2.1 유도 전동기의 전압방정식

3상 유도 전동기의 전압방정식을 구하기에 앞서 본 논문에서 유도되는 전압방정식 및 시뮬레이션은 Radial 방향의 자속 벡터를 갖는 유도 전동기를 기반으로 작성되었다. 또한 철심의 투자율은 무한하지만, 자기포화 현상은 없으며 공극은 일정하고, 슬롯 효과 등의 비이상적인 현상은 없으며 고정자와 회전자의 권선비는 1:1이라는 조건을 가정한다. Fig. 2의 2극 3상 유도 전동기의 고정자 측으로 환산된 고정자와 회전자의 전압방정식은 식 (1), (2)와 같다.

여기서 $V_{abcs}$는 고정자 전압 벡터, $R_{s}$는 고정자 권선 저항, $I_{abcs}$는 회전자 전류 벡터, $p$는 $\dfrac{t}{dt}$의 시간 미분연산자, $\lambda_{abcs}$는 고정자 쇄교자속 벡터이다.

위 수식에서는 $V_{abcr}$는 회전자 전압 벡터, $R_{r}$는 회전자 회로의 고정자 환산 등가 저항이며 $I_{abcr}$는 회전자 전류 벡터, $\lambda_{abcr}$는 회전자 쇄교자속 벡터이다.

그림 2. 2극 / 3상 유도 전동기 모델

Fig. 2. 2-pole / 3-phase induction motor

2.2 유도 전동기의 d-q축 전압방정식 및 쇄교자속식

위에서 정의한 유도 전동기의 전압방정식은 고정자와 회전자의 상호 결합 성분으로 인해 시변계수를 가지는 비선형적인 미분방정식으로 최종적으로 정의된다. 이러한 시변계수는 비선형적인 특징으로 인해 해석이 매우 어려우며 이에 따라 제어성 또한 감소하게 된다. 따라서 시변계수를 제거해주기 위해 d-q축 좌표변환을 통해 전압방정식 및 쇄교자속식을 정의 해주는 것이 필요하다^[6]. 식(3), (4)는 2.1절에서의 수식을 임의의 $\omega$의 속도로 회전하고 있는 d-q축 동기 좌표계의 형태로 좌표 변환이 이루어진 전압방정식이며 식(5), (6)은 쇄교자속식이다.

$v_{ds}^{\omega}$, $v_{qs}^{\omega}$는 동기 좌표계에서의 고정자 d-q축 전압 벡터, $i_{ds}^{\omega}$, $i_{qs}^{\omega}$는 동기 좌표계에서의 고정자 d-q축 전류 벡터, $\lambda_{ds}^{\omega}$, $\lambda_{qs}^{\omega}$는 동기좌표계 d-q축에서의 고정자 쇄교 자속이다.

위의 수식에서 $\lambda_{dr}^{\omega}$, $\lambda_{qr}^{\omega}$은 동기좌표계 d-q축에서의 회전자 쇄교자속이며 $L_{r}$은 회전자 권선들 간의 인덕턴스, $i_{dr}^{\omega}$, $i_{qr}^{\omega}$은

동기 좌표계에서의 회전자 d-q축 전류 벡터, $L_{m}$은 자화 인덕턴스이다. 또한 위의 전압방정식과 쇄교자속식을 이용하여 유도 전동기의 토크 식을 정리하면 수식(7)과 같다^[7].

$T_{e}$는 유도 전동기의 토크, $P$는 유도 전동기의 극 수이다.

3.1 유도 전동기의 d-q축 전압방정식 및 쇄교자속식

유도형 스페리컬 전동기의 구동성 향상 및 토크 및 속도지령 추종을 위해 유도 전동기의 벡터 제어 기법 중 하나인 간접 벡터 제어를 적용하였다. 간접 벡터 제어는 고정자 회전자계와

회전자의 기계적 속도의 차이인 슬립의 각속도를 제어하여 간접적으로 자속 크기를 일정하게 유지하면서 토크 성분의 전류인 q축 전류를 제어하는 방법이다. 이를 위해 유도형 스페리컬 전동기의 회전자 속도 측정이 필요하다. Fig. 3은 유도형 스페리컬 전동기의 구동을 위한 간접 벡터 제어 블록도이며 이를 Matlab Simulink를 사용하여 모델링을 진행하였다. Table. 2와 같이 간접 벡터 제어 시뮬레이션을 위한 파라미터 및 제어 상수를 입력하였다. 유도 전동기의 회전 좌표계 d-q축 전압방정식 및 쇄교자속식을 통해 모델링 된 d-q축 동기 좌표계는 Fig. 4과 같다. 또한 Fig. 5와 같이 전동기의 토크 및 회전자의 기계적인 속도를 표현하고자 적분 수식을 이용해 유도형 스페리컬 전동기의 기계 방정식을 Simulink 블록도로 구현하였다. 회전자의 기계 방정식에서 회전자의 기계적인 각속도인 $\omega_{m}$은 회전자의 관성 모멘트, 부하토크, 전동기의 마찰 계수 수식에 의해 정의된다. Fig. 6에서는 유도형 스페리컬 전동기의 벡터 제어를 위해 회전자 자속각을 측정하는 블록도이다. 간접 벡터 제어 시 회전자의 기계 각속도 $\omega_{m}$는 광센서인 Optical 센서를 통해 측정하지만 본 논문에서는 시뮬레이션에서 계산된 기계 각속도를 받는다고 가정하고 극 수를 고려하여 회전자의 전기 각속도 $\omega_{r m}$값을 입력받는 것으로 설정하였다. 슬립 각속도는 동기 좌표계 d-q축 고정자 전류 지령과 회전자 시정수의 관계로 계산될 수 있다. 이러한 과정을 통하여 최종적으로 회전자 자속각을 계산할 수 있다.

그림 3. 유도형 스페리컬 전동기의 간접 벡터 제어 블록도

Fig. 3. Block diagram of indirect vector control of an induction spherical motor

그림 4. 간접 벡터 제어 Matlab Simulink 블록도

Fig. 4. Indirect Vector Control matlab Simulink Block Diagram

그림 5. 토크 및 기계 방정식 계산 모델

Fig. 5. Torque and mechanical equation calculation model

그림 6. 회전자 자속각 계산 모델

Fig. 6. Rotor flux angle calculation model

3.2 비례적분 전류, 속도 제어기 모델링

유도형 스페리컬 전동기의 자속 성분 전류 및 토크 성분 전류를 출력하기 위해 비례적분 전류, 속도 제어기를 모델링 하였다. 동기 좌표계 d-q축 고정자 전류 비례적분 제어기 모델은 적분기 누적으로 인한 포화를 방지하기 위해 Anti-Wind up 기법이 적용되었으며 이를 통해 전류, 속도 제어기를 통해 전류 지령을 출력할 수 있었다.

시뮬레이션에 사용한 인버터 PWM 기법은 공간 변조 벡터 SVPWM(Space Vector Pulse Width Modulation)기법을 사용하였으며 이 기법은 Offset 전압을 이용한 변조 방식을 사용하여 구현하며 고정자 상전압 지령에 임의의 Offset 전압을 더하여 고정자 극전압을 바꾸는 방법이다. 위의 PWM 기법을 사용하면 상전압 최대값을 $V_{dc}/\sqrt{3}$ 만큼 사용 가능하며 이는 구형파 제어 인버터와 비교해을 때 약 90.7[%]의 전압 이용률을 가진다. 따라서 다른 PWM 기법과 비교하였을 시 인버터 효율 및 성능이 뛰어나 다음과 같은 SVPWM 기법을 사용하였다.

3.3 간접 벡터 제어 시뮬레이션 결과

Fig. 7과 같이 유도형 스페리컬 전동기 간접 벡터 제어 시뮬레이션 모델을 통해 시뮬레이션 해석 결과 Fig. 8(a)에서 회전자 시정수 $T_{r}$에 5배가 되는 시간에 정격속도인 500[rpm]의 지령을 입력하였으며 이에 따라 속도는 지령값에 대해 약 0.2[sec]의 정상상태 도달 응답성을 확인할 수 있었으며, (b)에서는 토크가 0.876[Nm]로 정격속도 500 [rpm]에서의 토크값 0.89[Nm]와 약 1.6[%]의 오차를 나타내었으며 이는 정격속도까지 정토크 제어가 되었다는 것을 확인할 수 있다. (c)는 파라미터로 입력한 동기 좌표계에서의 쇄교자속값을 나타낸다. 또한 Fig. 9에서는 토크 성분 전류인 동기 좌표계 q축 고정자 전류가 지령값에 대해 추종하는 것을 확인할 수 있었다.

그림 7. 간접 벡터 제어 시뮬레이션 모델

Fig. 7. Indirect vector control simulation model

그림 8. 유도형 스페리컬 전동기의 결과 파형

Fig. 8. Waveforms of an induction spherical motor

그림 9. 고정자 전류 지령의 피드백 파형

Fig. 9. Feedback waveform of stator current command