2.1.1 BIBC 행렬

BIBC(Bus Injection to Branch Current) 행렬은 부하 모선과 선로의 연결 구조를 0과 1로 표현하고 있으며, 부하 모선으로 유입되는 전류로 계통 선로의 전류를 계산하는데 사용한다^(13,14). 그림 1과 같은 간단한 6-모선 예제 배전계통을 대상으로, BIBC 행렬을 활용하여 선로에 흐르는 전류를 계산하는 수식은 식(1)과 같다.

여기서, $I_{B,\:n}$은 n번 선로에 흐르는 전류, $I_{L,\:m}$은 m번 부하로 유입되는 전류를 말한다.

그림. 1. 6 모선 예제 배전계통

Fig. 1. Example system consisting of 6 buses

BIBC 행렬은 0이나 1로 계통 구조만 표현하므로 선로에서의 전력손실은 무시한다. BIBC 행렬은 전류를 계산하기 위한 행렬이지만, 부하 모선으로 유입하는 전류 대신 부하 모선에서 소비하는 유효전력이나 무효전력을 대입하면 선로에서의 유효전력이나 무효전력을 계산하는데 활용할 수도 있다. 복원력 관점에서는 공급지장을 전류나 무효전력이 아닌 유효전력으로 표현하므로, 그림 1 예제 계통에 대한 선로의 유효전력을 BIBC 행렬로 계산하는 방식은 식(2)와 같다.

여기서, $P_{B,n}$은 n번 선로에 흐르는 유효전력, $P_{L,m}$은 m번 부하 모선에서 소비하는 유효전력을 말한다.

BIBC 행렬로 계산할 수 있는 것은 선로의 유효전력이지만, 재난 상황에서 공급지장 여부를 판단하기 위해서는 선로의 유효전력이 아니라 부하 모선의 유효전력을 판별해야 한다. BIBC의 입출력 관계가 서로 뒤바꾸는 개념이 필요하며, 이를 위해 본 논문에서는 BIBC의 전치행렬을 적용하였다.

2.1.2 BIBC 전치행렬

BIBC 전치행렬을 적용하여 선로와 부하 모선의 유효전력을 표현하면 식(3)과 같다.

선로 유효전력으로 부하 모선의 유효전력을 구하는 형태처럼 보이지만, 식(3)은 정확히 부하 모선으로 유입하는 유효전력은 아니다. 여러 선로를 거쳐 전력을 공급받는 부하 모선에서는 실제 소비하는 유효전력보다 훨씬 큰 값이 도출된다.

본 논문에서는 2개 설비 이상의 다중 고장이 발생하는 재난 상황에서 부하 모선으로 유입하는 유효전력을 판단할 수 있는 기법이 필요하다. 두 모선 사이에는 선로 외에도 다양한 종류의 배전설비가 존재할 수 있으므로, 본 논문에서는 선로가 아닌 구간이라는 표현을 사용할 것이다. 구간이라 함은, 고장시 계통에서 분리되고 수리 후 재투입될 수 있는 최소 단위의 영역을 의미한다. 단, 그림 1의 6모선 예제 계통에서는 구간과 선로가 완전히 동일하다.

계통의 전체 구간에 대해 고장 여부를 표현하는 ‘고장 열 벡터’를 정의한다. ‘고장 열 벡터’는 고장이 발생한 구간에 해당하는 위치는 1, 고장이 발생하지 않은 구간에 해당하는 위치는 0으로 표현하고 있는 열 벡터다. 다수의 구간에서 고장이 발생한 후 일부 고장 구간이 복구될 때 마다 ‘고장 열 벡터’는 계속 변경되어야 한다. 그림 1의 6모선 예제 계통을 대상으로 시간 t1에 2번 구간과 4번 구간에서 고장이 동시에 발생하였고 t2에 둘 중 어떤 구간이 수리가 완료되어 재투입되었다고 가정한다면, 2개 구간에서 동시에 고장이 발생하고 있는 상황에서의 ‘고장 열 벡터’는 식(4)와 같다.

부하 모선에서의 공급지장 여부를 판단할 수 있는 정보를 얻기 위해 BIBC 전치행렬과 ‘고장 열 벡터’의 행렬 곱을 수행하였으며, 그 결과는 식(5)와 같다.

6모선 예제 계통에서 2번, 4번 구간이 동시에 고장이 발생하면, 직관적으로 2, 3, 4, 5번 부하 모선에서 공급지장이 발생함을 알 수 있다. 식(5)의 결과값은, 0 이 아닌 값을 갖는 위치에 해당하는 부하 모선이 바로 공급지장이 발생한 부하 모선이라는 정보를 제공한다.

2.1.3 공급지장 부하 모선 판별

식(5)만 활용해도 공급지장이 발생한 부하 모선을 판별할 수 있지만, 2 이상의 자연수를 1로 바꾸는 과정이 추가된다면 더 편리하게 공급지장 유효전력을 계산할 수 있다. 이를 위해 ‘공급지장 열 벡터’ 정의하면 식(6)과 같다.

여기서, ‘공급지장 열 벡터’ $C_{F}(t)$는 임의의 시간 t에서 부하 모선의 공급지장 여부를 표현하고 있으며, 그 값이 1 인 경우는 해당 모선에서 공급지장이 발생하고 있음을 의미하고 0 인 경우는 공급지장이 발생하지 않음을 의미한다.

‘공급지장 열 벡터’와 부하 모선 유효전력 열 벡터의 스칼라 곱은 임의의 시간 t에서 모든 부하 모선의 공급지장 유효전력을 표현하며, 이를 수식으로 표현하면 식(7)과 같다.

여기서, PNS(t)는 임의의 시간 t에서 부하 모선의 ‘공급지장 유효전력 열 벡터’를 말한다.

6모선 예제 계통에서 2, 4번 구간의 동시 고장 시간 동안 ‘공급지장 열 벡터’와 ‘공급지장 유효전력 열 벡터’를 계산하면 각각 식(8), 식(9)와 같다.

본 논문에서 제안하는 판별법은 모든 다중 고장에 대해 모든 부하 모선의 공급지장 유효전력을 계산할 수 있으며, 재난 상황이 더 진전되거나 복구가 진행되어 계통의 구조가 바뀌면 ‘고장 열 벡터’만 수정하여 변경된 공급지장 유효전력을 계산할 수 있다. BIBC 행렬 자체를 활용하여 공급지장 부하 모선을 판별하는 기존의 방법과 비교하면, BIBC 행렬을 매 단계마다 수정할 필요 없이 정상계통에서 구한 BIBC 행렬을 그대로 적용한다는 장점이 있고 모든 부하 모선에 대해 공급지장 여부를 판단하기 위한 별도의 알고리즘도 필요치 않다.

단, 본 논문에서 제안하는 방법은 방사형 계통 구조에서만 적용이 가능하며, 복수의 선로가 두 부하 모선을 연결하거나 루프가 있는 계통 구조에는 적용할 수 없다는 한계가 있다. BIBC 행렬은 방사형 배전계통에서 조류계산을 간단하게 수행하기 위해 개발된 행렬이라 루프가 있는 구조에서는 사용할 수 없기 때문에, BIBC 행렬을 기반으로 공급지장 영역을 판별하는 본 논문의 기법도 루프 구조에는 적용이 불가능하다. 따라서, 구조가 복잡한 송전계통에 적용하기 위해서는 판별법을 개선하기 위한 차후 연구가 필요하고, 본 논문에서는 방사형 배전계통을 대상으로 하여 제안하는 판별법을 적용하였다.

2.2.1 복원력 평가 기준

그림 1의 6모선 예제 배전계통을 대상으로 2번 구간과 4번 구간에서 고장이 발생하고 복구되는 과정을 복원력 곡선으로 표현하면 그림 2와 같다.

그림. 2. 6모선 계통에서 2, 4번 구간의 동시 복구로 인한 복원력 곡선

Fig. 2. Resilience curve by simultaneous recovery of sections 2 and 4 in the 6-bus system

예제 계통에서 5개 부하 모선의 용량이 모두 동일한 100kW라고 가정한다면, 복원력 곡선의 세로축은 0부터 500kW까지 계통의 공급가능 용량을 표현한다. 2번, 4번 구간에서 동시에 고장이 발생한 시간을 기준 시간 0으로 가정하면, 5분 후에 고장 구간을 계통에서 분리하고 1번 부하 모선에만 전력공급을 재개하였다. 2번 구간을 수리하고 재투입하는데 소요되는 복구 시간을 2시간, 4번 구간의 복구에 소요되는 시간을 4시간이라고 가정한다면, 2시간 5분이 지난 시점에 2, 3, 5번 부하 모선으로 추가적인 전력공급이 이루어지고 4시간 5분이 지난 시점에 나머지 4번 부하 모선에도 전력공급이 가능해진다.

본 논문은 다중 고장이 발생한 설비를 대상으로 수리가 시작되는 시점부터 모든 고장 설비의 복구가 완료되는 시점까지에 초점을 두고 있으며, 이는 신속성(Rapid Recover)의 영역에 해당하는 설비 수리에 의한 (Repair Method) 복원력이다. 그림 2의 시간 0부터 5분까지의 기간은 계통의 구조, 고장 구간의 분리 및 재폐로 등 계통운영에 의한 (Operating Method) 복원력에 해당하므로, 고장 설비의 복구는 그 기간 동안의 복원력에는 전혀 영향을 미치지 않는다. 본 논문은 그림 2에서 5분 이후의 계통 상황에만 주목한다.

그림 2는 2중 고장이 발생하자마자 고장이 발생한 2개 구간을 대상으로 동시에 수리에 착수한다고 가정한 상황이다. 재난으로 인해 다수의 사고가 동시다발적으로 발생한 상황에서 한정된 인력의 복구팀을 파견해야 한다면 복원력 관점에서 어떤 설비를 먼저 복구할 것인지에 대해 결정을 해야 한다. 2번 구간에 대한 복구가 완료된 후 4번 구간의 복구를 진행한 복원력 곡선은 그림 3(a)와 같으며, 4번 구간을 먼저 복구한 복원력 곡선은 그림 3(b)와 같다.

그림. 3. 6모선 계통에서 2, 4번 구간의 순차적 복구로 인한 복원력 곡선

Fig. 3. Resilience curve by sequential recovery of sections 2 and 4 in the 6-bus system

그림 3(a)와 그림 3(b) 중 어떤 복구 전략이 복원력 관점에서 유리한지 평가할 수 있는 대표적인 복원력 지수는, 최대 공급가능 용량 500kW를 표현하는 직선과 복원력 곡선이 만드는 면적을 계산하여 비교하는 것이다. 복구 과정의 복원력을 평가하는 지표로는 중요 수용가 혹은 전체 수용가를 대상으로 복구 기울기, 복구 시간, 복구 용량, 복구 비용에 대한 평가도 가능하지만, 최대한 많은 지표의 개념을 포괄하는 복구 에너지 관점의 지표를 선정하였다⁽³⁾. 최대 공급가능 용량 직선과 복원력 곡선이 만드는 면적은 해당 이벤트가 시작된 후 완료될 때까지 계통 전체의 공급지장 전력량(Energy Not Supplied, ENS)을 의미하며, 이는 식(10)으로 계산할 수 있다⁽²⁾.

여기서, $Q_{T}$는 고장과 무관한 정상계통의 최대 공급가능 용량, $Q_{R}(t)$는 시간 t에 대한 복원력 곡선, ENS는 이벤트가 시작되는 $t_{0}$부터 이벤트가 완료되는 $t_{n}$까지의 기간 동안 계통의 ENS을 의미한다.

계통운영에 의한 복원력에 해당하는 5분까지의 시간을 무시한다면, 그래프에서 작은 네모 하나가 차지하는 영역이 100kWh에 해당하므로 그림 3(a)에서 구한 ENS는 1,200kWh이고 그림 3(b)에서는 2,400kWh이다. 2번 구간과 4번 구간 중 2번 구간을 먼저 복구하는 것이 설비 수리에 의한 복원력 관점에서 더 유리하다고 평가할 수 있다.

2.2.2 복구 우선순위 전략

특정 상정사고가 예상되거나 특정 상정사고만을 모의하는 경우에는 모든 가능한 복구 순서를 대상으로 하여 복원력을 계산한 후 가장 복원력이 좋은 복구 순서를 최적의 복구 우선순위로 선정하면 된다. 본 논문에서는 임의의 위치에서 임의 개수의 동시 고장이 발생하더라도 가장 효율적으로 복구 우선순위를 결정할 수 있는 기준에 관해 고찰하고자 한다. 우선, 3종류의 기본적인 전략에 의한 복구 우선순위를 모의하였으며, 분석 결과를 통해 차후 복구 전략을 수정할 계획이다.

1) Case 1은 송전급 주모선과의 전기적 거리가 가까운 고장 구간을 우선적으로 복구하는 전략이다. 주모선에 가까운 설비가 말단 설비보다 더 중요하다는 개념이며, 분기 선로보다 간선 선로가 더 중요하다는 개념도 이 전략에 해당한다⁽¹⁰⁾. 주모선과의 전기적 거리를 간접적으로 판단할 수 있는 방법 중 하나는 선로에 흐르는 조류량으로 비교하는 것이다. BIBC 행렬을 사용하여 계산되는 식(2)의 결과값은 모든 선로에 대한 유효전력 조류량이므로, Case 1은 정상계통에서의 조류량이 큰 구간을 우선적으로 복구하는 전략이다.

고장 구간이 직렬로 연결된 형태인 그림 3의 이벤트 예제를 보면, 2번 구간과 4번 구간 중 정상계통에서의 조류량은 2번 구간이 더 크기 때문에, 항상 2번 구간에 대한 복구가 먼저 이루어진다. 고장 구간이 병렬로 연결된 형태인 그림 4 이벤트에서는, 정상계통 조류량이 100kW인 5번 구간보다 200kW 조류량의 3번 구간을 먼저 복구한다.

2) Case 2는 고장 구간 1개의 복구로 인해 계통 전체의 공급가능 용량이 증가하는 크기를 기준으로 복구 우선순위를 설정한다. 1번째 복구 우선순위는 1개 구간의 복구 결과를 비교하면 되지만, 2번째 복구 우선순위를 결정하기 위해서는 1번째 복구 우선순위의 구간이 복구된 이후의 계통을 기반으로 공급가능 용량을 평가해야 한다. 이는 매 단계마다 바로 다음 단계의 결과를 기반으로 최선의 선택을 하는 탐욕 알고리즘(Greedy Algorithm)에 해당한다⁽¹⁵⁾.

그림 3의 이벤트에 Case 2 전략을 적용하면, 2번 구간이 복구되기 전까지는 4번 구간은 복구되어도 전혀 전력공급에 활용되지 못한다. 반면 2번 구간이 먼저 복구된다면 4번 부하 모선을 제외하고 2, 3, 5번 부하 모선에 전력공급이 가능하다. 따라서, 2번 구간을 먼저 복구하는 복구 우선순위가 선정된다. 그림 4의 이벤트에서는 3번 구간을 복구하면 200kW 만큼 공급가능 용량이 증가하고 5번 구간을 복구하면 100kW 증가하므로, 3번 구간에 대한 복구를 먼저 진행한다.

3) Case 3은 고장 구간 1개의 복구로 인해 계통 전체의 공급가능 용량이 증가하는 크기를 해당 구간의 복구 소요시간으로 나눈 값, 즉 공급가능 용량의 증가율을 기준으로 복구 우선순위를 설정한다. Case 3은 Case 2와 동일하게 설비 1개의 복구 결과를 기반으로 매 단계 최선의 선택을 하는 탐욕 알고리즘에 해당한다.

그림 3의 이벤트에서 Case 3의 복구 우선순위는 Case 2와 동일하고, 그림 4에서는 3번 구간의 복구로 인한 66.67kW/hr와 5번 구간 복구로 인한 100kW/hr를 비교하여 5번 구간을 먼저 복구한다.

4) Case 0에서는 특정 전략에 의해 복구 우선순위를 결정한 것이 아니라 모든 가능한 복구 순서를 전부 모의한 후 복원력 결과가 가장 좋은 복구 우선순위만을 선별한다. Case 1~3의 복원력 결과를 서로 비교하면 어떤 전략의 복구 우선순위가 더 우수한 것인지 상대적인 비교는 가능하지만, 복구 우선순위가 최적의 값에 얼마나 근접했는지 비교하기 위해 최선의 결과만을 선별한 Case 0의 결과도 사례연구에서 모의하였다.

그림 3, 그림 4의 이벤트에 대한 Case 0의 복구 우선순위는 2.2.1절에 이미 복원력 결과를 비교하여 순서가 제시되어 있다. 즉, 그림 3의 이벤트에서는 ENS 2,400kWh의 4번 구간보다 1,200kWh의 2번 구간을 먼저 복구하고, 그림 4에서는 1,000kWh의 3번 구간보다 900kWh의 5번 구간을 먼저 복구한다.

Case 0는 항상 최적의 값을 도출하지만, 가능한 모든 복구순서마다 복원력 지표를 계산한 후 그 값을 비교하기 때문에 꽤 많은 반복을 거쳐야 한다. 1개의 재해 이벤트에서 복구 우선순위를 결정하기 위해, Case 0에서는 N-2 부터 N-7 까지 순서대로 3, 13, 73, 481, 3601, 30241, 282241번 공급지장 용량을 계산해야 한다. 동시 고장 개수가 증가할수록 재해 이벤트의 총 개수도 증가하는 것까지 고려한다면, 어느 수준 이상에서는 Case 0를 적용하기 힘들다.