1. 서 론

최근 비선형 시스템의 제어기 설계 문제에 타카기-수게노 (Takagi-Sugeno, T-S) 퍼지 모델 ^{(1), (10-16)}을 적용하는 연구가 활발히 진행되고 있다. T-S 퍼지 모델은 주어진 비선형 상태 방정식을 선형 부분 시스템들의 퍼지 합으로 표현한다. 따라서 T-S 퍼지 모델은 주어진 비선형 시스템 모델과 수학적으로 동일하면서도 선형 부분 시스템으로 인해 선형 제어 이론의 적용을 가능하게 한다는 장점이 있다. 일반적으로 T-S 퍼지 모델에 대한 제어기 설계는 리아푸노프 (Lyapunov) 안정도 정리 ⁽²⁾를 기반으로 이루어지며, 안정도 조건은 선형 행렬 부등식 ⁽³⁾의 형태로 유도되어 컴퓨터 프로그램을 이용해 수치적으로 해석된다.

이러한 장점에도 불구하고 그동안의 연구는 주로 설계된 제어 시스템이 이상적으로 구동 가능함을 전재로 한다는 문제를 가지고 있다. 실제 제어기의 구현에서는 센서나 구동기의 결함으로 인해 제어 시스템이 설계 시 요구되었던 성능을 제대로 발현하지 못하거나 심한 경우 시스템이 불안정하게 되기도 한다. 따라서 구동기의 결함 가능성을 제어기 설계 시에 특정화하여 구동기에 고장이 발생했을 경우에도 가능한 최대한의 제어 성능을 낼 수 있도록 사전에 제어기를 설계하는 것이 중요하다. 이러한 제어 기법을 고장 허용 제어라고 하며, 최근 T-S 퍼지 모델에 대한 고장 허용 제어와 관련된 연구가 활발히 진행되고 있다 ^(4,5). ⁽⁴⁾에서는 시간 지연과 구동기 결함이 있는 퍼지 시스템의 제어기 설계 문제를 다루었고, ⁽⁵⁾에서는 능동 서스펜션 시스템에 대한 고장 허용 $H_{\infty}$ 제어기 설계 방법을 연구했다.

한편, 디지털 컴퓨터 기술의 발전으로 인해 마이크로프로세서 등 디지털 하드웨어를 이용해 제어기를 구현하는 사례가 증가하고 있다. 디지털 하드웨어는 주어진 샘플링 주기에서만 동작하기 때문에 이산 시간에서 동작하게 된다. 그러나 제어 대상이 되는 시스템은 여전히 연속 시간에서 동작하므로, 전체 제어 시스템에 연속 시간과 이산 시간 상태 변수가 혼재되는 복잡성을 발현한다. 이러한 시스템을 샘플치 제어기 시스템 ^(6-8)이라고 하며, 관련 연구가 활발히 연구되고 있다. T-S 퍼지 모델의 샘플치 제어기 설계 기법은 크게 입력 지연 방법 ⁽⁶⁾과 정확한 이산화 방법 ^(7,8)으로 구분할 수 있다. 전자는 전체 제어 시스템을 연속 시간의 입력 지연 시스템으로 변환한 후 연속 시간에서 안정도 조건을 적용하는 방법이며, 후자는 전체 제어 시스템을 이산화한 후, 이산 시스템에 대한 이산 시간에서 안정도 조건을 적용하는 방법이다. 정확한 이산화 방법이 최근 활발히 적용되고 있으나, 기존의 연구는 구동기의 결함을 고려하지 않고 진행되었다.

이러한 분석을 기초로 하여 본 논문에서는 T-S 퍼지 모델에 대한 샘플치 고장 허용 제어기 설계 문제를 다룬다. 이를 위해 본 논문에서는 구동기의 결함을 시변의 각 원소의 하한과 상한 값 만을 아는 고장 행렬을 통해 모델링을 한다. 그 후, 전체 제어 시스템을 이산화하여 이산 시간에서 안정도 조건을 유도한다. 그러나 안정도 조건에 시변 고장 행렬이 포함되므로, 이것을 시간에 종속적인 항과 시간에 종속적이지 않은 항으로 분리하여 안정도 조건에는 시간에 종속적이지 않은 항만이 포함되도록 하여 안정도 조건을 선형 행렬 부등식으로 유도한다. 마지막으로 시뮬레이션 예제를 통해 제안하는 방법의 타당성을 검증한다.

2. 문제 제기

다음의 T-S 퍼지 모델을 고려하자.

여기서 $r>0$은 퍼지 규칙의 수를 나타내며, $x(t)\in R^{n}$과 $u_{F}(t)\in R^{m}$는 각각 상태 벡터와 구동기 고장을 포함하는 입력 벡터이고, $A_{i}\in R^{n\times n}$와 $B_{i}\in R^{n\times m}$는 알고 있는 시스템 행렬들이며, $w_{i}(x(t))\in[0,\: 1]$은 $i$번째 규칙의 소속함수로 다음을 만족한다.

본 논문에서는 (1)의 안정화를 위해 일정한 샘플링 주기로 샘플된 상태 벡터를 되먹임하는 제어기를 사용하며, 이는 다음과 같이 표현된다.

여기서 $u(t)\in R^{m}$은 구동기 고장이 포함되지 않은 제어 입력 베터이며, $K_{i}\in R^{m\times n}$는 설계되어질 제어 이득 행렬이며, $t_{k}$는 $k >0$번째 샘플링 시점으로 $t_{k+1}-t_{k}:=h_{k}\le h_{M}$의 관계를 가지며, $h_{M}>0 $은 최대 샘플링 주기를 의미한다.

한편, 본 논문에서는 다음과 같이 시변 고장 행렬 $F(t)$를 이용하여 구동기 고장 모델을 정의한다.

여기서 $F(t)=diag\left\{f_{1}(t),\: f_{2}(t),\:\cdots ,\: f_{m}(t)\right\}$이고, 모든 $a$에 대해 $f_{a}(t)$는 $0\le\underline f_{a}\le f_{a}(t)\le\overline{f}_{a}\le 1$를 만족하고, 이때 $f_{a}(t)$는 알지 못하는 시변 스칼라이며, $\underline f_{a}$와 $\overline{f}_{a}$는 주어진 상수 스칼라이다.

이제 식(1)- (3)을 이용하면, 다음의 폐루프 상태 방정식을 얻을 수 있다.

여기서 $\phi_{ij}=A_{i}+B_{i}F(t)K_{j}$이고, $\overline{x}(t)= x(t)-x(t_{k})$이다.

한편, 표기의 간편함을 위해 임의의 행렬 $M_{i}$와 $N_{ij}$에 대해 다음의 표기법을 정의한다.

식 (5)의 표기법을 이용하여 (4)를 다시 나타내면 다음과 같다.

본 논문의 목표는 다음의 문제를 해결하는 것이다.

문제 1 : 주어진 양의 스칼라 $h_{M}$, $\overline{f}_{a}$, $\underline f_{a}$에 대해 T-S 퍼지 시스템 (1)의 평형점을 점근 안정화하는 구동기 고장을 포함하는 제어기 (3)의 제어 이득 행렬을 구하라.

마지막으로 문제 1의 해결에 도움이 되는 다음의 보조 정리를 소개하면서 본 장을 마무리한다.

보조 정리 1 ⁽⁷⁾ : 비선형 시스템 동역학 $\dot x(t)$$=f(t,\:x)$이 구분 연속이고 $x$에 대해 지역적으로 Lipschitz이라면, 양부호 행렬 $P$에 대해 다음의 부등식은 항상 성립한다.

보조 정리 2 ⁽⁸⁾ : 주어진 어떤 벡터 $x$와 $t_{0}<t_{f}$인 임의의 양수 $t_{0}$, $t_{f}$, 그리고 임의의 양부호 행렬 $P$에 대해 다음의 부등식은 항상 성립한다.

참고 1 : 식(3)에서 고장 행렬 $F(t)=I$가 되면, 즉 $\underline f_{a}=\overline{f}_{a}=1$, 식(3)은 구동기 고장이 없는 이상적인 제어기로 간략화된다. 따라서 본 논문에서 도출된 결과는 구동기 고장이 없는 시스템의 안정화에도 적용 가능하다.

3. 주요 결과

본 장에서는 본 논문에서 제안하는 T-S 퍼지 시스템의 샘플치 고장 허용 제어기 설계 조건을 유도한다. 본 논문에서는 샘플치 제어 시스템의 상태 방정식 (6)의 정확한 이산화 모델에 대해 이산 시간에서 안정화 조건을 유도한다. 이를 위해 식(6)의 정확한 이산화 모델을 유도하면 다음과 같다.

안정화 조건을 유도하기에 앞서 유도 과정에서 중요한 역할을 하는 다음의 행렬을 정의한다.

여기서 $a\in I_{m}$이며, 고장 행렬 $F(t)$는 $F(t)=F_{0}\left(I +F_{1}(t)\right)$로 표현 가능하며, $I$는 단위행렬이고, $F_{1}(t)$와 $F_{2}$는 $F_{1}^{T}(t)F_{1}(t)\le F_{2}^{T}F_{2}\le I$를 만족한다.

다음의 정리는 문제 1에 대한 해를 제안한다.

: 주어진 양의 스칼라 $\alpha$, $\beta$, $\underline f_{a}$, $\overline{f}_{a}$, $a\in\{1,\:2,\:\ldots ,\:m\}$, $\epsilon$, 그리고 $h_{M}$에 대해 다음의 선형 행렬 부등식을 만족하는 양부호 행렬 $\overline{P}\in R^{n\times n}$와 $\overline{Q}\in R^{n\times n}$, 그리고 임의의 행렬 $\overline{M}\in R^{n\times n}$과 $\overline{K}_{j}\in R^{m\times n}$, $j\in I_{r}$이 존재하면 (6)의 평형점은 점근 안정하다.

여기서

마지막으로, 제어 이득 행렬은 $K_{j}=\overline{K}_{j}\overline{M}^{-1}$로부터 얻을 수 있다.

증명 : 다음의 이산시간 리아푸노프 함수를 고려하자.

여기서 $P\in R^{n\times n}$은 미지의 양부호 행렬이다.

식 (10)의 차분을 계산하면 다음과 같다.

식 (11)에 (7)을 대입하면, 다음을 얻는다.

한 편, 임의의 양부호 행렬 $Q\in R^{n\times n}$에 대해 다음이 성립함은 명백하다.

이제 식(12)에 식(13)를 더하고, (13)에 대해 보조 정리 1을 적용하면 다음을 얻을 수 있다.

그리고 식(14)의 마지막 항에 보조 정리 2를 적용하면,

에 의해 (14)을 다음과 같이 수정할 수 있다.

이제 (6)의 상태 방정식으로부터 임의의 행렬 $M\in R^{n\times n}$과 양의 스칼라 $\alpha$와 $\beta$에 대해 다음이 성립함을 알 수 있다.

식 (15)와 (16)을 결합함으로써 다음을 얻을 수 있다.

여기서 $\eta(\tau ,\: t_{k})= col\left\{x(t_{k}),\:\dot x(\tau),\:\overline{x}(\tau)\right\}$이고,

따라서 (6)의 평형점이 점근 안정하기 위해서는 $\Xi(\tau ,\: t_{k})$가 $\tau\in[t_{k},\: t_{k+1}]$, $k\ge 0$에 대해서 다음을 만족해야 한다.

이제 고장 행렬 $F(t)$에 대해 (8)을 적용하면, 다음을 얻을 수 있다.

여기서 $\phi_{0}(\tau ,\: t_{k})=A(\tau)+B(\tau)F_{0}K(t_{k})$이고 $\phi_{1}(\tau ,\:t_{k})=$$B(\tau)$ $F_{0}F_{1}(\tau)K(t_{k})$이다.

식 (18)에 (19)를 적용하면 다음을 얻을 수 있다.

여기서 $\Xi_{1}(\tau)= col\left\{\alpha M^{T}B(\tau),\:\beta M^{T}B(\tau),\: M^{T}B(\tau)\right\}$,

또한, (20)에 임의의 행렬 $X$와 $Y$에 양의 스칼라 $\epsilon$에 대해 잘 알려진 다음의 행렬 부등식을 적용하면,

다음이 성립함을 알 수 있다.

마지막으로 (21)에 슈어 보수를 적용하고, $M^{-1}=\overline{M}$, $\overline{P}=\overline{M}^{T}P\overline{M}$, $\overline{Q}=\overline{M}^{T}Q\overline{M}$, $\overline{K}(t_{k})= K(t_{k})\overline{M}$을 정의하고, congruence transformation을 ${diag}\{\overline{M},\:\overline{M},\:\overline{M},\:I,\:I\}$을 이용하여 적용하면, 식(21)은 다음의 행렬 부등식으로 보장된다.

이로부터 식(9)의 선형 행렬 부등식을 얻을 수 있다. 따라서 (9)의 선형 행렬 부등식을 만족하는 해를 찾을 수 있다면, $\Delta V(t_{k})\le 0$이 보장되므로, (6)의 평형점은 점근 안정화된다. 이것으로 증명을 마무리한다. ■

참고 2 : 정리 1은 식(7)의 정확한 이산화 모델에 대한 점근 안정화 조건을 유도했다. 그러나 ⁽⁹⁾의 Proposition 1에 의하면 $|| x(t_{k})||\to 0$이 $|| x(t)||\to 0$을 보장함을, 즉 식(6)의 점근 안정화를 보장함을 쉽게 증명할 수 있다.

한 편, 다음의 따름 정리는 ⁽⁹⁾의 정리 2에 근거하여, (9)의 선형 행렬 부등식보다 더 완화된 (22)을 보장하는 선형 행렬 부등식을 제공한다.

따름 정리 1 : 임의의 상수 스칼라 $\sigma_{j}>0$에 대해 $w_{j}(x(t_{k}))-w_{j}(x(t))+\sigma_{j}\ge 0$가 만족할 때, 다음의 선형 행렬 부등식을 만족하는 대칭 행렬 $\Pi_{i}\in R^{3n\times 2m}$이 존재하면, (22)의 행렬 부등식은 다음의 선형 행렬 부등식으로 보장된다.

여기서 $T_{ij}= X_{ij}-\sum_{v=1}^{r}\phi_{v}\left(X_{iv}+\Pi_{i}\right)$이다.

증명 : ⁽⁹⁾로부터 쉽게 증명 가능하므로 생략한다. ■

참고 3 : 본 논문에서 제안하는 방법은 다음의 T-S 퍼지 시스템에 대한 샘플치 제어기 설계 문제와 관련하여 다음의 기여를 가진다.

본 논문에서는 정확한 이산화 방법을 통해 고장 허용 제어기를 설계하는 방법을 제안한다.

고장 행렬 각 원소의 최대, 최솟값을 이용해 시변의 불확실한 고장 행렬을 포함하는 안정화 조건을 선형 행렬 부등식으로 유도한다.

시뮬레이션을 통해 제안하는 방법의 타당성을 검증한다.

4. 시뮬레이션 예제

본 장에서는 Van der Pol 오실레이터 시스템에 대한 샘플치 고장 허용 제어기 설계에 대한 시뮬레이션 결과를 다루며, 이를 통해 제안하는 방법의 타당성을 검증할 것이다. Van der Pol 오실레이터의 T-S 퍼지 모델은 (1)로 표현할 수 있으며, 이때 시스템 파라미터는 다음과 같다.

$A_{1}=\left[\begin{array}{cc}{0} & {1} \\ {-1} & {\varphi\left(1-M^{2}\right)}\end{array}\right], A_{2}=\left[\begin{array}{cc}{0} & {1} \\ {-1} & {\varphi}\end{array}\right]$,

$B_{1}=B_{2}=[\begin{aligned}1\\0\end{aligned}]$, $w_{1}(x(t))=\dfrac{x_{1}^{2}(t)}{M^{2}}$,

$w_{2}(x(t))=1-w_{1}(x(t))$, $\varphi =1$, $M =2.5$.

본 시뮬레이션 예제에서는 고장 행렬을 다음과 같다고 가정했다.

$F(t)=\left(\overline{f}_{1}-\underline f_{1}\right)\dfrac{\sin(10t)+1}{2}+\underline f_{1}$,

이때 파라미터는 $\underline f_{1}= 0.3$과 $\overline{f}_{1}= 0.7$이다.

이상의 조건에서 $\alpha =\beta =1$, $h_{M}=0.01$, $\sigma_{1}=\sigma_{2}=0.3$에 대해 따름 정리 1의 선형 행렬 부등식 (23)-(25)를 해석하여 다음의 제어 이득 행렬을 얻을 수 있다.

비교를 위해 구동기 고장이 없다고 가정한 상태, 즉 $F_{0}= I$과 $F_{1}(t)=F_{2}= 0$인 상태에 대해 (23)-(25)의 선형 행렬 부등식을 해석하여 다음의 제어 이득 행렬을 얻을 수 있었다.

그림 1과 그림 2는 각각 구동기 고장 허용 샘플치 제어기 (26)과 일반적인 구동기 고장을 고려하지 않은 샘플치 제어기 (27)로 제어되는 상태 변수 $x_{1}(t)$와 $x_{2}(t)$의 상태 응답을 나타내며, 그림 3은 고장 행렬 $F(t)$의 그래프이다.

그림 1에서 그림 3을 통해 제안하는 방법을 통해 설계된 제어기는 구동기 고장이 있는 상황에서도 보다 안정적인 제어를 수행하는 것을 알 수 있다. 따라서 이것으로 제안하는 방법의 타당성을 검증할 수 있다.

5. 결 론

본 논문에서는 T-S 퍼지 시스템의 고장 허용 제어기 설계 문제를 다뤘다. 샘플치 제어 시스템에서는 연속 시간과 이산 시간 상태 변수가 혼재되어 있기 때문에 정확한 이산화 접근법을 사용하여 시스템을 이산화한 후 선형 행렬 부등식 기반의 안정성 조건을 도출했다. 또한, 제어기는 시간에 따라 변하는 불확실한 고장 행렬을 포함한다고 가정되었다. 본 논문에서는 고장 행렬 각 원소의 상한 및 하한을 사용하여 고장 행렬을 시간에 종속적 인 항과 독립적인 항으로 분해했고, 이를 통해 유도되는 안정도 조건이 고장 행렬의 시간 독립적인 항만을 포함하도록 구성했다. 이러한 과정을 통해서 안정도 조건을 선형 행렬 부등식의 형태로 얻을 수 있었고, 그로 인해 수치해석 방법을 통해 제어기를 설계할 수 있었다. 마지막으로 제안된 샘플치 고장 허용 제어기 설계 방법의 타당성을 시뮬레이션 예제를 통해 검증했다.