1. 서 론

최근 네 개의 로터로 추력을 얻는 수직 이착륙 무인 항공기인 쿼드로터에 대한 관심이 크다^(1-3). 특히, 쿼드로터의 높은 비행 자율성과 응용성으로 교통 모니터링, 재해 구호 등 다양한 분야에서 연구되고 있다. 한편, 쿼드로터의 제어 시스템은 자세, 고도, 위치 시스템으로 구성된다. 하지만 쿼드로터는 네 개의 입력으로 6 자유도를 제어하는 과소 구동 제어 시스템으로 제어기 설계에 어려움이 따른다.

한편, 비선형 시스템의 동역학을 IF-THEN 규칙 기반으로 선형 부분 시스템의 퍼지 합으로 표현하는 Takagi-Sugeno (T-S) 퍼지 모델에 대한 연구가 활발히 진행되고 있다^(4,5). T-S 퍼지 모델의 결론부는 선형 부분 시스템으로 표현되므로 기존에 연구된 선형 제어 이론을 비선형 시스템의 제어기 설계에 적용할 수 있다는 장점으로 많은 연구가 진행되고 있다^(6-10).

기존 T-S 퍼지 시스템의 제어기 설계를 위해 상태 피드백 제어, 슬라이딩 모드 제어 등 여러 제어 기법들이 연구되었다^(11-14). 그러나 기존 연구는 주로 제어 입력이 연속적인 경우만을 고려한다. 따라서 제어기에 전송된 상태 벡터들이 연속적인 것을 보장하기 어려운 디지털 컴퓨터 기반의 제어기 설계 문제에 적용하기 어렵다. 이러한 문제를 해결하기 위해 샘플치 기반의 제어 기법이 연구되고 있다^(15,16). 샘플치 제어는 제어 루프에서 전송되는 정보의 양을 크게 줄이고 대역폭 사용의 효율성을 향상시킬 수 있어 실제 응용에서 유용하다.

한편, 양자화는 연속 신호를 디지털 신호로 변환하기 때문에 유한한 네트워크 전송 용량의 문제를 효과적으로 다룰 수 있다^(17,18). 그러나 연속 신호를 디지털 신호로 양자화하는 과정에서 양자화 오차를 포함해 여러 불확실한 값들이 발생하게 된다. 즉, 시스템의 상태를 제어기에 피드백하는 과정에서 시스템 상태를 양자화할 때 여러 불확실성이 발생하여 시스템 성능이 불안정해진다. 따라서 샘플치 제어기를 설계할 때 시스템을 안정화하기 위해서 양자화 과정에서 발생하는 불확실성에 대한 강인 제어를 고려해야 한다.

앞선 분석에 착안하여, 본 연구에서는 쿼드로터 시스템의 상태 양자화를 고려한 샘플치 퍼지 조정기를 설계한다. 먼저 쿼드로터 자세 시스템과 고도 시스템을 T-S 퍼지 모델로 표현한다. 또한, 대수 양자화기 (logarithmic quantizer)를 사용하여 상태 양자화 과정에서 발생하는 불확실성을 미지의 함수를 사용해 안정화 조건에 반영한다. 상태 양자화를 고려한 샘플치 퍼지 조정기 설계의 안정화 조건은 Lyapunov-Krasovskii functional (LKF)를 이용하여 선형 행렬 부등식의 형태로 유도한다. 마지막으로 시뮬레이션 예제를 통해 제안하는 방법의 타당성을 검증한다.

표기법 : 1부터 $a$까지의 양의 정수로 구성된 집합을 $I_{a}$로 표기한다. $x^{i}$는 임의의 벡터 $x$의 $i$번째 성분을 나타낸다. $\lambda_{\min}(M)$은 임의의 행렬 $M$의 최소 고유값을 의미한다. 그리고 $c_{\theta}$와 $s_{\theta}$는 각각 $\cos(\theta)$와 $\sin(\theta)$을 나타낸다.

2. 쿼드로터의 제어 시스템 구성

본 논문에서는 T-S 퍼지 모델로 표현된 쿼드로터 시스템에 대한 상태 양자화를 고려한 강인 샘플치 퍼지 조정기 설계 문제를 다룬다.

3. 샘플치 퍼지 조정기 설계

이 장에서는 상태 양자화를 가진 샘플치 퍼지 조정기를 이용한 쿼드로터의 조정기 설계 조건을 LKF를 기반으로 선형 행렬 부등식의 형태로 제안한다. 이때 제어기 입력에서 참조 값 $r(t_{k})=0$으로 가정한다.

정리 1 : 아래의 선형 행렬 부등식들을 만족하는 양의 한정 행렬 $\bar{P}∊ℝ^{n_{x}\times n_{x}}$, $\bar{U}∊ℝ^{n_{x}\times n_{x}}$, $\bar{R}_{1}∊ℝ^{n_{x}\times n_{x}}$, $Q_{ij}^{1}∊ℝ^{5n_{x}\times 5n_{x}}$, $E_{ij}^{1}∊ℝ^{5n_{x}\times 5n_{x}}$, $Q_{ij}^{2}∊ℝ^{6n_{x}\times 6n_{x}}$, $E_{ij}^{2}∊ℝ^{6n_{x}\times 6n_{x}}$, 대칭 행렬 $\bar{R}_{3}∊ℝ^{n_{x}\times n_{x}}$, $\bar{R}_{6}∊ℝ^{n_{x}\times n_{x}}$, 임의의 행렬 $\bar{K}_{j}∊ℝ^{n_{u}\times n_{x}}$, 그리고 전열 계수 행렬 $\bar{R}_{2}∊ℝ^{n_{x}\times n_{x}}$, $\bar{R}_{4}∊ℝ^{n_{x}\times n_{x}}$, $\bar{R}_{5}∊ℝ^{n_{x}\times n_{x}}$, $\bar{G}_{v}∊ℝ^{n_{x}\times n_{x}}$, $v∊ I_{5}$, $\bar{Y}_{lij}∊ℝ^{n_{x}\times n_{x}}$, $l∊ I_{5}$가 존재하면 쿼드로터 폐루프 시스템 (7)은 지수적으로 안정하다.

여기서 $\alpha$, $\epsilon_{1}$, $\epsilon_{2}$, $\rho$, $\left | w_{p}(p(t))-w_{p}(p(t_{k}))\right |\le\mu_{p}$는 주어진 양의 스칼라이고, $M_{ij}^{l}=Q_{ij}^{l}-E_{ij}^{l}$, $N_{ij}^{l}=Q_{ij}^{l}+E_{ij}^{l}$,

$\bar{\Phi}_{ij}^{1}(\bar{h})=\bar{\Psi}_{ij}+\bar{\Lambda}^{1}(\bar{h})$, $\bar{\Phi}_{ij}^{2}(\bar{h})=\begin{bmatrix}\bar{\Psi}_{ij}+\bar{\Lambda}^{2}(\bar{h})&\ast \\\sqrt{\bar{h}}\bar{Y}_{ij}&-e^{-2\alpha h_{2}}\bar{U}\end{bmatrix}$,

$\bar{\Psi}_{ij}=\begin{bmatrix}\bar{\Psi}_{ij}^{11}&\ast &\ast &\ast &\ast \\\bar{\Psi}_{ij}^{21}&\bar{\Psi}_{ij}^{22}&\ast &\ast &\ast \\\bar{\Psi}_{ij}^{31}&\bar{\Psi}_{ij}^{32}&\bar{\Psi}^{33}&\ast &\ast \\\bar{\Psi}_{ij}^{41}&\bar{\Psi}_{ij}^{42}& 0_{n_{x}\times n_{x}}&\bar{\Psi}^{44}&\ast \\\bar{\Psi}_{ij}^{51}&\bar{\Psi}_{ij}^{52}&\bar{\Psi}_{ij}^{53}&\bar{\Psi}^{54}&\bar{\Psi}^{55}\end{bmatrix}$,

$\bar{\Lambda}^{1}(\bar{h})=\begin{bmatrix}\bar{\Lambda}^{11}(\bar{h})&\ast &\ast &\ast &\ast \\\bar{\Lambda}^{21}(\bar{h})&\bar{\Lambda}^{22}(\bar{h})&\ast &\ast &\ast \\\bar{\Lambda}^{31}(\bar{h})&\bar{\Lambda}^{32}(\bar{h})&\bar{h}\bar{U}&\ast &\ast \\\bar{\Lambda}^{41}(\bar{h})& 2\alpha\bar{h}\bar{G}_{4}&\bar{h}\bar{G}_{3}&\bar{\Lambda}^{44}(\bar{h})&\ast \\\bar{h}\bar{R}_{4}&\bar{h}\bar{R}_{5}&0_{n_{x}\times n_{x}}&0_{n_{x}\times n_{x}}&\bar{\Lambda}_{1}^{55}(\bar{h})\end{bmatrix}$,

$\bar{\Lambda}^{2}(\bar{h})=\begin{bmatrix}0_{n_{x}\times n_{x}}&\ast &\ast &\ast \\0_{n_{x}\times n_{x}}&-\bar{h}e^{-2\alpha h_{2}}\bar{R}_{3}&\ast &\ast \\0_{2n_{x}\times n_{x}}& 0_{2n_{x}\times n_{x}}& 0_{2n_{x}\times 2n_{x}}&\ast \\0_{n_{x}\times n_{x}}&\bar{h}e^{-2\alpha h_{2}}\bar{R}_{5}& 0_{n_{x}\times 2n_{x}}&\bar{\Lambda}_{2}^{55}(\bar{h})\end{bmatrix}$,

$\bar{Y}_{ij}=\begin{bmatrix}\bar{Y}_{1ij}&\bar{Y}_{2ij}&\bar{Y}_{3ij}&\bar{Y}_{4ij}&\bar{Y}_{5ij}\end{bmatrix}$,

$\bar{\Psi}_{ij}^{11}=2\alpha\bar{P}-\dfrac{\bar{G}_{1}+\bar{G}_{1}^{T}}{2}+\bar{Y}_{1ij}^{T}+\bar{Y}_{1ij}+\epsilon_{1}A_{i}\bar{W}+\epsilon_{1}\bar{W}^{T}A_{i}^{T}$,

$\bar{\Psi}_{ij}^{21}=\bar{G}_{1}-\bar{G}_{2}+\bar{Y}_{2ij}^{T}-\bar{Y}_{1ij}+\epsilon_{1}\bar{K}_{i}^{T}B_{i}^{T}$,

$\bar{\Psi}_{ij}^{22}=\bar{G}_{2}+\bar{G}_{2}^{T}-\dfrac{\bar{G}_{1}+\bar{G}_{1}^{T}}{2}-\bar{Y}_{2ij}^{T}-\bar{Y}_{2ij}+2L\bar{D}L$,

$\bar{\Psi}_{ij}^{31}=\bar{P}^{T}+\bar{Y}_{3ij}^{T}-\epsilon_{1}\bar{W}^{T}+\epsilon_{2}A_{i}\bar{W}$, $\bar{\Psi}_{ij}^{32}=-\bar{Y}_{3ij}^{T}+\epsilon_{2}B_{i}\bar{K}_{j}$,

$\bar{\Psi}^{33}=-\epsilon_{2}\left(\bar{W}^{T}+\bar{W}\right)$, $\bar{\Psi}_{ij}^{41}=-\bar{G}_{3}+\bar{Y}_{4ij}^{T}$,

$\bar{\Psi}_{ij}^{42}=-e^{-2\alpha h_{2}}\bar{R}_{2}-\bar{G}_{4}-\bar{Y}_{4ij}^{T}$, $\bar{\Psi}^{44}=-\dfrac{e^{-2\alpha h_{2}}}{h_{2}}\bar{R}_{1}-\dfrac{\bar{G}_{5}+\bar{G}_{5}^{T}}{2}$,

$\bar{\Psi}_{ij}^{51}=\epsilon_{1}\bar{K}_{j}^{T}B_{i}^{T}+\bar{Y}_{5ij}^{T}$, $\bar{\Psi}_{ij}^{52}=-\bar{Y}_{2ij}^{T}$, $\bar{\Psi}_{ij}^{53}=\epsilon_{2}\bar{K}_{j}^{T}B_{i}^{T}$,

$\bar{\Psi}^{54}=-e^{-2\alpha h_{2}}\bar{R}_{4}$, $\bar{\Psi}^{55}=-2\bar{D}$,

$\bar{\Lambda}^{11}(\bar{h})=\bar{h}\bar{R}_{1}+\alpha\bar{h}\left(\bar{G}_{1}+\bar{G}_{1}^{T}\right)+\bar{h}\left(\bar{G}_{3}+\bar{G}_{3}^{T}\right)$,

$\bar{\Lambda}^{21}(\bar{h})=\bar{h}\bar{R}_{2}+2\alpha\bar{h}\left(-\bar{G}_{1}+\bar{G}_{2}\right)+\bar{h}\bar{G}_{4}^{T}$,

$\bar{\Lambda}^{22}(\bar{h})=\bar{h}\bar{R}_{3}+2\alpha\bar{h}\left(-\bar{G}_{2}-\bar{G}_{2}^{T}+\dfrac{\bar{G}_{1}+\bar{G}_{1}^{T}}{2}\right)$,

$\bar{\Lambda}^{31}(\bar{h})=\bar{h}\dfrac{\bar{G}_{1}+\bar{G}_{1}^{T}}{2}$, $\bar{\Lambda}^{32}(\bar{h})=\bar{h}\left(-\bar{G}_{1}^{T}+\bar{G}_{2}^{T}\right)$,

$\bar{\Lambda}^{41}(\bar{h})=2\alpha\bar{h}\bar{G}_{3}+\bar{h}\dfrac{\bar{G}_{5}+\bar{G}_{5}^{T}}{2}$, $\bar{\Lambda}^{44}(\bar{h})=\alpha\bar{h}\left(\bar{G}_{5}+\bar{G}_{5}^{T}\right)$,

$\bar{\Lambda}_{1}^{55}(\bar{h})=\bar{h}\left(\bar{R}_{6}+\bar{R}_{6}^{T}\right)$, $\bar{\Lambda}_{2}^{55}(\bar{h})=-\bar{h}e^{-2\alpha h_{2}}\left(\bar{R}_{6}+\bar{R}_{6}^{T}\right)$, $\bar{h}∊\left\{h_{1},\: h_{2}\right\}$,

마지막으로 조정 이득 행렬은 다음의 식을 통해 얻을 수 있다.

$K_{j}=\bar{K}_{j}\bar{W}^{-1}$.

증명 : 다음의 LKF를 고려하자.

여기서

$V_{1}(t)=x^{T}(t)P x(t),\:$

$V_{2}(t)=\left(t_{k+1}-t\right)\int_{t_{k}}^{t}e^{2\alpha(s-t)}\begin{bmatrix}x(s)\\x(t_{k})\\f(x(t_{k}))\end{bmatrix}^{T}\begin{bmatrix}R_{1}&\ast &\ast \\R_{2}&R_{3}&\ast \\R_{4}&R_{5}&R_{6}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x(s)\\x(t_{k})\\f(x(t_{k}))\end{bmatrix}ds$,

$V_{3}(t)=\left(t_{k+1}-t\right)\begin{bmatrix}x(t)\\x(t_{k})\\\int_{t_{k}}^{t}x(s)ds\end{bmatrix}^{T}G\begin{bmatrix}x(t)\\x(t_{k})\\\int_{t_{k}}^{t}x(s)ds\end{bmatrix}$,

$V_{4}(t)=\left(t_{k+1}-t\right)\int_{t_{k}}^{t}e^{2\alpha(s-t)}\dot x^{T}(s)U\dot x(s)ds$,

$G=\begin{bmatrix}\dfrac{G_{1}+G_{1}^{T}}{2}&\ast &\ast \\-G_{1}+G_{2}& -G_{2}-G_{2}^{T}+\dfrac{G_{1}+G_{1}^{T}}{2}&\ast \\G_{3}& G_{4}&\dfrac{G_{5}+G_{5}^{T}}{2}\end{bmatrix}$,

지수적 안정성을 고려한 $V(t)$를 시간에 대해 미분하여 다음과 같은 식을 유도한다.

여기서 $\alpha >0$은 임의의 주어진 스칼라이다.

이제, 식 (14) 우변의 첫째 항에 Jensen 부등식⁽²¹⁾을 적용하면, 다음을 얻을 수 있다.

한편, $V_{3}(t)$를 미분하면 다음을 얻는다.

다음으로 $V_{4}(t)$의 미분은 다음과 같다.

이제 다음의 널 항 (null term)을 고려하자. 앞으로는 식의 간결한 표현을 위해 $w_{i}(p(t))$와 $w_{j}(p(t_{k}))$를 각각 $\bar{w}_{i}$와 $\hat w_{j}$로 표기한다.

여기서 $\xi^{T}(t)=\begin{bmatrix}x^{T}(t)& x^{T}(t_{k})&\dot x^{T}(t)&\int_{t_{k}}^{t}x^{T}(s)ds &f^{T}\left(x(t_{k})\right)\end{bmatrix}$, $Y_{ij}=\begin{bmatrix}Y_{1ij}& Y_{2ij}& Y_{3ij}& Y_{4ij}& Y_{5ij}\end{bmatrix}$이다.

또한, 다음의 잘 알려진 부등식을 고려하자.

$X^{T}Y+Y^{T}X\le\sigma X^{T}X+\sigma^{-1}Y^{T}Y$,

여기서 $X$, $Y$는 임의의 행렬이고 $\sigma$는 양의 스칼라이다. 식 (18) 우변의 둘째 항은 위의 부등식과 보조 정리 2, Jensen 부등식을 이용하여 다음과 같이 정리할 수 있다.

식 (19)을 (18)에 적용하여 다음을 얻을 수 있다.

또한, 식 (17)에 (20)를 적용하여 다음의 부등식을 얻을 수 있다.

한편, 적절한 차원을 가지는 임의의 행렬 $W_{1}$과 $W_{2}$에 대해 다음의 널 항이 성립한다.

마지막으로, 식 (5)로부터 임의의 대각 행렬 $D>0$에 대한 다음의 식을 얻을 수 있다.

여기서 $L=diag\left\{l_{1},\: l_{2},\:\ldots ,\:l_{n_{x}}\right\}$이다.

따라서 이상의 내용을 정리하면, 식 (13)-(23)을 통해 다음이 성립함을 알 수 있다.

이에 더해, 식 (24) 우변 첫째 항에 $diag\left\{\bar{W}^{T},\:\bar{W}^{T},\:\bar{W}^{T},\:\bar{W}^{T},\:\bar{W}^{T}\right\}$와 $diag\{\bar{W},\:\bar{W},\:\bar{W},\:\bar{W},\:\bar{W}\}$으로 congruence transformation을 적용하고, 샘플링의 상·하한치의 convex sum으로 정리하면 다음을 얻는다.

또한, 식 (24) 우변 둘째 항에 $diag\left\{\bar{W}^{T},\:\bar{W}^{T},\:\bar{W}^{T},\:\bar{W}^{T},\:\bar{W}^{T}\right .$$\left. ,\:\bar{W}^{T}\right\}$와 $diag\{\bar{W},\:\bar{W},\:\bar{W},\:\bar{W},\:\bar{W},\:\bar{W}\}$으로 congruence transformation와 Schur complement를 적용하고, convex sum으로 정리하면 다음과 같다.

여기서 $W_{1}=\epsilon_{1}W$, $W_{2}=\epsilon_{2}W$, $\bar{W}=W^{-1}$, $\bar{K}_{j}=K_{j}\bar{W}$, $\bar{P}=\bar{W}^{T}P\bar{W}$, $\bar{U}=\bar{W}^{T}U\bar{W}$, $\bar{D}=\bar{W}^{T}D\bar{W}$, $\bar{R}_{1}=\bar{W}^{T}R_{1}\bar{W}$, $\bar{R}_{2}=\bar{W}^{T}R_{2}\bar{W}$, $\bar{R}_{3}=$$\bar{W}^{T}R_{3}\bar{W}$, $\bar{R}_{4}=\bar{W}^{T}R_{4}\bar{W}$, $\bar{R}_{5}=\bar{W}^{T}R_{5}\bar{W}$, $\bar{R}_{6}=\bar{W}^{T}R_{6}\bar{W}$, $\bar{G}_{1}=$$\bar{W}^{T}G_{1}\bar{W}$, $\bar{G}_{2}=\bar{W}^{T}G_{2}\bar{W}$, $\bar{G}_{3}=\bar{W}^{T}G_{3}\bar{W}$, $\bar{G}_{4}=\bar{W}^{T}G_{4}\bar{W}$, $\bar{G}_{5}=$$\bar{W}^{T}G_{5}\bar{W}$, $\bar{Y}_{1ij}=\bar{W}^{T}Y_{1ij}\bar{W}$, $\bar{Y}_{2ij}=\bar{W}^{T}Y_{2ij}\bar{W}$, $\bar{Y}_{3ij}=\bar{W}^{T}Y_{3ij}\bar{W}$, $\bar{Y}_{4ij}=\bar{W}^{T}Y_{4ij}\bar{W}$, $\bar{Y}_{5ij}=\bar{W}^{T}Y_{5ij}\bar{W}$.

식 (24)-(26)과 보조 정리 1을 통해 선형 행렬 부등식 (8)-(11)이 성립하면, 다음의 부등식이 만족한다는 것을 알 수 있다.

$\dot V(t)+2\alpha V(t)\le 0$, $t∊[t_{k},\: t_{k+1})$.

$t∊[t_{k},\: t_{k+1})$에 대해 위의 부등식을 적분하면 다음을 얻을 수 있다.

식 (12)의 $V(t)$와 식 (27)을 기반으로 하여, 다음을 얻을 수 있다.

따라서, $r(t_{k})=0$ 일 때 다음의 부등식으로 샘플치 퍼지 조정기 기반의 쿼드로터 폐루프 시스템 (7)의 평형점이 지수적으로 점근 안정하다는 것을 알 수 있다.

$\|x(t)\| \leq \sqrt{\frac{V(0)}{\lambda_{\min }(P)}} e^{-\alpha t} .$

이것으로 증명을 마무리한다. ■

참고 1 : 본 논문에서 제안한 기법의 주요한 기여 사항은 다음과 같다.

1) 새로운 LKF 함수를 사용하여 쿼드로터 자세와 고도 시스템의 양자화를 고려한 샘플치 퍼지 조정기 설계 기법을 제안했다.

2) 양자화 때문에 발생하는 불확실성이 있는 환경에서 쿼드로터 시스템이 참조값을 잘 추종하기 위해 강인 제어 기법을 사용했으며, 양자화를 통해 전체 제어 시스템의 네트워크 부하를 줄일 수 있다.

3) 샘플링 간격의 상한과 하한치를 모두 고려하여 유연한 샘플링 조건을 통해 조정기 구현 시 하드웨어의 성능 요구도를 저감하였다.

4. 시뮬레이션 예제

이 장에서는 본 논문에서 제안하는 상태 양자화가 고려된 샘플치 퍼지 조정기의 타당성을 검증한다. 시뮬레이션에서 사용된 쿼드로터의 파라미터는 $\left(m,\: g,\: L,\: I_{x},\: I_{y},\: I_{z}\right)=(0.6,\: 9.81,\:$$0.175,\:$$\left. 2.32\times 10^{-2},\: 2.32\times 10^{-2},\: 4.00\times 10^{-2}\right)$이다. 위치 시스템 제어 입력은 다음과 같다.

$u_{p}(t)=\begin{bmatrix}u_{x}(t)\\u_{y}(t)\end{bmatrix}$,

여기서 $u_{x}(t)$와 $u_{y}(t)$는 적절히 설계된 제어 입력 값이고, 자세 시스템의 $\phi(t)$와 $\theta(t)$의 참조 값은 다음의 변환 식을 통해 얻을 수 있다.

$\phi_{r}(t)=\sin^{-1}\left(s_{\psi}u_{x}(t)-c_{\psi}u_{y}(t)\right)$,

$\theta_{r}(t)=\sin^{-1}\left(\dfrac{c_{\psi}u_{x}(t)+s_{\psi}u_{y}(t)}{\cos\left(r_{\phi}(t)\right)}\right)$,

시뮬레이션에서 사용된 값들은 $\alpha_{a}=10$, $\alpha_{z}=2$, $\epsilon_{1}=1$, $\epsilon_{2}=0.01$, $\rho_{a}=\rho_{z}=0.5$, $\mu_{a}=1$, $\mu_{z}=0.5$, $h_{1}=0.001$, $h_{2}=0.002$이고, 초기 조건은 $x_{a}(0)=\begin{bmatrix}0& 0& 0& 0& 0& 0\end{bmatrix}^{T}$, $x_{z}(0)=\begin{bmatrix}0& 0\end{bmatrix}^{T}$, $x_{p}(0)=\begin{bmatrix}0& 0& 0& 0\end{bmatrix}^{T}$이고, 자세와 고도를 위한 조정기의 참조 값은 다음과 같이 설정했다. 이때 $h_{1}$과 $h_{2}$는 쿼드로터 하드웨어 성능을 고려하여 정해진 값이다.

$r_{a}(t)=\begin{bmatrix}\phi_{r}(t)& 0&\theta_{r}(t)& 0& 0& 0\end{bmatrix}^{T}$, $0\le t<20$,

$r_{z}(t)=1$, $0\le t<20$.

한편 자세 시스템의 참조 값을 결정하기 위해 내부적으로 위치 추종 값을 다음과 같이 설정했다.

$r_{p}(t)=\begin{cases} (r_{x},\:r_{y})=(1,\:0)& 0\le t<5\\ (r_{x},\:r_{y})=(1,\:1)& 5\le t<10\\ (r_{x},\:r_{y})=(0,\:1)& 10\le t<15\\ (r_{x},\:r_{y})=(0,\:0)& 15\le t<20 \end{cases}$

정리 1을 통해 자세 시스템과 고도 시스템을 위한 조정기의 이득 행렬들을 MATLAB을 통해 결정했고, 결과는 다음과 같다.

$K_{a1}=\begin{bmatrix}-70.15& -4.35& 0.03& 0.00& 0.39& 0.05\\ 0.03& 0.00& -70.15& -4.35& -0.39& -0.05\\ -0.00& -0.00& 0.00& 0.00& -53.91& -2.65\end{bmatrix}$,

$K_{a2}=\begin{bmatrix}-70.15& -4.35& -0.03& -0.00& -0.39& -0.05\\ -0.03& -0.00& -70.15& -4.35& -0.39& -0.05\\ 0.00& 0.00& 0.00& 0.00& -53.91& -2.65\end{bmatrix}$,

$K_{a3}=\begin{bmatrix}-70.15& -4.35& -0.03& -0.00& 0.39& 0.05\\ -0.03& -0.00& -70.15& -4.35& 0.39& 0.05\\ -0.00& -0.00& -0.00& -0.00& -53.91& -2.65\end{bmatrix}$,

$K_{a4}=\begin{bmatrix}-70.15& -4.35& 0.03& 0.00& -0.39& -0.05\\ 0.03& 0.00& -70.15& -4.35& 0.39& 0.05\\ 0.00& 0.00& -0.00& -0.00& -53.91& -2.65\end{bmatrix}$,

$K_{z1}=\begin{bmatrix}-40.14&-15.16\end{bmatrix}$, $K_{z2}=\begin{bmatrix}-40.98&-15.46\end{bmatrix}$.

그림 1에서 $\phi(t)$, $\theta(t)$, $\psi(t)$, $z(t)$는 쿼드로터 자세와 고도 시스템의 상태 변수이고, $\phi_{r}(t)$, $\theta_{r}(t)$, $\psi_{r}(t)$, $z_{r}(t)$는 참조 값이다. 그림 1을 통해 쿼드로터 자세 및 고도 시스템의 상태 변수가 추종 값에 수렴하는 것을 알 수 있다. 또한, 그림 2에서 $e_{\phi}(t)$와 $q(e_{\phi}(t))$의 시간 응답을 나타냈다. 그림 2를 통해 양자화의 결과로 제어기에 되먹임되는 값이 실제 값과 차이가 큼을 알 수 있고, 이러한 상황에서도 제안하는 방법을 통해 강인하게 제어가 됨을 알 수 있다. 일점 쇄선은 참조 값을 나타낸다. 마지막으로, 그림 3을 통해 제안하는 방법으로 쿼드로터 시스템이 참조 값을 잘 추종하는 것을 볼 수 있다.

5. 결 론

본 논문에서는 상태 양자화를 가진 샘플치 퍼지 조정기 설계 방법이 제안되었다. 먼저, 쿼드로터의 자세와 고도 시스템을 T-S 퍼지 모델로 표현했다. 그리고 각 시스템의 상태 조정화 조건은 LKF를 이용하여 선형 행렬 부등식의 형태로 유도하였다. 특히, 양자화 오차로 인해 발생하는 불확실성을 다루기 위해 강인 제어 기법을 사용했다. 마지막으로 시뮬레이션 예제에서 제안된 방법으로 설계한 상태 조정기를 통해 쿼드로터 시스템의 상태 변수가 참조값을 잘 추종함을 알 수 있다.

그러나 본 논문에서는 실제 시스템에서 센서, 신호 전송 등 다양한 요인 때문에 발생하는 시간 지연을 아주 짧은 시간으로 가정하여 연구를 진행하였다. 따라서, 추후 연구에서는 상태 양자화가 고려된 샘플치 퍼지 조정기에 대해 시간 지연을 고려한 제어 기법을 연구하고자 한다.