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  1. (Department of Electrical Engineering, Pukyong National University, Korea)



Harmonics, Harmonic contribution, Parameter estimation, Recursive least square, Variable forgetting factor

1. 서 론

비선형 부하의 증가와 신재생에너지 확대 등에 따라 개별 수용가에서 계통으로 유입되는 고조파는 지속적으로 증가하고 있다. 이러한 고조파의 증가는 배전계통에서 추가적인 손실, 변압기 소손 및 전력기기 효율 저하 등 다양한 전력품질 문제를 일으킨다. 앞으로 DC 부하의 지속적인 증가와 다양한 전력변환 장치들의 사용으로 계통에서의 고조파 문제는 더욱 심화할 것으로 예측되고 있으며 효과적인 관리와 대책 수립이 필요하다. 전통적으로 계통에서의 고조파 관리를 위해 THD(total harmonic distortion) 및 TDD(total demand distortion)와 같은 지수를 평가하고 제한 규정을 두고 있다. 그러나 이러한 지수는 측정 개소에서의 고조파 왜곡 정도를 정량적으로 평가하는 수단일 뿐 개별 수용가의 고조파 왜곡 기여나 파급 정도를 나타내지는 못한다. 계통에서의 고조파 왜곡은 대부분 수용가의 비선형 부하들에 의한 것으로 효과적인 관리를 위해서는 고조파 왜곡 기여가 높은 수용가에 대한 패널티를 포함한 고조파 요금 등 다양한 대책이 필요하다. 이러한 대책들을 적용하기 위해서는 개별 수용가에 대한 효과적인 고조파 왜곡 기여도 평가 기술이 필요하다. 고조파 기여도 평가란 PCC(point of common coupling) 지점에서의 고조파 왜곡에 대해 공급 계통과 이하 수용가들의 왜곡 기여 정도를 정량적으로 추산하는 기술이다. 기본적으로 고조파 기여도 평가를 위해서는 고조파 발생원 추정 및 부하 모델의 파라미터 추정이 필요하다. 배전계통의 모든 개소 및 개별 부하마다 고조파 모니터링을 수행하면 자세한 데이터 분석이 가능하다. 그러나 계통의 확장 및 변경에 따라 설치가 복잡해지고 큰 비용이 발생하는 문제가 있다. 따라서 단일 PCC 지점에서의 전압 및 전류 측정으로부터 공급 계통과 여러 수용가들에 대한 고조파 기여도 평가가 가능한 기술이 현실적으로 필요하다. PCC 지점에서의 측정 데이터에 기반한 고조파 발생원 추정 및 기여도 평가 방법에 관한 몇몇 연구가 수행되었다. 참고문헌 (1)(2)에서는 THP (total harmonic power)계산에 기반한 고조파 발생원 위치 판별법을 제안하였다. 그러나 이 방법은 비방사상 계통에 대해 적용할 수 없고 고차 고조파에 대해서는 결과의 신뢰도가 떨어지는 단점이 있다. 참고문헌 (3)(4)에서 소개된 방법은 수용가 부하에 대한 임피던스 데이터가 요구되고 계통 운전조건마다 고조파 차수에 대한 등가 모델 추정에 계산 부담이 큰 단점이 있다. 단일 지점 측정방법 중 참고문헌 (5)(6)에서는 순환 최소 자승법(recursive least square method)에 기반한 고조파 부하 파라미터 추정 방법을 소개하였다. 이 방법은 PCC에서 순차적으로 측정되는 전압 및 전류로부터 개별 수용가에 대한 고조파 파라미터를 연속적으로 추정할 수 있다. 순환 최소 자승법에서는 망각인자(forgetting factor)와 제약 조건 등에 따라 추정 오차와 수렴속도가 영향을 받기 때문에 적절한 망각인자의 선택이 매우 중요하다. 그러나 모든 측정 데이터에 대해 최적의 성능을 나타내는 망각인자의 결정은 쉽지 않다. 참고문헌 (5)(6)을 비롯해 기존의 고조파 부하 파라미터 추정에서는 고정 망각인자를 사용하여 추정을 수행하였다. 그러나 망각인자는 백색 잡음 및 계통 운전점 변경에 영향을 받으므로 데이터의 특징에 따른 적절한 가변 망각인자 적용이 필요하다. 본 논문에서는 기존의 고정 망각 인자 추정법의 단점을 극복하기 위해 가변 망각인자 기반의 순환 최소 자승법 알고리즘을 이용한 고조파 부하 파라미터 추정법을 소개한다.

2. 순환 최소 자승법을 이용한 파라미터 추정

2.1 순환 최소 자승 알고리즘

순환 최소 자승법은 최소 자승법의 응용형태로 시변 파라미터 추정에 많이 사용되는 적응형 필터 알고리즘이다. 최소 자승법은 측정 신호와 추정 신호 간 오차 제곱의 합이 최소가 되는 파라미터를 산정하는 방법으로 최소 자승법에 의한 추정 파라미터 $\hat X(t)$는 식(1)과 같다.

(1)
$\hat X(t)=(A^{T}(t)A(t))^{-1}A^{T}(t)Y(t)$

$$ A(t)=\left[\begin{array}{c}{a^{T}(1)} \\ {a^{T}(1)} \\ {\vdots} \\ {a^{T}(t)}\end{array}\right], Y(t)=\left[\begin{array}{c}{y(1)} \\ {y(1)} \\ {\vdots} \\ {y(t)}\end{array}\right] 이다. $$

여기서, $Y(t)$와 $A(t)$는 $Y = AX$ 선형 방정식에서의 출력 신호와 입력 신호를 나타낸다.

선형 회귀를 비롯해 다양한 분야에서 최소 자승법에 기반한 파라미터 추정이 활용되고 있으나 고조파 모델 파라미터와 같은 시변 파라미터 추정의 경우 망각인자를 갖는 순환 최소 자승법이 보다 효과적이다. 망각인자를 포함한 전형적인 순환 최소 자승 알고리즘은 식(2) ~ (4)와 같다(7).

(2)
$G_{n+1}= P_{n}A_{n+1}^{T}\left(I\lambda + A_{n+1}P_{n}A_{n+1}^{T}\right)^{-1}$

(3)
$P_{n+1}=\left(I + G_{n+1}A_{n+1}\right)P_{n}/\lambda$

(4)
$X_{n+1}= X_{n}+ G_{n+1}(Y_{n+1}-A_{n+1}X_{n})$

여기서, $X_{n+1}$는 추정되는 해, $G_{n+1}$는 이득 행렬이며, $P_{n+1}$은 공분산 행렬, $I$는 단위행렬이다. 반복 계산 과정에서 망각요소 $\lambda$($0<\lambda\le 1$) 값에 따라 과거와 현재 측정값의 비중이 달라지며 이는 공분산 행렬 $P$에 반영되게 된다. 망각인자 $\lambda$값이 작아질수록 새로운 측정 데이터의 비중이 더 크게 되며, $\lambda$값이 커질수록 시스템 변화에 둔감해진다.

2.2 제약된 순환 최소 자승법

순환 최소 자승법을 이용한 고조파 부하 파라미터 추정은 다음과 같다. 식(5)와 같은 선형 방정식에서 전압 $y(t)$와 전류 $\Phi(t)$의 측정값을 이용하여 부하 임피던스와 등가 전원 파라미터 $\Theta$를 추정한다.

(5)
$y(t)=\Phi(t)\Theta$

그림 1과 같이 PCC점에서 측정된 전압과 전류로부터 $y(t)$와 $\Phi(t)$ 벡터를 식(6)(7)과 같이 정의할 수 있다. 여기서 첨자 $r$과 $i$가 각각 실수부와 허수부를 나타낸다.

(6)
$y(t)=\left[V_{h,\:pcc,\: r}(t)V_{h,\:pcc,\: i}(t)\right]$

(7)
$\Phi(t)=\left[I_{h,\:con\sum er,\: r}(t)I_{h,\: con\sum er,\:i}(t)1\right]$

또한 부하 임피던스 $Z_{h,\:con\sum er}=R_{h}+j X_{h}$, 부하 고조파 전압원 $V_{0,\:h}=V_{0,\:h,\:r}+j V_{0,\:h,\:i}$의 관계로부터 추정 파라미터 행렬은 식(8)과 같이 정의된다. 여기서 $R_{1}=R_{2}=R_{h}$이며, $X_{2}=-X_{1}=X_{h}$이다.

(8)
$$ \Theta=\left[\begin{array}{cc}{R_{1}} & {X_{2}} \\ {X_{1}}& {R_{2}} \\ {V_{0, h, r}} & {V_{0, h, i}}\end{array}\right] $$

그림. 1. $h$차 고조파원에 대한 테브닌 등가 회로

Fig. 1. Thevenin equivalent circuit for the $h^{th}$order harmonic source

../../Resources/kiee/KIEE.2019.68.7.827/fig1.png

고조파 부하 모델 파라미터 $\Theta$는 1차적으로 순환 최소 자승 알고리즘에 의해 계산되어지며 식(9)의 제약 조건을 만족하는 최종 $\hat\Theta$는 식(10) ~ (13)의 라그랑주 승수법(Lagrange multiplier)을 이용하여 구하게 된다.

(9)
$$ \begin{array}{l}{R_{1}-R_{2}=0} \\ {X_{1}+X_{2}=0}\end{array} $$

(10)
$J(\hat\Theta)\equiv\varepsilon_{1}^{T}\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}^{T}\varepsilon_{2}$

(11)
$\left[\varepsilon_{1}\varepsilon_{2}\right]=\left[Y_{1}-\Phi\hat\Theta_{1}Y_{2}-\Phi\hat\Theta_{2}\right]$

(12)
$\left[Y_{1}Y_{2}\right]=\left[y^{T}(t_{1})\cdots y^{T}(t_{N})\right]^{T}$

(13)
$\Phi =\left[\phi^{T}(t_{1})\cdots\phi^{T}(t_{N})\right]^{T}$

제약 조건을 만족하는 해 $\hat\Theta$는 식(14)와 같이 최종 갱신된다(8).

(14)
$$ \hat{\Theta}=\Theta-\frac{P}{p_{11}+p_{22}}\left[\begin{array}{cc}{R_{2}-R_{1}} & {X_{2}+X_{1}} \\ {X_{1}+X_{2}} & {R_{1}-R_{2}} \\ {0} & {0}\end{array}\right] $$

여기서 $P$는 공분산 행렬이며, $p_{11}$, $p_{22}$는 공분산 행렬의 요소를 나타낸다.

3. 가변 망각인자를 갖는 순환 최소 자승법

3.1 가변 망각인자를 적용한 추정

순환 최소 자승법에서는 망각인자를 통해 과거 데이터의 반영률을 결정하게 된다. 망각인자는 $0<\lambda\le 1$값으로 1에 가까우면 과거 데이터 비중이 커서 안정적이지만 시스템 변화에 대한 수렴속도가 느려지고 망각인자 값이 작을수록 수렴속도는 좋아지지만 잡음에 대해 매우 민감해지므로 적절한 값의 선택이 중요하다. 망각인자가 없는 고전적인 순환 최소 자승법은 계산 시간이 지남에 따라 공분산 행렬이 0으로 되어 파라미터 추정 능력을 잃어버릴 수 있다(9). 또한, 고정 망각인자는 매 반복 계산에서 똑같은 가중치로 공분산 행렬에 나누어진다. 따라서 계통의 운전이 정상 상태일 경우 일정한 값이 오랫동안 유지하게 되면 파라미터의 변화는 없지만 공분산 행렬이 계속 커지게 된다. 이런 상황에서 운전점의 변화가 생길 경우 파라미터 추정의 wind-up 문제를 일으킬 수 있다. wind-up이란 공분산 행렬의 기하급수적으로 증가하여 파라미터 추정이 극도로 민감하게 되어 큰 오차가 발생하는 것을 말한다. 이에 기존의 고정 망각인자 대신 개선된 가변 망각인자를 적용하면 순환 최소 자승 알고리즘은 식(15) ~ (18)과 같이 나타낼 수 있다. $\alpha$는 망각인자의 최댓값을 나타낸다.

(15)
$\lambda_{n+1}=\lambda_{n}\alpha +(1-\alpha)$

(16)
$G_{n+1}= P_{n}A_{n+1}^{T}\left(I\lambda_{n+1}+ A_{n+1}P_{n}A_{n+1}^{T}\right)^{-1}$

(17)
$P_{n+1}=\left(I + G_{n+1}A_{n+1}\right)P_{n}/\lambda_{n+1}$

(18)
$X_{n+1}= X_{n}+ G_{n+1}(Y_{n+1}-A_{n+1}X_{n})$

3.2 고조파 부하 파라미터 추정 알고리즘 구현

PCC를 기준으로 2개의 수용가가 연결되어 있을 때 고조파 부하 파라미터 추정을 위한 계통 구성은 그림 2와 같다. PCC에서 순차적으로 측정되는 전압 및 전류 데이터와 제안하는 순환 최소 자승법을 이용하여 고조파 부하 파라미터를 추정할 수 있다.

그림. 2. PCC에서의 전압, 전류 측정

Fig. 2. Measurement of voltage and current at the PCC

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그림 3은 PCC를 기준으로 전원 계통과 2개의 고조파 부하에 대한 등가회로를 나타낸다. PCC에 연결되는 수용가의 수에 따라 병렬 등가 모델이 추가된다. 해당 등가회로 PCC에 대해 키르히호프의 전압 법칙을 적용하면 식(19)(20)과 같이 나타낼 수 있다. 여기서 $k$는 샘플 수, $h$는 고조파 차수를 나타낸다.

그림. 3. 고조파 부하 A, B를 포함한 등가회로

Fig. 3. The equivalent circuit including harmonic loads A&B

../../Resources/kiee/KIEE.2019.68.7.827/fig3.png

(19)
$V_{h,\:pcc}^{k}+j V_{h,\:pcc}^{k}=V_{h,\:A}^{k}+j V_{h,\:A}^{k}+\left(R_{h,\:A}^{k}+j X_{h,\:A}^{k}\right)\cdot\left(I_{h,\:A}^{k}+j I_{h,\:A}^{k}\right)$

(20)
$V_{h,\:pcc}^{k}+j V_{h,\:pcc}^{k}=V_{h,\:B}^{k}+j V_{h,\:B}^{k}+\left(R_{h,\:B}^{k}+j X_{h,\:B}^{k}\right)\cdot\left(I_{h,\:B}^{k}+j I_{h,\:B}^{k}\right)$

순환 최소 자승법을 적용하기 위해 식(19)(20)을 행렬의 형태로 나타내면 식(21)(22)와 같고 이는 선형방정식 (5)와 같은 형태가 된다.

(21)
$$ \left[V_{h, p c c, r}^{k} \quad V_{h, p \alpha, i}^{k}\right] = \left[I_{h, A, r}^{k} I_{h, A, i}^{k} 1\right] \left[\begin{array}{cc}{R_{1}} & {X_{2}} \\ {X_{1}} & {R_{2}} \\ {V_{h, A, r}^{k}} & {V_{h, A, i}^{k}}\end{array}\right] $$

(22)
$$ \left[\begin{array}{cc}{V_{h, p c, r}^{k}} & {V_{h, p \alpha, i}^{k}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{I_{h, B, r}^{k}} & {I_{h, B, i}^{k}} & {1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{R_{3}} & {X_{4}} \\ {X_{3}} & {R_{4}} \\ {V_{h, B, r}^{k}} & {V_{h, B, i}^{k}}\end{array}\right] $$

수식(9)의 제약 조건에 따라 $R_{1}=R_{2}=R_{h,\:A}^{k}$, $-X_{1}=X_{2}=X_{h,\:A}^{k}$, $R_{3}=R_{4}=R_{h,\:B}^{k}$, $-X_{3}=X_{4}=X_{h,\:B}^{k}$를 만족하게 되며 각 파라미터를 제약된 순환 최소 자승법을 이용하여 추정하게 된다.

4. 사례 연구

4.1 모의 계통과 사례

제안하는 순환 최소 자승법의 파라미터 추정 성능을 평가하기 위해 먼저 PSCAD/EMTDC를 이용하여 계통 모델링을 수행하였다. 그림 4와 같이 PCC를 기준으로 전원과 서로 다른 2개의 수용가를 포함한 계통을 구성하였다. 제안하는 가변 망각인자를 사용한 추정과 기존의 고정 망각인자를 사용한 경우의 비교 분석을 시행하였다. 그림 4의 모의 계통에서 상위 전원 데이터는 E-TRAN을 이용하여 IEEE-39 계통을 축약한 파라미터를 사용하였고 그 값은 표 1과 같다.

그림. 4. 고조파 유발 수용가 A, B를 포함한 모의 계통

Fig. 4. Simulation system including the harmonic sources of consumers A&B

../../Resources/kiee/KIEE.2019.68.7.827/fig4.png

표 1. 상위 계통의 등가 전압 및 임피던스

Table 1. Equivalent voltage and impedance of the supply system

등가 전압원

등가 임피던스

크기[pu]

위상[°]

저항[pu]

리액턴스[pu]

1.04874

-5.7634

0.0036483

0.0164294

본 사례 연구에서는 표 2와 같이 서로 다른 2개의 수용가 운전 조건에 대해 파라미터 추정을 실시하였다. Case 1과 2는 각 수용가 임피던스와 내부 고조파 전압원 값이 서로 다르게 적용되었으며, Case 1에 대해서는 5차 고조파 Case 2에 대해서는 7차 고조파에 대한 파라미터를 추정하였다. 각 운전 조건에서의 PCC 전압 및 전류 측정값을 입력으로 하여 제안하는 방법을 적용하였다. 전체 시뮬레이션 시간은 2[s]이며 time step은 100[μs]로 설정하였다.

표 2. 수용가 A와 B에 대한 파라미터 조건

Table 2. Parameter conditions for consumers A and B

임피던스

내부전압

저항

[Ω]

리액턴스

[H]

크기

[kV]

위상

[°]

Case 1

수용가 A

5

0.005

1.18

0

수용가 B

3

0.001

1.16

0

Case 2

수용가 A

2.5

0.002

0.2515

0

수용가 B

1.5

0.004

0.1560

0

그림. 5. 모의 계통에서의 PCC 고조파 전압 및 전류

Fig. 5. Harmonic voltage and current measured at PCC

../../Resources/kiee/KIEE.2019.68.7.827/fig5.png

모의 계통에서의 각 고조파별 PCC 전압과 전류는 그림 5와 같으며 현실성을 반영하기 위해 일정 부분 노이즈를 포함시켰다. 또한 고정 망각인자를 적용한 모의의 경우 $\lambda$값은 0.9955를 사용하였으며 제안하는 가변 망각인자의 경우 $\alpha$값은 0.9988로 식(15)에 의해 가변하는 값으로 반영되었다.

4.2 파라미터 추정 결과 및 분석

그림 5의 노이즈가 포함된 PCC 전압과 전류를 입력으로 각 수용가에 대한 고조파 모델 파라미터 추정을 수행하였다. 그림 6은 Case 1에 대한 수용가 A와 B의 임피던스 추정 결과이다. 기존의 고정 망각인자를 적용한 경우 시뮬레이션 초기 ramp-up 시간을 지나 평균적으로 실제 파라미터와 유사한 추정값을 나타내기는 하지만 상당히 변동성이 크고 저항 보다 리액턴스의 추정에 오차가 큰 것을 알 수 있다. 이에 반해 가변 망각인자를 적용한 경우에는 ramp-up 시간에 추정의 변동성이 다소 크지만 이후 안정된 추정 성능을 보였다.

그림. 6. 수용가 A와 B의 파라미터 추정 (Case 1)

Fig. 6. Parameter estimation of the consumers A and B (Case 1)

../../Resources/kiee/KIEE.2019.68.7.827/fig6.png

그림 7은 Case 2에 대한 수용가 A와 B의 저항 및 리액턴스 추정 결과를 나타낸다. Case 1보다 PCC 전압과 전류의 변동성 및 노이즈가 큰 조건에서도 고정 망각인자보다 더 안정된 추정 성능을 보여주었다. 표 3 4는 고정 망각인자와 가변 망각인자를 사용한 경우의 부하 파라미터 최종 추정 결과를 나타낸다. 2초 모의 시간의 최종 결과값이며 각 수용가 고조파 임피던스 및 전압원 추정 결과를 정리하였다. 전체적으로 고정 망각인자를 사용한 경우보다 가변 망각인자를 사용한 경우 우수한 추정 결과를 얻었다. 고정 망각인자의 값을 바꿔가며 실시한 추가 모의에서도 가변 망각인자를 사용한 경우의 추정 성능이 우수했다. 가변 망각인자를 사용함으로써 계통 변화가 적은 정상상태에서 고정 망각인자를 사용할 때 공분산 값이 커져서 안정된 추정이 어려워지는 wind-up 문제를 해결할 수 있었다.

그림. 7. 수용가 A와 B의 파라미터 추정 (Case 2)

Fig. 7. Parameter estimation of the consumers A and B (Case 2)

../../Resources/kiee/KIEE.2019.68.7.827/fig7.png

표 3. Case 1에 대한 파라미터 추정 결과

Table 3. Parameter estimation results of Case 1

Parameter

Forgetting Factor

(λ)

Consumer A

Consumer B

Exact

Estimated

Exact

Estimated

R

constant

5.00

4.93

3.00

2.94

variable

5.00

3.00

X

constant

9.42

7.44

1.88

1.66

variable

9.42

1.88

V

(real)

constant

1.18

1.02

1.16

1.11

variable

1.19

1.16

V

(imaginary)

constant

-0.00

-0.04

-0.00

-0.03

variable

-0.00

-0.00

표 4. Case 2에 대한 파라미터 추정 결과

Table 4. Parameter estimation results of Case 2

Parameter

Forgetting Factor

(λ)

Consumer A

Consumer B

Exact

Estimated

Exact

Estimated

R

constant

2.50

2.46

1.50

1.45

variable

2.50

1.50

X

constant

5.28

3.81

10.56

3.20

variable

5.28

10.55

V

(real)

constant

0.251

0.241

0.156

0.194

variable

0.251

0.156

V

(imaginary)

constant

-0.00

-0.00

-0.00

0.01

variable

-0.00

0.00

5. 결 론

본 논문에서는 PCC에서의 고조파 전압 왜곡에 대해 각 수용가의 기여 정도를 평가하기 위한 부하 모델 파라미터 추정 방법을 제안하였다. 효과적인 고조파 관리 및 대책 수립을 위해서는 고조파 왜곡에 대한 기여가 큰 수용가의 식별과 그 정도에 대한 정량화가 필요하다. 기존의 고조파 관련 지수들은 계통내 고조파 왜곡 정도를 파악할 수 있을 뿐 개별 수용가들의 기여 정도나 계통에 미치는 영향에 대한 정보는 제공하지 못했다. 고조파 왜곡 기여도 평가를 위해서는 우선적으로 고조파 부하 파라미터 추정이 필요하다. 고조파 유발 부하에 대해 등가 임피던스와 전압원으로 모델링이 가능하고 순환 최소 자승법을 이용하여 각 파라미터의 추정이 가능하다. 이에 본 논문에서는 가변 망각인자를 적용한 순환 최소 자승법을 제안하였으며 사례 연구를 통해 고정 망각인자를 사용하는 기존 방법보다 파라미터 추정 성능이 우수함을 확인하였다. 물론 다양한 운전 조건에 따라 가변 망각인자를 적용하는 경우에도 추정 성능이 떨어질 수는 있으나 보통의 정상 상태하에서는 고정 망각인자보다 가변 망각인자를 사용하는 경우 추정 성능이 향상된다. 고조파 기여도 평가는 일반적인 정상상태 조건에서의 추정을 기반으로 하므로 본 논문에서 제안하는 방법을 통해 향상된 기여도 평가가 가능할 것으로 판단된다.

Acknowledgements

본 연구는 한국전력공사의 사외공모 기초연구(개별)에 의해 지원되었음(과제번호:R18XA06-68)

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저자소개

박종일(Jong-Il Park)
../../Resources/kiee/KIEE.2019.68.7.827/au1.png

2010년 부경대학교 전기공학과 졸업.

2012년 동 대학원 전기공학과 졸업

(석사). 2018년~현재 부경대학교

대학원 전기공학과 박사과정

E-mail : tm0111@naver.co.kr

박창현(Chang-Hyun Park)
../../Resources/kiee/KIEE.2019.68.7.827/au2.png

2007년 고려대학교 대학원 전기공학과 졸업(공박).

현재 부경대학교 전기공학과 교수

E-mail : spch@pknu.ac.kr