Mobile QR Code QR CODE : The Transactions of the Korean Institute of Electrical Engineers

  1. (Dept. of Electrical Eng., Myongji University, Korea.)
  2. (SEMES Co., Ltd.)
  3. (Hyundai Mobis Co., Ltd.)
  4. (Dept. of Electrical Eng., Myongji University, Korea.)



Robust control, Mechanical system, Position control, Sliding mode control, Sliding mode observer

1. 서 론

많은 전기기계 시스템들은 최종 제품의 형태나 제품 생산을 위한 도구로서 원하는 성능을 갖기 위한 정밀 제어를 필요로 한다. 제어기 설계는 대부분 알려진 시스템 모델과 측정 가능한 상태변수를 기반으로 하므로 제어 시스템의 성능은 측정된 상태와 시스템 파라미터의 정확도에 좌우될 수 있다. 제어기의 성능에 악영향을 미치는 불확실성이 존재해도 강인한 제어 성능을 유지하도록 하는 것은 중요한 문제이고, 많은 연구자들에 의해 연구가 진행되어 왔다[1-8].

슬라이딩 모드 제어기(Sliding-Mode Control; SMC)는 대표적인 강인 제어기법 중 하나로 불확실성이 존재하는 환경에서 흔히 사용 된다[9-17]. 하지만 정상상태 오차가 발생하거나 불연속 스위칭 입력에 의해 채터링이 발생한다는 단점이 존재하여 실제 적용할 때 주의가 필요하다. 정상상태 오차의 경우 적분 슬라이딩 모드 제어기(Integral SMC; ISMC)와 같은 기법들을 적용함으로써 해결되기도 하지만 제어기의 강인성 향상을 위해서는 스위칭 이득을 높일 수밖에 없기 때문에 채터링 문제를 해결하기 위해 다양한 연구가 지속되어 왔다[18-30].

채터링을 완화하는 방법 중 하나는 스위칭 입력에 불연속 부호 함수를 개선하는 것이다. 참고문헌 18,19]는 부호함수를 연속 함수로 근사하여 사용하였고, (20)은 부호함수 대신 포화 함수를 이용하였으며 Fuzzy 알고리즘을 이용하여 스위칭 입력을 조정하였다. (21)에서는 포화 함수를 사용할 때 발생하는 정상 상태 오차를 ISMC를 사용하여 개선하였다. (22)는 적응제어기를 사용하여 외란을 추정하고 추정된 외란을 보상하여 SMC의 스위칭 이득을 줄이는 방식으로 채터링을 완화하였다. (23)은 부호 함수의 출력을 적분하여 스위칭 입력의 채터링을 개선하였다. (24,29)는 sliding mode reaching law를 사용하여 제어기의 성능을 유지시키면서 채터링을 감소시키는 방법을 제안하였다. (25)는 Fuzzy logic 기반의 각도 제어기와 토크 제어를 이용하여 리플을 최소화 하였다. (26)은 신경망 기반 외란 관측기로 외란을 추정하여 입력에 적용하고 Actor-Critic과 Adaptive dynamic programing을 사용하는 SMC의 설계방법을 제시하였다. (27)(28)은 각각 시간 지연을 이용하여 부호 함수를 근사하거나 시변 이득을 사용한 부호 함수를 제안하였다. (30)은 채터링을 줄이기 위해 이중 폐루프 제어와 고차 SMC를 함께 사용하는 방법이 연구되었다.

본 논문은 기계 시스템의 위치 제어를 위해 SMC에서 흔히 발생하는 채터링 현상과 강인성 향상을 위한 큰 스위칭 이득을 줄이기 위해 ISMC와 함께 슬라이딩 모드 외란 관측기를 사용하는 방법을 설명한다. 이 때 기계 시스템에서 발생할 수 있는 파라미터 불확실성과 부하 토크를 포함한 등가 외란 중 오프셋 외란을 슬라이딩 모드 외란 관측기가 추정하여 제어 입력에 적용한다. 제어 입력을 스위칭 입력과 나머지 입력으로 구분하고 관측기의 입력에는 스위칭 입력을 사용하지 않는다. 이로 인해 ISMC를 단독으로 사용했을 경우보다 작은 스위칭 이득으로 강인성을 확보하고 채터링 현상이 개선되어 과도 성능이 향상 될 수 있다.

제안하는 제어기의 성능 시험은 ISMC만 사용하는 방법과 일반적인 SMC를 사용하는 방법과의 비교 모의실험을 통해 확인하였다. 모의실험은 마이크로프로세서를 이용한 실제 구현을 고려하여 이산화된 제어기를 사용하였다.

논문의 2.1절은 제어 대상 기계 시스템의 모델을 소개하고 2.2절은 ISMC 위치 제어기를 설계한다. 2.3절에서는 제어 입력과 관측기 입력을 구분하여 사용하는 오프셋 외란 관측기의 설계방법을 소개한다. 2.4절은 앞 절에서 설계한 오프셋 외란 관측기를 기반으로 하는 ISMC 위치 제어기를 설계한다. 2.5절은 일반적인 제어기와 비교 모의실험을 진행하였으며 마지막 결론으로 논문의 끝을 맺는다.

2. 본 론

2.1 제어 대상 시스템

논문에서 고려하는 파라미터 불확실성이 존재하는 제어 대상 시스템 모델은 다음과 같다.

(1)
\begin{align*} \dot\theta_{m}=\omega_{m}\\ \dot\omega_{m}= -\dfrac{B_{m}}{J_{m}}\omega_{m}+\dfrac{1}{J_{m}}(T -T_{L}) \end{align*}

위 식에서 $\theta_{m ,\:}\omega_{m}$은 각각 위치(각도)와 속도이고 $T$는 토크 입력을 나타낸다. $J_{m},\: B_{m}$은 각각 관성 모멘트와 마찰 계수이고 $T_{L}$은 부하 토크 외란이다.

식 (1)의 $\theta_{m}$과 $\omega_{m}$을 각각 $x_{1}$과 $x_{2}$로 두고 상태 방정식으로 다시 쓰면 아래와 같다.

(2)
\begin{align*} \dot x_{1}= x_{2}\\ \dot x_{2}= - a_{r}x_{2}+ b_{r}(u-d) \end{align*}

위 식에서 $u=T$는 제어 입력, $d=T_{L}$은 외란 입력이고, $a_{r}= B_{m}/J_{m},\: b_{r}= 1/J_{m}$이며 양수이다 (즉, $a_{r}> 0$, $b_{r}> 0$).

식 (2)와 같은 시스템에 대해 제어기를 설계할 때 불확실한 실제 파라미터 $a_{r}$과 $b_{r}$이 아닌 공칭 파라미터 $a_{n}$과 $b_{n}$을 사용하므로 파라미터 불확실성을 고려한 등가외란을 사용하여 식(2)를 다음과 같이 나타낸다. 이 때, 공칭 값 $a_{n}$과 $b_{n}$ 역시 모두 양수이다(즉, $a_{n}> 0$, $b_{n}> 0$).

(3)
$$ \begin{array}{l}{\dot{x}_{1}=x_{2}} \\ {\dot{x}_{2}=-a_{n} x_{2}+b_{n}\left(u-d_{e}\right)} \\ {d_{e}=b_{n}^{-1}\left(\overline{a} x_{2}-\overline{b} u+b_{r} d\right)}\end{array} $$

단, $\widetilde a =a_{r}-a_{n}$, $\widetilde b =b_{r}-b_{n}$이다.

등가 외란 $d_{e}$에 대해 아래와 같이 가정한다.

가정 1 : 등가 외란 $d_{e}$는 유계($| d_{e}|<D$)이며 각각 유계인 함수 $d_{1}$과 $d_{2}$의 합으로 나타낼 수 있다. 이 때 $d_{1}$은 본 논문에서 설계하는 슬라이딩 외란 관측기가 추정하는 대상이며 이를 오프셋 외란으로 부르기로 한다. □

다음 절에서는 공칭 파라미터를 사용한 식(3)에 대해 적분 슬라이딩 모드 제어기의 설계 방법을 소개한다.

2.2 적분 슬라이딩 모드 제어기(ISMC)

제어 오차에 대한 미분 방정식은 아래와 같다.

(4)
\begin{align*} \dot e_{1}= e_{2 \\ }\dot e_{2}= -a_{n}x_{2}+b_{n}(u-d_{e})-\ddot r \end{align*}

위 식에서 $r$은 미분 가능한 기준입력이고, 오차 $e_{1}=x_{1}-r$, $e_{2}=x_{2}-\dot r$이다.

본 논문에서 제안하는 ISMC는 아래와 같이 일반적인 슬라이딩 함수의 적분을 포함하는 형태의 함수 $s$를 사용한다. 이 때, $z(0)= -k_{1}e_{1}(0)- e_{2}(0)$이고, $k_{1}$과 $k_{2}$는 양수이다.

(5)
\begin{align*} s &= z + k_{2}\int z dt ,\: z &= k_{1}e_{1}+ e_{2}. \end{align*}

위의 슬라이딩 평면 $s = 0$에서 제어 오차는 다음과 같다.

(6)
\begin{align*} \dot z &= -k_{2}z \end{align*}, \begin{align*} \dot e_{1}&= -k_{1}e_{1} \end{align*}.

식 (5)(6)을 통해 슬라이딩 평면 $s = 0$에서 제어 오차는 순차적으로 0으로 수렴하는 것을 알 수 있다. 우선 $z$가 $k_{2}$의 크기에 비례하는 속도로 0으로 수렴하고, $e_{1}$ 또한 $k_{1}$의 크기에 비례하는 속도로 0으로 수렴하게 된다. 따라서 원하는 제어 성능을 얻기 위해 $k_{2}$를 $k_{1}$에 비해 충분히 크게 한다.

$s$가 0에 도달하기 위한 입력 $u$를 얻기 위해 Lyapunov 함수 $V=0.5s^{2}$을 시간에 대해 미분하면 다음과 같다.

(7)
$$ \begin{aligned} \dot{V} &=s \dot{s}=s\left(\dot{z}+k_{2} z\right)=s\left(k_{2} z+k_{1} e_{2}+\dot{e}_{2}\right) \\ &=s\left(k_{2} z+k_{1} e_{2}-a_{n} x_{2}+b_{n}\left(u-d_{e}\right)-\ddot{r}\right) \end{aligned} $$

위 식에서 $s ne0$일 때 $\dot{V}<0$이 되도록 아래 제어 입력을 생각한다.

(8)
$$ \begin{aligned} u &=u_{c}+u_{0} \\ u_{c} &=b_{n}^{-1}\left(-k_{2} z-k_{1} e_{2}+a_{n} x_{2}+\ddot{r}-\phi s\right) \\ u_{0} &=-\overline{D}_{\sin }(s) \end{aligned} $$

단, $u_{c}$의 $\phi > 0$이고, $u_{s}$의 스위칭 이득 $\overline{D}$는 등가 외란의 크기 $D$보다 크게 설계한다 ($\overline{D}- D >\sigma > 0$). 식(8)식(7)에 인가하면 아래와 같은 결과를 얻을 수 있다.

(9)
$$ \begin{aligned} \dot{V} &=-\phi s^{2}-\left.b_{n} \overline{D}\right|_{s} |-b_{n} d_{e} s \\ & \leq-\phi s^{2}-b_{n}(\overline{D}-D)|s| \\ & \leq-\phi s^{2}-b_{n} \sigma|s| \end{aligned} $$

첨언 1 : 2.5절에서 제안하는 제어기와의 성능 비교를 위해 일반적인 SMC와 외란 관측기를 결합한 형태를 검토한다. 이때 식(4)에 대한 SMC의 슬라이딩 함수 $s$ 및 제어 입력은 아래와 같다.

(10)
$s=k_{1}e_{1}+e_{2}$,

(11)
$$ \begin{array}{l}{u=u_{c}+u_{0}} \\ {u_{c}=b_{n}^{-1}\left(-k_{1} e_{2}+a_{n} x_{2}+\ddot{r}-\phi s\right)} \\ {u_{0}=-\overline{D}_{\operatorname{sgn}}(s)}\end{array} $$

위 식을 ISMC 식(8)과 비교하면 식(5)와 (6)에서 $k_{2}= 0$인 경우와 동일함을 알 수 있다. □

등가 외란의 크기가 큰 경우에는 제어식 (8)(11)에서 스위칭 이득 $\overline{D}$가 지나치게 커지고 채터링이 심해지는 문제가 발생할 수 있다. 다음 절에서는 슬라이딩 모드 외란 관측기를 함께 사용하여 $\overline{D}$의 크기를 줄이는 방법을 설명한다.

2.3 오프셋 외란 추정을 위한 슬라이딩 모드 관측기

본 절에서는 스위칭 이득($\overline{D}$)을 줄이기 위해 가정 1에서 정의한 오프셋 외란을 추정하는 외란 관측기를 설계한다. 오프셋 외란 관측기는 등가 외란 $d_{e}$의 일부인 $d_{1}$에 대해 $\dot d_{1}= 0$로 두고 아래와 같이 식(3)을 확장한 시스템을 고려한다. 외란을 $d_{1}$과 $d_{2}$로 구분하였듯이 제어 입력 $u$는 관측기 설계에 사용하는 $u_{o}$와 사용하지 않는 $u_{s}$로 나누어 쓴다.

(12)
$$ \begin{array}{l}{\dot{x}_{1}=x_{2}} \\ {\dot{x}_{2}=-a_{n} x_{2}+b_{n}\left(u_{o}+u_{s}\right)-b_{n}\left(d_{1}+d_{2}\right)} \\ {\dot{d}_{1}=0}\end{array} $$

제안하는 오프셋 외란 관측기는 아래와 같다.

(13)
$$ \begin{array}{l}{\dot{\hat{x}}_{2}=-a_{n} \hat{x}_{2}+b_{n} u_{o}-b_{n} \hat{d}_{1}+v\left(\overline{x}_{2}\right)} \\ {\hat{d}_{1}=l_{o} v\left(\overline{x}_{2}\right)}\end{array} $$

여기서 $\hat x_{2}$와 $\hat d_{1}$은 추정 값이고 각각의 추정 오차는 $\widetilde x_{2}= x_{2}-\hat x_{2}$, $\widetilde d_{1}= d_{1}-\hat d_{1}$이다. 관측기 이득 $l_{o}$와 스위칭 함수 $v\left(\widetilde x_{2}\right)$는 각각 추정 오차가 0으로 수렴하도록 설계한다.

식 (12)(13)으로 부터 관측 오차 시스템은 다음과 같다.

(14)
$$ \begin{array}{l}{\dot{\overline{x}}_{2}=-a_{n} \overline{x}_{2}+b_{n}\left(u_{s}-\eta\right)-v\left(\overline{x}_{2}\right)} \\ {\dot{\overline{d}}_{1}=-l_{0} v\left(\overline{x}_{2}\right)}\end{array} $$

위 식에서 $\eta=\overline{d}_{1}+d_{2}=d_{e}-\hat{d}_{1}$이고, 가정 1에 의해 $d_{2}$가 유계이므로 추정 오차 $\widetilde d_{1}$가 유계이면 $|\eta|<N$인 양수 $N$이 존재한다.

먼저 추정 오차 $\widetilde x_{2}$가 0으로 수렴하기 위한 스위칭 함수 $v\left(\widetilde x_{2}\right)$를 설계한다. Lyapunov 함수 $V_{o}= 0.5\widetilde x_{2}^{2}$을 시간에 대해 미분하면 다음과 같다.

(15)
$$ \dot{V}_{o}=\overline{x}_{2} \dot{\overline{x}}_{2}=a_{n} \overline{x}_{2}^{2} \quad v\left(\overline{x}_{2}\right) \overline{x}_{2} | b_{n}\left(u_{s} \quad \eta\right) \overline{x}_{2} $$

위 식에서 $u_{s}$는 스위칭 입력으로 유계이고, $\eta$ 또한 유계라면 $\left | u_{s}-\eta\right |\le\delta$를 만족하는 상수 $\delta$가 존재한다. 따라서 $M = b_{n}\delta$로 정의하면 식(15)는 아래와 같이 표현된다.

(16)
$\dot V_{o}\le -a_{n}\widetilde x_{2}^{2}- v\left(\widetilde x_{2}\right)\widetilde x_{2}+ M |\widetilde x_{2}|$

스위칭 이득 $\overline{M}$가 $\overline{M}- M >\epsilon_{0}> 0$일 때, $v\left(\widetilde x_{2}\right)$를 아래와 같이 결정한다.

(17)
$$ v\left(\overline{x}_{2}\right)=\overline{M} \sin \left(\overline{x}_{2}\right) $$

이때, $\widetilde x_{2}$가 0으로 수렴함을 알 수 있다.

(18)
$$\dot{V}_{o}<-a_{n} \overline{x}_{2}^{2}-\epsilon_{o}\left|\overline{x}_{2}\right| \leq 0$$

다음으로 오차 $\widetilde d_{1}$가 유계이도록 $\hat d_{1}$의 관측기 이득 $l_{o}$를 결정한다. 식(14)로부터 $\widetilde x_{2}$가 0으로 수렴할 때 스위칭 함수 $v\left(\widetilde x_{2}\right)$는 등가적으로 $v_{eq}\left(\widetilde x_{2}\right)= b_{n}\left(u_{s}-\eta\right)$이다. 따라서 식(14)의 $\widetilde d_{1}$식은 등가적으로 아래와 같이 다시 쓸 수 있다.

(19)
$$ \dot{\overline{d}}_{1}=l_{o} b_{n} \overline{d}_{1}-l_{o} b_{n}\left(u_{s}-d_{2}\right) $$

위 식에서 $l_{o}< 0$이면 안정하고 $d_{2}$와 $u_{s}$가 유계이므로 $\widetilde d_{1}$ 역시 유계이다.

식 (17)의 스위칭 이득 $\overline{M}$와 (13)의 관측기 이득 $l_{o}$는 각각 추정 오차 $\widetilde x_{2}$와 $\widetilde d_{1}$의 수렴 속도를 좌우한다. 주목할 점은 식(13)의 추정 외란 $\hat d_{1}$은 스위칭 함수의 적분이기 때문에 연속 함수가 되는 것을 알 수 있다. 다음 절에서는 추정된 외란 $\hat d_{1}$을 제어 입력에 적용함으로써 스위칭 이득 $\overline{D}$의 크기와 채터링 현상을 개선하는 방법을 설명한다.

2.4 오프셋 외란 관측기 기반 제어기

제어기의 스위칭 이득 $\overline{D}$는 오프셋 외란 $d_{1}$을 추정하여 보상함으로써 줄일 수 있다. 본 절에서 제안하는 제어기는 식(20)과 같고 관측기 (13)이 추정한 $\hat d_{1}$을 함께 사용한다. 식(20)의 $u_{o}$는 오프셋 외란 관측기 (13)에 사용되는 입력이다. 입력 $u_{o}$와 $u_{s}$는 적분 슬라이딩 모드 제어기법으로 설계하고 $u_{s}$의 스위칭 이득은 식(8) 혹은 (11)의 $\overline{D}$ 대신 $\overline{N}$를 사용한다.

(20)
$$ \begin{aligned} u &=u_{o}+u_{s}+\hat{d}_{1} \\ u_{o} &=b_{n}^{-1}\left(-k_{2} z-k_{1} e_{2}+a_{n} x_{2}+\ddot{r}-\phi s\right) \\ u_{s} &=-\overline{N}_{\operatorname{Sgn}}(s) \end{aligned} $$

스위칭 이득 $\overline{N}$를 결정하기 위해 Lyapunov 함수 $V_{c}= 0.5s^{2}$을 시간에 대하여 미분하면 식(7)과 동일한 결과를 얻을 수 있다. 이때 입력 (20)을 식(7)에 대입하면 아래와 같이 쓸 수 있다.

(21)
$$ \begin{aligned} \dot{V}_{c} &=-\phi s^{2}+b_{n} u_{s} s-b_{n} \eta s \\ & \leq-\phi s^{2}+b_{n} u_{s} s+b_{n} N|s| \end{aligned} $$

입력 $u_{s}$의 스위칭 이득 $\overline{N}$가 $\overline{N}- N >\epsilon_{c}> 0$을 만족하도록 결정하면 아래와 같이 제어 목표를 달성할 수 있다.

(22)
$\dot V_{c}< -\phi s^{2}- b_{n}\epsilon_{c}| s |\le 0$

시스템 (4)에 제안하는 제어기를 인가할 때 제어 오차 방정식은 아래와 같다.

(23)
$$ \begin{array}{l}{\dot{e}_{1}=e_{2}} \\ {\dot{e}_{2}=-k_{2} z-k_{1} e_{2}-\phi s+b_{n}\left(u_{0}-\eta\right)}\end{array} $$

식 (23)으로부터 슬라이딩 평면 $s = 0$에서 입력 $u_{s}$는 등가적으로 $u_{s.eq}=\eta\left(=\widetilde d_{1}+ d_{2}\right)$임을 알 수 있다. 이는 등가 외란 $d_{e}$ 중에서 오프셋 외란의 추정치 $\hat d_{1}$을 제외한 나머지 외란을 ISMC가 보상함을 의미한다. 따라서 스위칭 입력 $u_{s}$의 이득 $\overline{N}$는 식(8)(11)의 $\overline{D}$보다 작은 값으로 제어 목표를 달성할 수 있게 된다.

또한 오프셋 외란 관측기 (13)의 이득 $\overline{M}$는 $\left | u_{s}-\eta\right |\le\delta$를 만족하는 $\delta$에 의존하므로 $u_{s}$가 $\eta$에 가까울 때 $\overline{M}$의 크기도 작아짐을 의미한다. 이것은 관측기 (13)의 입력으로 전체 제어 입력 $u$를 사용하지 않고 $u_{o}$를 사용한 결과이다.

결과적으로 시스템의 불확실성을 포함한 등가 외란 $d_{e}$에 대한 강인성을 확보하기 위한 방법으로 SMC를 단독으로 사용할 경우보다 제안하는 오프셋 외란 관측기 기반 제어기를 사용하면 작은 스위칭 이득으로 원하는 제어 목표를 달성할 수 있음을 알 수 있다.

2.5 모의실험

모의실험에 사용한 제어기의 구성은 표 1과 같다. 첫째 ISMC는 제어기 (8)을 단독으로 사용한 형태이다. 둘째 SMCO(SMC with Observer)는 제어기 (11)과 관측기 (13)의 추정치 $\hat d_{1}$을 함께 사용하였다. 마지막으로 Prop.(제안하는 제어기)는 ISMC (8)과 오프셋 외란 관측기 (13)을 사용한 식(20)이다. 제어기 (11)의 SMC는 ISMC (8)에 비해 큰 스위칭 이득을 필요로 하기 때문에 결과를 포함하지 않았다.

표 1. 제어기의 구성 비교

Table 1. Comparison of controller configuration

번호

제어기 명칭

슬라이딩 평면

관측기 입력

1

ISMC

$s = z + k_{2}\int z dt$

-

2

SMCO

$s = k_{1}e_{1}+ e_{2}$

$u_{o}= u_{c}+\hat d_{1}$

3

Prop.

$s = z + k_{2}\int z dt$

$u_{o}= u_{c}+\hat d_{1}$

모의실험에 사용된 모든 제어기는 $10\lceil\mu S\rceil$의 샘플링 주기로 이산화한 디지털 제어기를 사용하였다. 부호 함수 대신 아래 식과 같은 연속 함수를 사용하였다.

(24)
${sgn}(s)\approx\dfrac{s}{|s|+ 0.005}$

모의실험 대상 시스템은 DC 모터의 기계 시스템으로 실제 파라미터와 공칭 파라미터는 표 2에 나타내었다. 제어기 설계에 사용한 파라미터는 표 3에 기재하였다. 제어기 및 관측기 설계를 위한 파라미터는 공칭 값을 사용하였다.

표 2. 시스템 파라미터

Table 2. System parameters

공칭 값

실제 값

단위

$\overline{J}_{m}(J_{m})$

$174.14$

$(86.57)$

$\left[g \cdot \mathrm{cm}^{2}\right]$

$\overline{B}_{m}(B_{m})$

$2.1084e^{-1}$

$(4.2167e^{-2})$

$[\mathrm{mNm} /(\mathrm{rad} / \mathrm{sec})]$

표 3. 제어기 및 관측기 이득

Table 3. Controller and observer gain

$\phi$

$50$

$l_{o}$

$-1500$

$k_{1}$

$10$

$k_{2}$

$100$

$\overline{D}$

$7$ , $8$ , $10$

$\overline{M}$ , $\overline{N}$

$0.3$

기준 입력 $r$은 식 (25a)의 $\zeta$를 식 (25b)의 필터를 통과시켜 사용하고 대역폭 $\omega_{c}$는 20[rad/sec]이다 (그림 1(a)).

(25a)
$$ \zeta(t)=\left\{\begin{array}{cl}{\pi t} & {\text { if } 0 \leq t<1} \\ {2 \pi-\pi t} & {\text { if } 1 \leq t<3} \\ {-4 \pi+\pi t} & {\text { if } 3 \leq t<\infty}\end{array}\right. $$

(25b)
$dotr(t)=-\omega_{c}r(t)+\omega_{c}\zeta(t)$

토크 외란($d$)은 식 (26a)-(26b)와 같이 저역 통과 필터를 거쳐 인가하였고 $\omega_{d}= 200[\mathrm{rad} / \mathrm{sec}]$이다 (그림 1(b)).

(26a)
$$ \xi(t)=\left\{\begin{array}{ccc}{\pi+2 \pi t} & {\text { if }} & {0 \leq t<1} \\ {4 \pi-2 \pi t} & {\text { if }} & {1 \leq t<3} \\ {-7 \pi+2 \pi t} & {\text { if }} & {3 \leq t<\infty}\end{array}\right. $$

(26b)
$\dot d(t)=-\omega_{d}d(t)+\omega_{d}\xi(t)$

그림 2의 ISMC 모의실험은 스위칭 이득 $\overline{D}$의 영향을 확인하기 위해 $\overline{D}$를 $7$, $8$, $10$으로 증가시키면서 실험 하였다. 그림에서 ‘Ref.’는 기준 입력이다. $\overline{D}$가 커질수록 제어성능이 향상되지만 제어 입력의 진동이 심한 것을 볼 수 있다.

다음으로 그림 3에서 세 가지 제어기의 성능을 비교하였다. 그림 3(a)는 기준 입력과의 제어 오차이고, 그림 3(b)는 각속도 궤적이다. 그림 3(c)는 제어 입력이다. 그림 3(a)를 보면 제안하는 제어기는 SMCO와 비교하여 정상 상태 오차 없이 성능이 개선되었다고 할 수 있다. 그림 3(b)를 보면 제안하는 제어기와 SMCO의 각속도 리플이 ISMC 보다 개선된 것을 알 수 있다. 이로 인해 제어 입력의 진동이 개선된 모습을 그림 3(c)를 통해 알 수 있다. 오프셋 외란 관측기를 함께 사용함으로써 제안하는 제어기와 SMCO의 제어 성능이 ISMC만 사용한 경우보다 우수함을 확인할 수 있다. 이 때 $\overline{N}= 0.3$과 같이 작은 이득으로 개선된 성능을 얻을 수 있었다 (표 3).

그림. 1. 기준입력과 부하토크

Fig. 1 Reference and Load Torque

../../Resources/kiee/KIEE.2019.68.7.908/fig1.png

그림. 2. 적분 슬라이딩 모드 제어기 성능

Fig. 2 Performance of ISMC

../../Resources/kiee/KIEE.2019.68.7.908/fig2.png

그림. 3. 관측기 기반 슬라이딩 모드 제어기 성능

Fig. 3 Performance of the observer-based sliding mode controller

../../Resources/kiee/KIEE.2019.68.7.908/fig3.png

제안하는 제어기의 해석을 위해 그림 4(a)에는 등가외란 $d_{e}$, 추정된 오프셋 외란 $\hat d_{1}$을 나타내고, $\hat d_{1}$이 보상된 $\eta =\widetilde d_{1}+ d_{2}$와 스위칭 입력 $u_{s}$의 궤적을 그림 4(b)에 나타내었다. 추정된 오프셋 외란 $\hat d_{1}$을 보상함으로써 $\left | d_{e}\right | < D$의 범위에 비해 $|\eta | < N$의 범위가 감소한 것을 확인할 수 있다. 또한, $u_{s}$가 $\eta$와 유사함을 확인할 수 있고, 관측기 (13)의 입력으로 전체 입력 $u$ 대신 $u_{o}$를 사용함으로써 관측기 스위칭 이득의 크기를 줄일 수 있음을 의미한다.

관측기 (13)의 입력으로 $u_{o}$ 대신 제어기의 스위칭 입력 $u_{s}$를 포함한 $u = u_{o}+ u_{s}$를 사용하였을 경우 모의실험 결과는 그림 5와 같다. 그림 5(a)를 통해 관측기 입력으로 $u$를 사용한다면 각속도의 리플이 증가한다는 것을 알 수 있다. 이로 인해 그림 5(b)와 같이 제어 입력의 채터링이 발생함을 확인할 수 있다.

그림. 4. 등가 외란 $d_{e}$, 추정 외란 $\hat d_{1}$, $\eta =\widetilde d_{1}+ d_{2}$, $u_{s}$

Fig. 4 Equivalent disturbance $d_{e}$, Estimated disturbance $\hat d_{1}$, $\eta =\widetilde d_{1}+ d_{2}$, $u_{s}$

../../Resources/kiee/KIEE.2019.68.7.908/fig4.png

그림. 5. 오프셋 외란 관측기 입력에 $u$를 사용한 경우

Fig. 5 Performance of observer input $u = u_{o}+ u_{s}$

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3. 결 론

본 논문은 파라미터 불확실성이 존재하는 기계 시스템의 위치 제어 문제를 다루었다. 정상 상태 오차를 줄이기 위하여 불확실성에 강인한 적분 슬라이딩 모드 제어기를 사용하였으며, 스위칭 이득을 줄여 채터링을 완화하기 위해 오프셋 외란 관측기를 설계하고 추정된 외란을 제어 입력에 적용하는 제어기를 제안하였다. 오프셋 외란 관측기의 입력으로 제어 입력 중 스위칭 함수를 제외한 부분 입력을 사용함으로써 관측기의 스위칭 이득을 줄일 수 있었다. 제안하는 제어기의 성능은 이산화된 디지털 제어기를 사용한 모의실험을 통해 확인하였다. 위치 제어 모의실험 결과 제안하는 제어기가 시스템의 불확실성과 외란에 강인하고 기존 방법에 비해 각속도의 진동이 줄어든 것을 확인 할 수 있었다. 제어 입력의 진동 또한 줄어들어 소음 및 진동을 발생시키는 채터링이 완화된 모습을 관찰하였다. 향후 실제 실험을 통해 제안하는 방법의 성능을 향상시킬 계획이다.

Acknowledgements

This work was supported by the National Research Foundation of korea(NRF) grant funded by the Korea government(MSIT).

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저자소개

장수영(Su Young Jang)
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2018년 명지대학교 전기공학과 졸업. 2018년~현재 명지대학교 대학원 전기공학과 석사과정 재학. 관심분야는 강인제어기법, 인공지능을 이용한 적응제어 기법, 산업 전자 응용.

육주형(Joo Hyoung Yook)
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2015년 명지대학교 전기공학과 졸업. 2017년 명지대학교 대학원 전기공학과 졸업(공학석사). 2017년~현재 SEMES 연구원. 관심분야는 강인 제어 이론, 관측기 기반 제어기 설계.

김인혁(In Hyuk Kim)
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2009년 명지대학교 전기공학과 졸업. 2011년 명지대학교 대학원 전기공학과 졸업(공학석사). 2011년~2012년 DGIST 연구원. 2016년 명지대학교 전기공학과 졸업(공학박사). 2017년~현재 현대모비스 연구원. 관심분야는 강인 제어 이론, 전기기기 제어, 마이크로프로세서 응용.

손영익(Young Ik Son)
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1995년 서울대학교 전기공학과 졸업. 2002년 서울대학교 대학원 전기·컴퓨터공학부졸업(공학박사). 2007년~2008년 코넬 대학교 방문연구원. 2016~2017년 코네티컷 대학교 방문연구원. 2003년~현재 명지대학교 전기공학과 교수. 관심분야는 강인 제어 기법, 산업 전자 응용.