3.1 VSRS의 전달함수 모델링

Fig. 3은 가변속 냉동사이클을 갖는 오일쿨러 시스템이다. Fig. 3(a)는 공작기계용 오일쿨러 시스템의 개념도, Fig. 3(b)는 실험을 위한 실제 오일쿨러 장치 사진이다. 오일쿨러에는 가변속 압축기 및 EEV를 포함하는 증기압축 냉동사이클이 적용되었다.

Fig. 3. Experimental system for VSRS control.

이 가변속 냉동시스템의 주된 제어량은 오일출구온도 $T_{o}$이며 증발기의 과열도 $T_{s}$도 부수적으로 제어한다. 오일출구온도는 인버터의 주파수를 조절, 압축기의 회전속도를 가변시켜 냉매의 질량유량을 조절함으로써 일정 온도로 제어한다. 과열도는 전용의 EEV 드라이브에 의해 EEV 개도를 조절함으로써 제어된다. 공작기계를 대신한 열부하로는 전기히터를 사용하였다. Table 1은 실험장치의 주요 구성 요소의 사양을 나타낸다.

Fig. 4는 VSRS인 오일쿨러의 전달함수를 구하기 위해 동작점 근방에서 조작량인 인버터 주파수 $F_{i}$와 EEV 스텝 지령 $V_{o}$를 스텝상으로 변동시킨 경우의 오일출구온도 및 과열도의 응답이다. 그림에서 점선은 인가된 조작량의 변화를 나타내고, 실선은 이 조작량의 스텝 변동에 따른 오일출구온도와 과열도 응답을 각각 나타낸다. Fig. 4(a)는 압축기의 회전수 변화(점선 : 60 → 50 Hz)에 따른 오일출구온도 응답, Fig. 4(b)는 EEV 개도 변화(점선 : 800 → 600 step)에 따른 과열도 응답이다. 또한 Fig. 4(c)는 압축기의 회전수 변화에 대응하는 인버터 주파수 변화(점선 : 70 → 50 Hz)가 과열도에 미치는 간섭 영향을 각각 나타낸다.

Fig. 4. Step response according to change of $F_{i}$ and $V_{o}$.

식 (13)~식 (15)는 Fig. 4의 결과를 이용하여 동정한 VSRS인 오일쿨러의 전달함수 모델이다. 식 (13)은 압축기 회전수 가변을 위한 인버터 주파수 $F_{i}$의 입력에 따른 오일출구온도 $T_{o}$의 전달함수, 식 (14)는 EEV 드라이브의 스텝 지령 $V_{o}$에 대한 과열도 $T_{s}$의 응답을 나타내는 전달함수이다. 특히, 식 (15)는 제어량 사이의 간섭에 관한 전달함수로서 압축기 회전수 변화에 상응하는 인버터 주파수 $F_{i}$가 과열도에 미치는 영향을 나타낸다. EEV 드라이브의 스텝 변화에 따른 오일출구온도에 미치는 간섭 영향은 무시 가능한 크기여서 제외하였다.

식 (13)~식 (15)의 전달함수는 우선 Fig. 4의 스텝 응답 파형으로부터 1차계(first order system)인 $K /(\tau s+1)$로 가정하였다. 이득상수 $K$는 각 온도 응답의 변화량을 조작량의 변화량으로 나누어 구하였고, 시정수 $\tau$는 각 제어량(온도)이 최종값의 63.2%에 도달하는 시간으로부터 구하였으며 부동작 시간(dead time)은 무시하였다.

Fig. 5는 시뮬레이션을 위한 외란 모델을 얻기 위해, 열 부하 변동(점선 : 1.6 → 1.9 kW) 시의 오일출구온도(실선) $T_{o}$의 스텝 응답을 실험으로 구한 것이다. 이로부터 열부하의 전달함수 모델은 식 (16)과 같이 구해졌다.

Fig. 5. Step response for thermal load variation.

3.2 외란관측기 설계

Q-필터 설계는 가중함수를 선정한 후 식 (12)를 이용하여 구한다. 이때 가중함수는 아래의 두 가지 조건을 만족하도록 설계된다.

① $W_{Q}^{-1}(s)$의 상대차수는 $P(s)$의 상대차수와 같아야 한다.

② $W_{C}(s)$의 차수는 Q-필터의 분자 차수 $m$보다 큰 $m+1$과 같아야 한다.

또한 Q-필터의 차수는 경제성을 고려하여 분모가 2차, 분자가 1차인 $Q_{21}(s)$로 선정한다. 이와 같은 조건을 만족하는 가중함수를 반복(trial-error)법을 이용해 최종적으로 선정하였으며, 가상의 플랜트 $\widetilde{P}(s)$는 불안정 극점과 영점을 갖지 않으며 $P(s)$와 동일한 상대차수를 가지는 1/(s+3)로 설계하였다. 선정된 가중함수 및 설계된 Q-필터는 아래 Table 2와 같다. 한편, Table 2에서 PI 제어기의 게인은 식 (13), 식 (14)의 전달함수를 이용하여 퍼센트오버슈트가 20% 이하가 되도록 매트랩 튜너(Matlab Tuner)로 구하였다.

4.1 시뮬레이션 결과 및 고찰

설계된 Q-필터를 적용한 시스템의 시뮬레이션을 위해 Fig. 6과 같이 제어계를 구성하였다.

Fig. 6. Simulation block diagram of VSRS control system with DOB.

그림에서 $d _{1} (s)$는 열부하 변동량, $d _{2} (s)$는 압축기의 회전수 변화로 인해 과열도에 미치는 간섭 영향을 각각 나타낸다. 외란 요소인 $d _{1} (s)$와 $d _{2} (s)$는 본 논문에서 설계한 Q-필터에 의해 내부 루프에서 추정된 $\widehat{d_{1}}\left(-P_{c}^{-1} Q_{1} G_{d} d_{1}\right)$과 $\widehat{d_{2}}\left(-P_{e}^{-1} Q_{2} G_{i} d_{2}\right)$로 인해 상쇄된다. Fig. 6의 $C _{1} (s)$, $C _{2} (s)$에 적용된 제어기는 PI 로직이며 설계된 각 게인들은 Table 2와 같다.

Fig. 7은 선정된 가중함수에 따라 Q-필터가 최적으로 설계되었는지를 확인하기 위한 감도함수 $\{1-Q(s)\}$와 상보감도함수 $Q (s)$의 보드선도이다. 설계된 Q-필터의 타당성은 식 (5)에 의해 보드선도 상에서 $\{1-Q(s)\}$가 $\gamma^{-1} W_{C}^{1}(s)$에, $Q (s)$가 $W_{Q}^{-1}(s)$에 근접한 지를 평가함으로써 확인할 수 있다. 두 그림에서 보는 바와 같이 설계한 Q-필터가 선정된 가중함수에 따라 최적으로 설계된 것을 알 수 있다.

Fig. 7. Bode diagram of a designed Q-filter.

Fig. 8은 설계된 외란관측기 유·무에 따른 제어 성능을 비교 확인하기 위한 시뮬레이션 결과이다. 그림에서 실선은 외란관측기가 적용된 경우의 응답, 점선은 외란관측기를 적용하지 않고 PI 제어기 단독 사용 시의 오일출구온도 응답이다. Fig. 8(a), Fig. 8(b)는 주기적인 열부하 변동(0.3 sin0.01t)과 운전 환경 변화로 인한 모델링 오차에 대한 시뮬레이션 결과이다. 외란관측기를 갖지 않은 PI 제어기만을 단독으로 사용한 경우, 제어계의 안정성이 보장되지 않거나 제어 성능이 열화함을 알 수 있다. 이에 반해 외란관측기를 적용하면 열부하 변동 및 모델링 오차에도 강인한 제어 성능을 가짐을 볼 수 있다. Fig. 8(c)는 강도 0.1의 백색잡음을 인가한 경우의 응답이다. 외란관측기의 유·무에 따른 유의할만한 성능 차는 보이지 않았다. 이는 식 (13)의 $G _{c} (s)$가 큰 시정수를 가지기 때문에 외란에는 민감하고, 반대로 잡음에는 둔감하기 때문인 것으로 보인다. Fig. 8(d)는 주기성 외란, 잡음, 곱셈형 모델링 오차를 동시에 인가한 경우의 응답을 나타낸다. 이 종합적인 성능을 통해 설계한 외란관측기는 모델 불확실성 및 외란을 포함한 잡음에 강인한 온도제어가 가능함을 알 수 있다.

Fig. 8. Simulation results for confirming robustness of oil outlet temperature by the designed DOB.

Fig. 9는 외란관측기의 적용 유·무에 따른 과열도의 시뮬레이션 결과이다. Fig. 9(a)는 오일출구온도 제어 시, 압축기 주파수가 주기적으로 20 Hz 변동하는 경우에 따른 과열도 $T_{s}$에 미치는 간섭 영향을 분석하기 위한 시뮬레이션 결과이다. 이러한 급격한 주파수 변동은 냉매 질량유량의 변화를 유발하고, 이는 식 (15)와 같이 과열도에도 영향을 미치게 된다. Fig. 9(b)는 Fig. 9(a)와 같은 주기적인 주파수 변동이 있을 때의 과열도 응답을 나타내며, 설계된 외란관측기를 적용할 시 간섭 영향을 효과적으로 줄일 수 있음을 알 수 있다. 또한 주기적인 압축기 주파수 변동과 Fig. 9(c)의 백색잡음이 동시에 인가되는 경우에도 설계한 외란관측기는 Fig. 9(d)와 같이 양호한 제어 성능을 보였다.

Fig. 9. Simulation results for confirming robustness of superheat by the designed DOB.

4.2 실험 결과 및 고찰

Fig. 10은 설계된 외란관측기의 제어 성능 분석을 위한 실험장치의 구성도이다. 제어장치인 PXIe는 지령값과 실시간으로 검출되는 온도 출력으로부터 제어 로직을 통해 조작량을 계산한다. 장치의 최종 조작량은 압축기 회전수 가변을 위한 인버터 주파수 및 EEV 개도 제어를 위한 드라이브 구동 스텝에 대응하는 아날로그 전압이다. 오일출구온도의 지령값은 공작기계의 실제 제어 사양으로부터 25℃로 설정하였으며 과열도 지령값은 Fig. 11의 정특성 실험 결과로부터 최대 COP 분석을 통해 운전점 근방의 값인 7℃로 선정하였다.

Fig. 10. Diagram of control system.

Fig. 11. Relationship between COP and superheat.

Fig. 12는 외란관측기를 적용하지 않은 PI 제어기 단독의 제어 결과이며, Fig. 13은 PI 제어기에 설계된 외란관측기가 적용된 제어 결과이다. 지령값은 1,000 sec 시점에 30℃에서 25℃로 급격하게 변경하였으며, 열부하는 3,000 sec와 4,000 sec 시점에 각각 정격 열부하의 -20%, +20%의 변동을 주었다.

Fig. 12(a)에서 온도 지령값 변동 시, 미소한 언더슈트를 동반하지만 지령값에 양호하게 추종함을 알 수 있다. 또한, 열부하가 감소하는 3,000 sec 시점에서 오일출구온도의 변동량은 -0.3℃, 열부하가 증가하는 4,000 sec에서 1℃로, 외란인 열부하 변동에 비교적 취약하며 4,000 sec 시점에서의 열부하 증가 후 정착시간은 1,300 sec임을 볼 수 있다. Fig. 12(b), Fig. 12(c)에서는 응답 Fig. 12(a)에 대응하는 조작량인 인버터 주파수 및 EEV 개도 지령값을 각각 보여준다. 특히, 지령값 및 열부하 변동 시점에 인버터 주파수의 조작량이 크게 변동됨을 볼 수 있다.

Fig. 12. PI control results without the DOB.

Fig. 13(a)는 외란관측기를 적용한 PI 제어 결과이다. 외란 인가 시, 오일출구온도와 과열도 모두 Fig. 12(a)보다 우수한 과도응답 특성을 보여주고 있다. 열부하가 감소하는 3,000 sec 시점에서의 오일출구온도 변동량은 -0.1℃ 미만이며 4,000 sec 시점에서 오일출구온도 변동량은 0.5℃, 정착시간은 1,000 sec로 외란관측기를 적용하지 않고 PI 제어기만을 단독으로 사용했을 때의 값들보다 온도 변동량은 0.5℃, 정착시간은 300 sec 더 작은 값을 가진다.

이는 Fig. 13(b), Fig. 13(c)에서의 조작량이 Fig. 13(d), Fig. 13(e)에서의 외란 $\widehat{d_{1}}(s)$와 $\widehat{d_{2}}(s)$의 추정을 통해 최적의 값으로 보상되어 출력되기 때문이다. 특히, 외란관측기 적용 시, 주된 제어량인 오일출구온도를 제어하는 주파수 조작량인 Fig. 13(b)의 변동폭이 Fig. 12(b)의 변동폭에 비해 현저히 감소된 결과를 보였다. 따라서 잦은 주파수 변동으로 인한 인버터 장치의 안정성 저하를 막고 높은 주파수로부터 초래되는 과도한 에너지 소모를 줄일 수 있다. 또한 주파수 조작량 변동의 감소는 과열도에 미치는 간섭 영향의 감소로 이어져 Fig. 12(a)에 비해 과열도의 응답도 개선된 결과를 보인다. 특히 이러한 실험 결과들은 본 논문에서 설계한 외란관측기가 모델 불확실성을 포함하는 식 (13)~식 (15)의 전달함수에 기반한 게인 설정임에도 불구하고 열부하가 $\pm 20 \%$ 변동하는 상황 하에서 양호한 제어 성능을 확보할 수 있음을 보여준다. 즉, 설계한 외란관측기가 모델의 불확실성에 대해서도 강인한 제어 성능을 가짐을 의미한다.

Fig. 13. PI control results with the designed DOB.