2.1 저압 열전자 방전 플라즈마의 수치 모델

Pierce 다이오드는 단락된 평행한 두 전극으로 구성되어 있다. 두 전극 사이에는 움직이지 않는 이온으로 채워져 있고, 음극으로부터 열전자를 방출시키면 이로 인해 플라즈마가 발생된다. Pierce 플라즈마의 행동 특성을 계산하기 위해 본 모델에서는 다음과 같은 1차원 유체방정식을 사용한다.

여기서 $n_ {e}$는 전자 밀도, $v_ {e}$는 각각 전자의 속도고, $e$는 기본 전하량이고, $m_ {e}$는 전자의 질량을 나타낸다. 식 (1), 식 (2)를 사용해 전하들의 생성 및 손실 그리고 움직임에 의해 시․공간적으로 변하는 플라즈마 밀도 분포를 결정한다. 전위(electric potential) $\phi(x, t)$는 아래와 같은 푸아송 방정식을 풀어 결정한다.

여기서 $\epsilon_{0}$는 자유공간에서의 유전율(permittivity), $n_{0}$는 이온의 밀도로 상수이다. 두 전극은 각각 $x=0$과 $x=L$에 위치해 있으며, 전위에 대한 경계조건(boundary condition)은

이다. 전자 빔은 음극에서 일정한 속도로 아래와 같은 조건을 만족하면서 방출 된다.

전자들의 거동은 다음과 같이 표현되는 무차원의 매개 변수 $\alpha$에 따라 결정된다.

여기서 $\omega_{p}=\sqrt{n_{0} e^{2} / \epsilon_{0} m_{e}}$는 전자 플라즈마 주파수이다.

식 (1), 식 (2)의 해는 식 (6)의 경계조건을 적용하여 시간에 대해서는 2단계 Lax-Wendroff scheme을 사용하고 공간에 대해서는 중간차분법(central difference method)을 사용하여 수치적으로 계산한다. 계산된 $n$, $v$와 식 (5)의 경계조건을 적용한 식 (3)의 Poisson 방정식을 유한요소법(finite element method)을 사용하여 풀어서 $\phi$를 구하고, 식 (6)을 이용하여 $E$를 계산한다. 이렇게 시공간적으로 변하는 $n$, $v$, $\phi$, $E$를 계산하면 플라즈마의 동력학적 특성을 파악할 수 있다. 모든 계산은 본 연구자가 C++ 프로그래밍 언어로 개발한 시뮬레이션 코드를 사용하여 계산하였다^[6].

2.2 수치 계산 결과

앞서 언급한 수치적 방법을 통해 Pierce 플라즈마에 대한 시뮬레이션을 수행한 결과, 플라즈마는 매개 변수 $\alpha$에 따라 달라지는 진동 상태를 갖게 된다. 그림. 1은 $\alpha$가 $2.85 \pi$에서부터 $2.90 \pi$까지 변할 때 $x=0$에서의 전기장 $E_{x} (0)$을 계산한 쌍갈림 도표(bifurcation diagram)를 나타낸 것이다. $\alpha=2.90 \pi$에서 안정 상태에 있던 플라즈마는 $\alpha$ 값이 감소하여 $\alpha=2.8981 \pi$에 이르면 첫 번째 쌍갈림(bifurcation)이 발생한다. 즉, 안정 상태에 있던 전기장 $E_{x} (0)$은 진동하기 시작하게 된다. 그 후 $\alpha$ 값이 더 작아져 $2.8644 \pi$보다 작게 되면 전기장은 2배의 주기로 진동하게 된다. 그 후 $\alpha$ 값이 감소함에 따라 주기는 2배씩 증가되는 것을 반복하는데 이를 주기 배가 캐스캐이드(periodic doubling cascade)라 한다. 이를 통해 $\alpha \leq 2.8584 \pi$ 영역에 이르게 되면 결국 계는 카오스 상태가 된다.

카오스 제어 연구를 위해 매개 변수가 $\alpha=2.854 \pi$인 경우의 카오스 상태에 대한 계산 결과를 살펴보자. 그림. 2(a)는 $\alpha=2.854 \pi$일 때 전기장 $E_{x} (0)$의 시간에 따른 변화(time history)를 나타낸 것이다. 이 경우 계는 일정한 시간이 지나면 같은 상태로 되돌아오는 주기적 진동이 아닌 카오스 진동 상태에 있음을 보여준다. 그림. 2(b)는 이 경우 위상 공간에서의 도표(phase space diagram)를 나타낸 것으로 Pierce 계의 동력학적 분석을 위한 위상 공간에서의 도표는 음극에서의 전기장과 그 미분의 쌍으로 구성한다. 이 도표는 1주기 진동을 하는 경우 타원과 같은 하나의 폐곡선으로 나타나며(그림. 4(b) 제어 후 곡선 참고), 2주기 진동을 하는 경우 2개의 타원이 한 점에서 교차하고 있는 것과 같은 폐곡선으로 나타난다(그림. 5(b) 제어 후 곡선 참고). 그림에서 보는 바와 같이 이 경우 계의 궤적은 폐곡선이 아니라 검게 칠해진 면처럼 보이는데, 이는 계가 주기성이 없는 카오스 진동을 하고 있기 때문에 나타나는 현상이다.

그림. 3은 $\alpha=2.854 \pi$인 경우에서의 전기장 $E_{x} (0)$의 리턴맵(return map)을 나타낸 것이다. 리턴맵은 음극에서 $n$시간 단계에서의 전기장 $E_{x}^{n}(0)$과 $n+1$시간 단계에서의 전기장 $E_{x}^{n+1}(0)$의 순서쌍으로 된 점들로 구성되며, 반복 횟수가 무한대가 되어감에 따라 접근해 가는 점들의 집합을 끌개(attractor)라 한다. 계가 안정 상태에 있으면 끌개는 1개의 점으로 나타나고, 1주기 운동을 하면 2개의 점으로 나타나며, 2주기 운동을 하면 4개의 점으로 나타나게 된다. 그림에서 원형 점은 계산으로 얻은 리턴맵인데, 계산을 무한 반복하면 이 점들은 선을 이루게 될 것이다. $E_{x} (0)$가 0 근방에서 시작하여 점들 사이의 간격은 점점 커지고, 어느 정도의 시간이 지난 후에는 여러 점 사이를 오고 가는 것을 볼 수 있다. 이와 같이 계가 카오스 상태에 있으면 무수히 많은 고정점(fixed point)으로 이루어진 선 모양의 끌개를 갖게 된다. 그림에서 여러 점들을 다항식으로 피팅한 결과의 곡선이 바로 카오스 끌개를 나타내는 것으로 계가 카오스 상태에 있음을 보여주고 있다.

2.3 카오스 제어

카오스 상태에 있는 시스템을 안정화시키기 위한 방법으로 단속적 비례 피드백(occasional proportional feedback) 제어 방법^[8,9]이 있다. 이 방법은 Ott, Grebogi, Yorke(OGY)의 방법^[7]에 기반을 둔 것으로 다음과 같은 선형 법칙에 따라 매 시간 단계에서 제어 매개변수를 변화시키는 것으로 제어한다.

여기서 $\Delta p_{n}$는 제어 매개변수 $p$의 섭동을 나타내고, $K$는 피드백 상수(feedback constant)를 나타낸다. $\phi^{*}$는 불안정 고정점(fixed point)을 나타내며, $\phi_{n}$은 $n$시간 단계에서의 $\phi$ 값을 나타낸다. 피드백 상수 $K$는 $\phi_{n}$이 고정점에 근처에 머무르도록 결정한다. 이 알고리듬으로 Pierce 다이오드의 카오스를 제어할 수 있다. 하지만 매개변수 $\alpha$는 음극에서 방출되는 전자의 속력 $v_{0}$에 의존하므로 매개변수에 변화를 주려면 방출 속력을 변화시켜야 한다. 전자의 방출 속력 $v_{0}$의 변화는 $L / v_{0}$의 시간이 지나야 비로소 시스템 전체에 영향을 주어 시스템이 새로운 상태에 도달하게 된다. 이러한 시간 지연 때문에 이 방법으로 카오스를 제어하는 것이 매우 어려울 수 있다. 또한 이 방법에서는 카오스 제어를 위해 필요한 매개변수를 얻기 위해서 리턴맵(return map)을 계산해야 하며, 계산된 리턴맵을 다항식으로 피팅(fitting)한 후 다항식을 미분하여 접선의 기울기를 계산하고, 그 기울기로부터 피드백 상수값을 얻어야 한다. 이와 같이 카오스 제어에 앞서 해야 하는 사전 수치적 계산 부담이 크고, 여러 과정을 거쳐 제어 매개변수들을 미리 계산하고 결정해 주어야 하는 복잡한 과정 때문에 실험에 적용하기에는 만족스럽지 못하다.

본 논문에서는 OGY 방법에 기반을 둔 단속적 비례 피드백 제어 방법을 수정하여 사전 계산에 대한 부담이 없고 실험 상황에서도 쉽게 적용할 수 있는 수정된 피드백 제어 방법(modified feedback control method)을 제안한다. Pierce 플라즈마의 불안정성은 서로 반대 방향으로 진행하는 두 종류의 공간 전하에 의한 파동과 두 전극의 표면 전하에 의한 정전기장의 중첩에 의해 발생된다. 따라서 전극을 통해 외부 전기장에 변화를 가해 주면 플라즈마의 안정성도 바뀌게 된다. 이러한 Pierce 플라즈마 불안정성의 발생 메카니즘은 카오스 제어 매개변수로서 추가적으로 더해주는 외부 전기장을 사용할 수 있음을 시사해 준다. 추가적 외부 전기장의 공급은 두 전극 사이에 전압을 걸어주면 되는 것으로 실험 상황에서도 쉽게 적용할 수 있다. 이와 같은 이유로 단속적 비례 피드백 방법에서 제어 매개변수의 작은 섭동은 두 전극 사이에 걸어주는 전압의 작은 섭동으로 대체될 수 있다.

본 논문에서 제안하는 수정된 피드백 제어 방법은 음극에서의 전위값이 불안정 고정점 근방에 머물도록 아래와 같은 수식에 따라 섭동을 가하는 방법이다.

여기서 $\phi_{0}^{n+1}$는 $n+1$시간 단계에서의 음극에서의 $\phi$ 값을 나타내고, $\phi^{*}$는 1주기 불안정한 고정점(fixed point)를 나타내며, $\phi_{L / 2}^{n}$은 $n$시간 단계에서의 $x=L / 2$에서의 $\phi$ 값을 나타내고, $K$는 피드백 상수이다. $\phi^{*}$는 1주기 진동의 리턴맵으로부터 쉽게 결정할 수 있으며, $\phi_{L / 2}^{n}$은 두 전극의 중간 지점에서의 $\phi$값으로 수치적 계산으로나 실험적으로나 쉽게 결정할 수 있는 양이다. 피드백 상수 $K$는 $\phi^{n}$이 고정점 근처에 머무르도록 경험적으로 결정할 수 있다. 본 방법은 피드백 상수 $K$를 경험적(empirical) 방법으로 결정함으로써 카오스 제어 매개변수의 계산 및 결정을 위한 사전 계산 과정이 필요치 않다. 또한 $K$를 적절하게 결정해주면 고정점의 새로운 계산이 없이도 카오스 상태에 있는 시스템을 1주기 진동이나 2주기 진동의 낮은 진동 상태뿐만 아니라 8주기 진동이나 16주기 진동과 같은 높은 주기 진동 상태로 제어하는 것도 가능하다.

그림. 4(a)는 카오스 상태에 있는 계의 제어 전과 후의 전기장 $E_{x} (0)$의 시간에 따른 변화를 보여 준다. $\alpha=2.854 \pi$일 때 계산 된 것으로써 앞으로 제시될 모든 계산은 이 $\alpha$값에 대해 수행된다. $t=1500 / \omega_{p}$의 시간에 피드백 상수 $K=0.041$로 하여 제어를 시작하면 계는 빠르게 안정화 되어 1주기 진동 상태가 된다. 아래쪽의 곡선은 섭동 전기장의 크기 $\Delta E_{x} (0)$를 나타내는 것으로 제어가 시작되면 1주기 진동의 신호가 공급되는 것을 볼 수 있다. 오른쪽 세로축의 레이블에서 볼 수 있는 바와 같이 1주기 진동으로 제어하기 위해서 필요한 섭동 전기장의 크기는 $E_{x} (0)$의 진폭의 0.5% 이내로 매우 작다. 이와 같이 매우 작은 피드백 섭동 전기장을 가하는 것으로써 카오스를 제어할 수 있음을 보여 준다. 피드백 제어에 의한 카오스 상태의 1주기 진동으로의 전환은 위상 공간에서의 도표를 보면 분명히 알 수 있다. 그림. 4(b)는 그림. 4(a)에 대한 위상 공간에서의 도표를 나타낸 것이다. 카오스 제어 전의 불안정한 궤도 상태에 있던 카오스 끌개가 제어 후에는 타원 형태의 끌개로 변화되며 안정적인 1주기 진동을 유지하는 것을 볼 수 있다. 리턴맵을 그려 보면 이러한 극적인 전환을 보다 분명하게 알 수 있게 된다.

그림. 5는 1주기 제어 전과 후의 리턴맵을 나타낸 것이다. 그림에서 원형 점은 계산으로 얻은 리턴맵이고 곡선은 이것을 다항식으로 피팅한 결과이다. 이는 선 모양의 카오스 끌개로 계가 카오스 상태에 있음을 말해준다. 사각형 점은 고정점을 나타낸 것으로 2개의 점으로 이루어진 1주기 진동의 끌개를 가짐을 보여 주고 있다. 리턴 맵은 제어 전에는 카오스 상태에 있던 계가 제어 후에는 1주기 진동 상태로 변화하게 되는 것을 나타내고 있다. 리턴맵의 변화는 수정된 피드백 제어 방법이 카오스를 성공적으로 제어하고 있음을 잘 보여 주고 있다.

그림. 6(a)는 카오스 상태에 있는 계를 피드백 상수 $K=0.0011$로 제어하기 전과 후의 전기장 $E_{x} (0)$의 시간에 따른 변화를 나타낸 것이고, 그림. 6(b)는 그림. 6(a)에 대한 위상 공간에서의 도표를 나타낸 것이다. $t=1000 / \omega_{p}$에서 제어 스위치를 켜면 계는 빠르게 안정화 되어 2주기 진동 상태가 되었다가 $t=2000 / \omega_{p}$에서 제어 스위치를 끄면 다시 빠르게 카오스 진동 상태로 복귀하는 것을 볼 수 있다. 제어 피드백 상수 $K$를 유한한 값으로 또는 0으로 설정하느냐하는 간단한 조작만으로 계의 진동 상태를 즉각적으로 변화 시킬 수 있다. 그림. 6(b)의 제어 후의 위상 공간에서의 도표는 2개의 타원이 한 점에서 교차하는 형태의 폐곡선 모양을 나타낸다. 이 도표는 계가 2주기 진동 상태에 있음을 나타내는 것으로 제어 전의 카오스 상태가 제어 후에는 2주기 진동 상태로 즉시 변화됨을 보여 준다. 그림. 5의 결과에서와 같이 피드백 제어 상수 $K$값을 0.041로 설정하면 1주기 진동 상태로 제어되었던 계가 $K$값을 0.011로 변화시키는 것만으로 2주기 진동 상태로 제어된다는 것을 알 수 있다. 본 카오스 제어 방법은 간단하고 효율적으로 카오스 상태에 있는 Pierce 플라즈마 계를 제어할 수 있음을 보여 준다.

그림. 7은 피드백 상수 $K=0.0039$를 사용하여 카오스 제어를 하기 전과 후의 전기장 $E_{x} (0)$의 시간에 따른 변화를 나타낸 것이다. 피드백 상수를 $K=0.0039$로 그림. 6의 경우보다 더 작게 설정하면 카오스 계는 4주기 진동 상태로 제어 된다. 그림에서 볼 수 있는 바와 같이 4주기 진동으로 제어하기 위해서 필요한 섭동 전기장의 크기는 $E_{x} (0)$의 0.1% 보다 작다. 이는 그림. 4에서 보았던 1주기 진동으로 제어하기 위해 필요했던 섭동 전기장의 상대적 크기의 1/5에 해당하는 것으로 주기가 증가할수록 제어에 필요한 섭동 전기장의 크기도 감소하고 있음을 알 수 있다. 이는 피드백 상수의 크기가 증가할수록 섭동 전기장의 크기는 감소한다는 것을 말해 준다. 또한 제어를 위한 피드백 상수의 값도 제어되는 플라즈마 계의 진동 주기가 1주기, 2주기, 4주기로 증가할수록 감소하고 있다는 것을 알 수 있다.

그림. 8은 카오스 상태에 있는 계를 피드백 상수 $K=0.0031$를 사용하여 8주기 진동으로 제어하기 전과 후의 전기장 $E_{x} (0)$의 시간에 따른 변화를 나타낸 것이다. 제어 스위치가 켜진 후의 그래프에서 계의 진동 상태가 몇 주기 인지 정확히 확인하기가 쉽지 않아 오른쪽 위쪽에 확대된 그림을 삽입하였다. 삽입된 그림은 제어 스위치가 켜진 후인 시간 $t=2000 / \omega_{p}$에서부터 $t=2400 / \omega_{p}$까지의 그래프를 확대해 나타낸 것으로 8번 왕복한 후에 같은 위치로 되돌아오는 것을 확인할 수 있다. 다시 말해 피드백 상수 $K=0.0031$를 사용하게 되면 카오스 계는 8주기 진동 상태로 제어된다. 앞서 그림. 7의 설명에서 언급하였듯이 피드백 상수 값이 더 작아지면 제어되는 계의 진동 주기는 더 커지게 된다.

그림. 9는 카오스 상태에 있는 계를 피드백 상수 $K=0.0028$를 사용하여 제어한 후의 전기장 $E_{x} (0)$의 시간에 따른 변화를 나타낸 것이다. 계의 진동 주기는 전기장의 값이 시간에 따라 변화한 후 다시 원래의 값으로 되돌아 올 때까지 곡선의 왕복 회수를 헤아림으로써 확인할 수 있다. 그림에 표시된 것과 같이 이 경우의 전기장의 진동 주기는 16주기이다. 그림. 8에서 보았듯이 피드백 상수 $K$가 $0.0031$일 때 카오스 계는 8주기 진동 계로 제어 된다. 여기서 $K$값을 더욱 감소시켜 $0.0028$로 설정하면 예상했던 바와 같이 카오스 상태에 있던 계는 16주기 진동 상태의 계로 제어 되게 됨을 알 수 있다.

그림. 4에서 그림. 9까지의 결과에서 살펴 본 바와 같이 본 논문에서 제시된 수정된 피드백 제어 방법을 사용하면 간단하고 효율적인 방법으로 카오스 계를 제어할 수 있다. 본 방법은 표현 식 (9)에서 피드백 상수 $K$의 크기를 경험적 방법을 통해 적당히 조절해 줌으로써 카오스 상태에 있는 계를 1주기, 2주기, 4주기의 낮은 주기 진동 상태나 또는 8주기, 16주기의 높은 주기 진동 상태로도 제어할 수 있음을 확인하였다. 피드백 상수의 값을 조절하면 그에 따라 섭동 전기장의 크기도 변화된다. 본 논문에서는 제시하지 않았지만 단지 피드백 상수의 값을 조절하는 것만으로 카오스 상태의 계를 16주기보다 더 높은 주기의 진동 상태의 계로 제어하는 것도 가능하다.