 3.3에서 알 수 있듯이 Chebyshev BPF의 통과대역 리플감쇠를 0.5[dB]에서 2.5[dB]로 허용 가능하다면 하한 천이대역폭과 상한 천이대역폭은 약 55% 감소시킬 수 있고, 종속 Chebyshev BPF는 약 72%를 감소시킬 수 있어 주파수를 절약할 수 있다.