2.1 표적-유도탄간의 운동기하

그림 2에 도시된 것과 같이 Head-on 교전 기하에 대해, 관성좌표계($X_{I}-Y_{I}$)를 표적속도($V_{T}$) 방향과 평행하게 정의하여 표적-유도탄의 비선형 운동방정식을 나타내면 다음 식과 같다.

여기서 $\left(x_{M}, y_{M}\right), \gamma, V_{M}$ , 그리고 $a$는 유도탄의 위치, 비행경로 각, 속도, 가속도이며, $\left(x_{T}, y_{T}\right)$는 표적의 위치를 나타낸다. 위 문제에서 표적과 유도탄의 속도는 짧은 교전시간동안 거의 변화가 없다는 가정아래 등속도로 정의하였다.

위 식에서 상대거리($R$)이 충분히 크고 시선각($\lambda$) 및 비행경로각이 충분이 작다는 가정아래, 선형화된 상대운동 기하를 식(3)과 같이 도출할 수 있다.

또한, 선형 상대운동기하 조건하에서의 상대거리 변화는 $R=V_{c}\left(t_{f}-t\right)=V_{c} t_{g o}$ 이며, 접근속도 $V_{c}=V_{T}+V_{M}$ 과 교전종말시간 $t_{f}=R\left(t_{0}\right) / V_{c}$ 로 정의된다.

표적 요격을 위해 일반적으로 널리 사용되고 있는 비례항법유도(Proportional Navigation Guidance, PNG)를 적용한다면, 이에 대한 유도명령 형태는 아래와 같다.

여기서 $\dot{\lambda}$는 관성좌표계 $X_{I}$축을 기준으로 정의된 시선각의 변화율이며, $N$은 유도이득을 말한다. 위 유도명령은 표적 시선에 수직하게 적용되는 True PNG의 유도명령 형태이다. 이를 유도탄에 적용하기 위해서는 좌표변환행렬을 통해 속도에 수직한 가속도명령으로 변환하여야 하는데, 지향각($\sigma$)이 충분히 작다고 가정한다면 $\cos \sigma \approx 1$을 통해 $a=a_{P N}$로서 직접적으로 적용하여도 무방하다.

2.2 Closed-form Solution 및 지향각속도 특성

앞 절에서 정의한 식(3)의 선형 상대운동방정식과 비례항법유도 명령 식(4)를 이용하여 아래와 같은 1차 미분방정식을 도출할 수 있다⁽¹⁰⁾.

여기서 $C_{1}$은 적분상수로 초기 상태변수에 의해 결정되어진다. 또한 선형화 가정아래 $\lambda \approx y / R=y / V_{c} t_{g o}$를 이용하여 위 식을 도출하였다.

식(5)의 미분방정식 해는 비례항법유도로 비행하는 유도탄과 표적간의 상대위치($\mathcal{Y}$)의 시간변화 뿐만 아니라, 시선각, 지향각($\sigma$), 비행경로각 등의 변화 특성도 파악할 수 있다. 식(5)의 미분방정식을 참고문헌 ⁽¹⁰⁾에 기술된 방법을 이용하여, 임의의 초기시간($t_{0}$)부터 시간에 따라 변화하는 상대위치 해석해($y_{c l}^{P N}(t)$)를 구하면 다음과 같다.

여기서, 적분상수는

이다. 또한 식(6)을 미분하여 상대위치 $y$의 시간변화율을 다음과 같이 산출할 수 있다.

식(6)과 식(8)을 이용하여 비례항법유도법칙의 지향각 변화특성을 구하면,

이고, 이에 대한 지향각속도의 시간변화는 다음과 같다.

그림. 3. 비례항법유도법칙의 상대위치/지향각속도의 시간변화

Fig. 3. Relative Position and Look Angle Rate of PNG

위 식을 통해 알 수 있듯이, 유도이득이 2보다 큰 경우 비례항법유도의 지향각속도는 표적에 도달 할수록($t : t_{0} \rightarrow t_{f}$) 점점 “0”으로 감소하게 된다. 또한 초기 교전기하에 의해 형성된 초기 지향각속도($\dot{\sigma}_{c l}^{P N}\left(t_{0}\right)$)가 최대치에 해당된다. 이를 검증하기 위해, 초기치 $y\left(t_{0}\right)=60 m, \quad \dot{y}\left(t_{0}\right)=500 \cdot(5 \cdot \pi / 180) \mathrm{m} / \mathrm{s}$ 와 N$=$4, $V_{c}=$$1500 m/s$, $t_{f}=1.5s$를 적용하여 상대위치와 지향각속도의 시간변화를 그림 3과 같이 도출하였다. 그림을 통해 볼 수 있듯이, 비례항법유도법칙은 표적-유도탄간의 상대위치를 점점 줄이면서 동시에 지향각속도를 영으로 수렴시킨다. 이는 초기 유도단계에서 표적-유도탄간의 충돌기하(Collision Course)를 최대한 형성시키고자 비례항법유도법칙의 초기 유도명령은 크게 발생하며 이로 인해 비행경로각 및 지향각의 큰 변화가 야기된다.

3.1 지향각속도 제어 유도법칙

앞 장에서 기술하였듯이, 비례항법유도는 표적과의 충돌기하로부터의 초기 오차를 줄이기 위해 큰 유도명령을 발생시키고 이로 인해 지향각속도 또한 크게 발생되어진다. 스트랩다운 영상탐색기를 탑재한 유도탄에 이와 같은 특징을 가지는 비례항법유도법칙을 적용하게 되면, 초기 표적과의 원거리에서 탄의 큰 기동에 의한 표적영상의 모션블러(Motion Blur) 효과가 발생되어 표적형상이 흐려지면서 동시에 표적신호가 감소되어 표적 탐지/추적에 실패하게 된다. 그러므로 안정적으로 표적 탐지/추적이 이뤄질 수 있도록 지향각속도의 크기를 제한하면서 동시에 표적으로 호밍이 이뤄질 수 있는 새로운 유도법칙의 설계가 필요하다.

영상탐색기의 하드웨어특성에 따라 표적 탐지/추적에 허용 가능한 최대 지향각속도의 제한치($\dot{\sigma}_{\max }$)가 정해진다면, 이 제한치를 벗어나지 않고 유지시킬 수 있는 유도법칙은 다음 식으로부터 도출될 수 있다.

위 식과 $\dot{\gamma}=a / V_{M}$ 정의를 이용하여 지향각속도를 유지시키는 유도명령은

와 같이 쉽게 유도할 수 있다.

3.2 복합 유도법칙

비례항법유도의 가속도명령에 의해 야기되는 지향각속도는 다음과 같은 관계식을 가진다.

만약 $\left|\dot{\sigma}_{P N}\left(t_{0}\right)\right| <\dot{\sigma}_{\max }$의 초기 교전조건에서 비례항법유도를 지속적으로 적용한다면, 비례항법유도의 특성에 따라 지향각속도는 최대 제한치 안에서 시작하여 점차적으로 영으로 수렴하게 되고, 이는 영상탐색기의 표적추적성능을 보장하면서 표적요격 임무를 완수할 수 있게 된다. 하지만, $\left|\dot{\sigma}_{P N}\left(t_{0}\right)\right|>\dot{\sigma}_{\max }$의 초기 교전조건에서 비례항법유도를 적용하면 지향각속도는 최대 허용치를 넘는 상황이기 때문에, 지향각속도 최대 허용치를 유지시키기 위한 지향각속도 제어 유도법칙($a_{L C}$)을 우선적으로 적용하여야 한다. 이후 임의의 시간, $t_{s}\left( <t_{f}\right)$에서 $\left|\dot{\sigma}_{P N}\left(t_{s}\right)\right| < \dot{\sigma}_{\max }$를 만족하였을 때 비례항법유도로 전환하여 표적으로 호밍을 이룬다면, 지향각속도는 최대치에서 영으로 수렴하면서 표적요격의 임무를 동시에 달성할 수 있게 된다. 이와 같이 제안한 복합 유도법칙을 정리하면 그림 4와 같으며, 제안한 복합 유도법칙을 아래의 2가지 경우로 나누어볼 수 있다.

Case 1 : $\left|\dot{\sigma}_{P N}\left(t_{0}\right)\right| \leq \dot{\sigma}_{\max }$경우, $a=a_{P N}=N V_{c} \dot{\lambda}$적용(호밍 전구간동안 비례항법유도 유지)

Case 2 : $\left|\dot{\sigma}_{P N}\left(t_{0}\right)\right|>\dot{\sigma}_{\max }$경우,

1) $a=a_{L C}=V_{M}\left(\dot{\lambda}-\dot{\sigma}_{\max } \operatorname{sign}\left(\dot{\sigma}_{P N}\right)\right)$ until $\left|\dot{\sigma}_{P N}(t)\right| < \dot{\sigma}_{\max }$ & $t=t_{s}<t_{f}$

2) $\left|\dot{\sigma}_{P N}\left(t_{s}\right)\right|<\dot{\sigma}_{\max }$ 만족시, $a=a_{P N}=N V_{c} \dot{\lambda}$ 전환 및 종말호밍

그림. 4. 복합 유도법칙의 개념도

Fig. 4. Flow Chart of Composite Guidance Law

3.3 지향각속도 제어 유도의 Closed-form Solution 및 복합 유도법칙의 요격조건

제안한 복합 유도법칙은 지향각속도의 크기를 제한하여 충돌기하(Collision Course) 형성을 저해하고 있기 때문에, 표적 요격성능이 초기 교전기하조건과 최대 지향각속도 크기에 따라 제한될 수밖에 없다. 그러므로 복합 유도법칙의 요격가능영역을 확인하기 위해, 다음의 미분방정식을 이용하여 지향각속도 제어 유도법칙의 해석해를 도출한다.

위 식은 식(12)에 정의된 지향각속도 제어유도의 가속도명령을 식(3)에 대입하여 유도할 수 있으며, $C_{3}$는 적분상수, $k=V_{M} / V_{c}$, $\dot{\sigma}_{d}=\dot{\sigma}_{\max } \operatorname{sign}\left(\dot{\sigma}_{P N}\left(t_{0}\right)\right)$로 정의된 상수이다.

2.2절에 기술한 방법과 동일하게, 초기 $t_{0}=0$부터 시간에 따라 변화하는 지향각속도 제어 유도법칙의 상대위치 해($y_{c l}^{I C}(t)$)를 구하면 다음과 같다.

여기서, 적분상수는

이다. 또한 식(15)를 통해 상대위치의 시간변화율을 다음과 같이 계산할 수 있다.

위와 같이 구해진 식(15)∼ (17)를 이용하여, 지향각속도 제어 유도구간동안 복합 유도법칙 전환조건인 $\dot{\sigma}_{P N}$의 시간변화 특성을 다음과 같이 산출할 수 있다.

위 식과 초기 교전조건, 최대 지향각속도 제한치 등을 이용하여 수치적으로 $\left|\dot{\sigma}_{P N}(t)\right| <\dot{\sigma}_{\max }$의 조건을 만족시키는 전환시점, $t_{s}$를 구할 수 있으며, 이 전환시점이 교전종말시간 이전($t_{s} <t_{f}$)에 이뤄져야 복합 유도법칙이 표적요격 목적을 달성할 수 있다. 또한 유도탄의 lag-system을 고려할 경우에는 비례항법유도로의 전환시점부터 교전종말시간까지의 잔여시간, $t_{s} <t_{f}$가 lag-system의 시상수보다 충분히 커야 표적을 요격할 수 있다.

제안한 복합 유도법칙의 특성을 알 수 있는 해석해는 식(6)∼ (8)과 식(15)∼ (17)를 이용하여 얻을 수 있다. 복합 유도법칙의 Case 1: $\left|\dot{\sigma}_{P N}\left(t_{0}\right)\right| \leq \dot{\sigma}_{\max }$의 경우 호밍 전구간동안 비례항법유도를 적용하기 때문에 복합 유도법칙의 해석해는 식(6)∼ (8)과 동일하다. Case 2: $\left|\dot{\sigma}_{P N}\left(t_{0}\right)\right|>\dot{\sigma}_{\max }$인 경우에는 초기 유도단계에서 지향각속도 제어 유도법칙이 적용되기 때문에 식(15)∼ (17)의 해석해를 가지다가, $\left|\dot{\sigma}_{P N}(t)\right| <\dot{\sigma}_{\max }$를 만족하는 $t_{s}$시점부터 비례항법유도로 전환되어 호밍이 이뤄지므로 $t_{0}=t_{s}$, $y\left(t_{0}\right)=y_{c l}^{L C}\left(t_{s}\right)$, $\dot{y}\left(t_{0}\right)=\dot{y}_{c l}^{L C}\left(t_{s}\right)$의 조건아래 종말시점까지 식(6)∼ (8)의 해석해를 가지게 된다.

그림. 5. 비례항법유도와 복합 유도법칙의 비교결과

Fig. 5. Comparison of PNG and Composite Guidance Law

4.1 복합 유도법칙의 특징

제안한 복합 유도법칙의 특징 및 성능을 살펴보기 위해, 그림 2의 Head-on 교전상황에서 식(1)∼ (2)의 비선형 운동모델을 기반으로 수치시뮬레이션을 수행한다. 시뮬레이션을 위한 초기조건 등은 표 1에 정리하였으며, 비례항법유도와 복합 유도법칙간의 비교결과 분석을 위한 경우와 최대 지향각속도 제한치의 변화에 따른 유도성능/특징을 살펴보기 위한 경우로 나누어서 시뮬레이션을 수행하였다.

표 1의 조건과 $\dot{\sigma}_{\max }=15 \operatorname{deg} / S$를 이용하여 비례항법유도로 호밍할 경우와 제안한 복합 유도법칙으로 유도할 경우를 살펴보았으며 그 결과는 그림 5와 같다. 그림을 통해 볼 수 있듯이, 예상대로 비례항법유도는 초기 큰 가속도명령(그림 5(a))을 통해 시선각속도(그림 5(d))를 빠르게 줄이면서 표적과의 충돌기하를 형성하려한다. 이러한 큰 가속도 명령에 의해 지향각속도(그림 5(b)) 또한 제한치 이상으로 크게 발생하게 된다. 하지만, 제안한 복합 유도법칙을 적용할 경우, 초기단계에서 지향각속도 제어 유도법칙에 의해 최대 지향각속도를 일정하게 유지하다가, 비행시간 약 0.5초 무렵에 비례항법유도로 전환하여 자연스럽게 호밍이 이뤄짐을 볼 수 있다. 예상과 같이 복합 유도법칙은 지향각속도를 제한치 안에 유지시켜주면서 동시에 연속적인 가속도명령을 통해 표적요격을 이루게 된다. 앞 장에서 기술한 복합 유도법칙의 해석해(Closed-form Sol., 원표시)를 비선형 시뮬레이션 결과와 비교해보았으며, 그림 5(b)~5(d)를 통해 해석해와 비선형 시뮬레이션 결과가 거의 일치함을 알 수 있다.

그림. 6. 최대 지향각속도 제한조건별 복합 유도법칙의 특징

Fig. 6. Characteristic of Composite Guidance Law with Various Maximum Look Angle Rates

4.2 지향각속도 제한조건별 복합 유도법칙의 특징

최대 지향각속도 $\dot{\sigma}_{\max }=20,15,11 \operatorname{deg} / s$에 따른 복합 유도법칙의 특징을 살펴보면 그림 6과 같다. 그림 6(a)와 그림 6(d)를 통해 지향각속도 제한치의 크기가 작아질수록 시선각속도가 천천히 수렴하면서 느리게 표적과의 충돌기하가 형성됨을 알 수 있다. 또한 그림 6.b와 그림 6를 통해 지향각속도 제한치가 작아질수록 호밍을 위한 유도명령 또한 줄어들지만, 비례항법유도로의 전환시점이 늦어짐을 볼 수 있다. 본 시뮬레이션 조건에서는 최대 지향각속도 제한치가 10deg/s 이하면 비례항법유도로 전환되지 못하고 표적요격에 실패하게 됨을 확인하였다. 그러므로 교전조건에 따라 전환시점이 $t_{s} <t_{f}$을 만족하면서 $t_{f}-t_{s}>>0$을 가질 수 있는 지향각속도 제한치가 설정되어야 한다.