3.1 해의 정확성

식(1)~식(2)는 열손실을 무시($\gamma =0$)하면 Schumann⁽⁶⁾의 지배방정식과 같으므로 입구조건까지 계단함수를 고려하면 식(4)~식(5)는 Schumann⁽⁶⁾과 같은 결과를 예측해야 한다. Fig. 3의 사각파는 $\tau → \infty$ 즉, $\mu → 0$의 조건에서 계단함수에 접근하므로 사각파 입구조건에서 식(4)~식(5)를 쓰고 $\mu → 0$의 조건을 고려하여 계단함수 입구조건의 해를 얻을 수 있다. 예를 들어 식(4)에 $\Delta T_{0}=T_{h}-T_{c}$, $T_{\infty}=T_{c}$를 약속하고 Fig. 3의 사각파 입구조건을 적용하면 $\theta_{a}$는 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서 $\alpha_{n}$, $\beta_{n}$, $A_{n}$과 $B_{n}$은 다음과 같이 주어진다.

식(14)~식(15)에서 $C_{r}^{*}$는 다음과 같이 정의하였다.

여기서 $M_{s}$[=$\rho_{s}(1-\sigma)A_{c}L$]는 축열재 전체의 질량이므로 $C_{r}^{*}$는 축열재와 공기의 열용량률비(thermal capacity rate ratio)로 이해할 수 있다. 한편 $\mu$와 $\gamma$가 주어지면 식(13)의 $\theta_{a}$는 $Ntu$와 $C_{r}^{*}$에 의해 결정된다. 식(13)에 $\mu → 0$의 조건을 적용하는 것은 $\tau$를 무한대로 가정하는 것과 동등하다. 그러나 이를 위해 $\tau$를 너무 크게 가정하면 수렴에 필요한 항의 수가 과도하게 많아지므로 본 연구에서는 이 경우에 $\tau$=100$\tau_{h}$(i.e. $\mu$=0.01)를 가정하여 해의 수렴을 촉진하였으며 이로 인한 오차는 무시할 수 있을 정도로 작음을 확인하였다. 이상과 같이 사각파 입구조건을 적용한 식(4)~식(5)를 $\mu → 0$, $\gamma =0$ 조건에서 계산한 결과와 Schumann⁽⁶⁾의 결과를 비교하여 오류가 없음을 확인하였다. $\gamma$≠0의 경우는 아래에 Anderson et al.⁽¹¹⁾의 해석 결과와 비교하여 검증하였다.

Fig. 3 Square wave boundary condition.

Anderson et al.⁽¹¹⁾은 밀리미터 스케일의 알루미나 입자(α-alumina spheres, 3 and 6mm, 99% Al2O3)와 압축공기를 사용한 고온 현열 축열시스템을 모사하기 위해 1차원 과도 수치모델을 개발하고 실험 결과와 비교하여 평가하였는데 그들의 수치모델은 본 연구에서는 무시한 축방향($\xi$) 열확산과 작동조건에 따른 국부적 물성 변화의 영향을 고려할 수 있다. Fig. 4에 Anderson et al.⁽¹¹⁾이 수치모델로 계산한 결과의 한 예를 제시하였다.

Fig. 4는 균일한 온도의 충전층에 어느 순간 좌측의 입구($\xi$=0)에서 고온의 공기가 유입하기 시작한 이후의 축방향($\xi$) 공기 온도분포를 일정 시간 간격으로 보여준다. 그림 우측에 표시된 $St_{w}$(wall Stanton number)는 주변으로의 열손실에 대한 무차원 열전달계수로서 그림에는 그 영향이 명확히 드러나도록 세 가지 Stanton수의 결과(―)가 함께 제시되어 있다. 그림에서 $St_{w}$=0의 경우에는 모든 프로필이 유사하여 하나의 프로필이 시간에 따라 단순히 좌측에서 우측으로 평행이동 하는 것처럼 보인다. 그러나 다른 두 경우에는 시간에 따라 최고온도가 감소하면서 프로필이 변하는 것을 볼 수 있다. Anderson et al.⁽¹¹⁾은 작동압력, 유량, 입구온도(30 atm, 17.9 SCFM, 120℃)외에 다른 변수를 명시하지 않았기 때문에 본 연구에서는 이 결과를 재현하기 위해 식(13)의 $Ntu$와 $C_{r}^{*}$를 임의로 조정해 가며 Anderson et al.⁽¹¹⁾에 가까운 결과를 재현하는 조합($Ntu$≒630, $C_{r}^{*}$≒0.43)을 찾았으며 그 결과(○,□,△)를 그림에 표시하였다. 그림에서 본 연구와 Anderson et al.⁽¹¹⁾의 결과는 작은 오차 범위(max. 0.04) 내에서 일치하고 있으며 그 오차는 본 연구에서는 무시한 축방향 열확산과 물성 변화의 영향일 것으로 생각한다.

Fig. 4 Comparison with a numerical study in the literature(lines: Anderson et al.(11), symbols: this study).

3.2 충전층의 성능 해석

본 연구의 결과는 충전층 축열시스템의 실험적 해석에 활용할 수 있다. 아래에는 식(13)을 이용하여 공개된 논문의 실험 결과를 해석한 내용을 정리하였다.

Lee⁽¹³⁾는 자갈의 현열 축열 특성을 파악하기 위해 Fig. 5의 실험 장치를 제작하여 3종의 자갈에 대한 축·방열 성능을 측정하였다. 실험 장치는 송풍기를 사용하여 상온의 공기를 유량계와 전기 히터를 거쳐 축열조에 불어 넣는 형태이며 입·출구를 이외에 내경 205 mm, 길이 750 mm의 원통형 축열조에는 중간에 100 mm 간격으로 7개의 열전대를 설치하여 충전층의 중심온도를 측정하였다. 실험은 전기 히터를 통과한 고온(50-52℃, 62-64℃)의 공기를 축열조에 공급하여 출구 온도($T_{out}$)가 33℃가 될 때까지 가열하는 축열 과정과 이후에 히터 전원을 끄고 상온(20-22℃)의 공기로 냉각하는 방열 과정을 포함하는 한 개의 사이클 동안 30분 간격으로 온도를 기록하는 방식으로 진행되었다. Lee⁽¹³⁾의 실험 결과는 3.1절에서 Anderson et al.⁽¹¹⁾의 결과를 재현했던 것과 같은 방법으로 재현하였다. 단, 입구조건은 Lee⁽¹³⁾의 측정값을 Fig. 6과 같이 근사하여 사용하였다.

Fig. 6에서 심볼(○)은 Lee⁽¹³⁾가 측정한 축열조 입구 온도(Fig. 5에서 Tin)의 한 예이며 실선(―)은 측정값을 근사하기 위해 본 연구에서 정의한 식(19)의 함수이다.

Fig. 5와 같이 히터가 축열조에 직결된 형태의 장치로 Fig. 3의 사각파 조건을 구현하기 위해서는 이론적으로 히터를 포함한 발열부의 열용량이 0에 가까워야 한다. 실제로는 그 열용량이 상당히 크기 때문에 보통은 Fig. 6과 같이 온도가 완만히 상승하고 하강하는 것을 볼 수 있는데 이러한 특성은 식(19)에서 $\lambda_{1}$과 $\lambda_{2}$를 조정하여 근사할 수 있다. Lee⁽¹³⁾의 실험 결과는 $\mu → 0$의 조건에서 식(13)으로 예측할 수 있다. 단 $A_{n}$과 $B_{n}$은 식(19)를 식(11)~식(12)에 대입하여 구하였음을 유의하기 바란다.

Lee⁽¹³⁾는 60, 30, 20, 15 mm의 4가지 분류용 체(separating sieve)를 사용하여 분류한 3종(\#1: 30-60 mm, \#2: 20-30 mm, \#3: 15-20 mm)의 자갈을 고려하였다. Fig. 7에 Lee⁽¹³⁾가 입구온도 62-64℃에서 3종 자갈의 축·방열 특성을 측정한 결과와 본 연구의 계산 결과를 비교하였다. Fig. 7에서 실선은 식(13)의 $Ntu$, $C_{r}^{*}$, $\gamma$를 조정하면서 Lee⁽¹³⁾의 측정값에 가장 가까운 결과를 예측하는 조합을 찾아 계산한 것이다. 그림에서 볼 수 있듯이 식(13)은 전반적으로 Lee⁽¹³⁾의 결과를 잘 재현한다. 입구 영역($T_{1}$, $T_{2}$)과 출구($T_{out}$)에서 오차가 두드러지기는 하나 측정값의 불확실성과 본 연구에서 채용한 이상적인 가정들을 고려하면 받아들일 수 있는 수준으로 생각한다. Fig. 7a에서 1번 자갈의 $Ntu$가 15.6인 데 비해 Fig. 7b의 2번은 약 1.5배인 23.5, Fig. 7c의 3번은 약 1.9배인 29.6으로 추정되었는데 이는 충전재의 표면적과 열전달계수가 자갈 크기에 반비례하기 때문으로 이해할 수 있다. 한편 $C_{r}^{*}$은 1번과 2번이 각각 0.92와 0.97로 유사하지만 3번은 0.84로 작게 추정되었는데 이는 Fig. 7c에서 3번 자갈의 가열시간이 다른 자갈에 비해 길기 때문이다. $\gamma$는 1, 2, 3번이 각각 0.043, 0.029, 0.022로 추정되었다. $\gamma$와 $Ntu$의 곱(=$(UA)_{s_{-}\infty}/(\dot{m}C_{p})_{a}$)은 단위 유량 당 열손실계수로 이해할 수 있는데 이 값은 1, 2, 3번이 각각 0.68, 0.67, 0.64로 유사하므로 자갈의 종류가 열손실계수에 미치는 영향은 무시할 수 있을 정도로 작다고 판단할 수 있다.

축열조의 성능을 평가하는 기준은 연구에 따라 다르다. Lee⁽¹³⁾는 Fig. 7에서 출구 온도가 33℃ 이상인 ‘유효구간’의 길이와 최고온도를 기준으로 자갈의 성능을 평가하였는데 유효구간의 길이는 1번 자갈이 115분(최고온도 36.5℃), 2번이 140분(최고 38℃), 3번이 160분(최고 39.5℃)인 것으로 보고하였다. 본 연구에서는 같은 기준으로 3종의 자갈을 평가하기 위해 동일한 입구조건에서 3가지 자갈 축열조의 출구 온도를 계산하였고 그 결과를 Fig. 8에 제시하였다. Fig. 8에서 1번 자갈의 유효구간은 122분 (최고 39.5℃, 평균 27.3℃), 2번은 140분(최고 40.9℃, 평균 28.1℃), 3번은 149분(최고 41.9℃, 평균 28.7℃)으로 추정된다. 1, 2번 자갈은 Lee⁽¹³⁾의 분석과 유사하나 3번 자갈의 유효구간은 본 연구에서 약 11분 짧게 추정되었다. 이 같은 분석의 차이에도 불구하고 결론은 Lee⁽¹³⁾와 동일하다. 3번 자갈의 성능이 뛰어난 이유는 다른 자갈에 비해 열전달 성능이 뛰어나고 열용량이 크기 때문이다. Lee⁽¹³⁾의 기준에 따른 ‘유효’ 방열량은 Fig. 8에 음영으로 표시한 유효구간의 면적에 비례한다. 이를 기준으로 하면 1번 자갈에 비해 2번의 방열량은 19%, 3번의 방열량은 30% 정도 더 많은 것으로 추정된다.

Fig. 5 Schematic diagram of the test setup in Lee(13).

Fig. 6 Inlet boundary condition in Lee(13).

Fig. 7 Measured temperature in gravel beds(symbols: Lee(13), lines: this study).

Fig. 8 Predicted exit air temperature for Lee(13)’s gravel beds.

3.3 온실 난방 축열조의 성능 예측

3.1-2절에서는 균일한 초기온도 조건을 만족하기 위해 축열조의 운전 주기를 무한히 크게($\tau →\infty$) 가정하였다. 그러나 실제로 대부분의 축열조는 운전 주기가 유한하므로 여기서는 온실 난방의 예를 들어 유한한 운전 주기를 갖는 축열조의 성능 특성을 분석하였다.

온실 작물의 생산성은 온도와 습도에 민감하여 원가에서 에너지 비용이 차지하는 비중이 상당히 크기 때문에 자갈 축열조를 포함한 저비용 온실 난방시스템에 대한 관심이 크다. Bazgaou et al.⁽⁴⁾은 동일한 2동의 온실 중 한쪽에만 자갈축열조를 설치하여 자갈축열조가 온실의 온도와 습도에 미치는 영향을 연구하였다. 크기가 11 m×5 m×15 m(W×H×L)인 온실의 지하(1.3 m)에 크기 50-100 mm의 자갈을 채운 총 6개의 축열조(0.5 m×0.5 m×5.6 m, 각 1,723 kg, 공극률 35%)를 설치하여 실험한 결과 축열조를 설치한 온실의 동절기 야간 온도가 2.6 K 높고 상대습도도 10% 낮아 생산량이 29% 증가하였다고 보고하였다. Bazgaou et al.⁽⁴⁾의 연구는 모로코 남아가디르(southern Agadir, Morocco) 지역의 온화한 겨울철 기후에서 수행되었으므로 그 결과를 국내 환경에 직접 적용하기는 어렵다. 국내에서는 Woo et al.⁽¹⁴⁾이 부산 기장군에 설치한 5.3 m×2.5 m×6.6 m(W×H×L)의 온실을 2개 구획으로 나누어 외피의 종류(폴리에틸렌-염화비닐 필름; 단일-이중; 단열-비단열)와 축열체가 내부 온도에 미치는 영향을 비교 분석하고 부분 단열(북측 면적 1/2)한 이중외피와 축열체를 적용하면 온실 내부를 야간에도 15℃ 이상으로 유지할 수 있을 것으로 예상하였다. 저자들은 축열체에 대한 상세한 정보를 밝히지는 않았으나 축열체가 주간에 과열을 방지하고 야간에 높은 온도를 일정하게 유지할 수 있도록 하였다고 보고하였다. 축열체를 부가하여 온실의 에너지 효율을 개선하려는 아이디어는 새롭지는 않으나 실용적 가치가 매우 크다. 여기서는 Bazgaou et al.⁽⁴⁾과 Lee⁽¹³⁾의 자갈을 충전한 축열조를 Woo et al.⁽¹⁴⁾의 온실에 적용하는 것을 가정하여 그 성능을 예측하였다.

Fig. 9는 Woo et al.⁽¹⁴⁾이 두 겹의 염화비닐 외피를 부분 단열한 실험용 온실의 내·외부 온도를 2009년 2월 21일 하루 동안 30분 간격으로 측정한 결과이다. 그림에서 온실 내부 온도는 06시경 최저 약 2℃, 14시경 최고 약 45℃이고 08시부터 20시까지 구간의 온도는 15℃를 상회한다. 아래에서는 Fig. 9의 내부 온도를 입구조건으로 사용하여 축열조의 성능을 예측하였다. 단, Fig. 9의 프로필이 2월 21일 하루에 측정된 결과이므로 아래의 결과를 대표적 성능으로 볼 수는 없음에 유의하기 바란다.

Fig. 9의 내부 온도(○)를 식(11)~식(12)에 대입하여 $A_{n}$과 $B_{n}$을 구한 후 식(13)으로 출구 온도를 계산하였다. 식(13)에서 $\tau$는 24시간, $\tau_{h}$ 는 08시와 20시 사이의 12시간(i.e. $\mu$=0.5)으로 두고 $T_{\infty}$는 10℃(부산, 지하 1 m, 1971-1990년 겨울 평균온도, Kim⁽¹⁵⁾)로 가정하였다. 축열조는 Bazgaou et al.⁽⁴⁾과 동일한 전면면적($A_{c}$=0.25 m$^{2}$)의 원통을 고려하였고 Bazgaou et al.⁽⁴⁾의 자갈($\rho_{s}$=1,893 kg/m$^{3}$, $C_{ps}$=0.652 kJ/kgK, $\sigma$=0.35)과 Lee.⁽¹³⁾의 1번 자갈($\rho_{s}$=2,600 kg/m$^{3}$, $C_{ps}$=0.88 kJ/kgK, $\sigma$=0.38), 상온 대기압의 공기($\rho_{a}$=1.2 kg/m$^{3}$, $C_{pa}$=1 kJ/kgK)를 가정하였다. $U_{s_{-}\infty}$는 1 W/m$^{2}$K로 가정하였으며 $(ha)_{a_{-}s}$는 Löf and Hawley⁽¹⁶⁾의 식(20)을 사용하여 계산하였다.

본 연구에서는 축열조의 난방 능력을 20시부터 다음날 오전 8시까지의 평균 방열량으로 정의하고 식(21)과 같이 계산하였다. 이해를 돕기 위해 Fig. 10에 계산 결과의 한 예를 제시하였다.

Fig. 10에서 Tin(○)은 가로축만 오전 8시를 0시로 재지정하여 그린 것을 제외하면 Fig. 9의 내부 온도와 같다. 그림에서 $T_{out}$은 식(13)으로 계산한 출구 온도이고 그림에서 12-24 h 구간 즉, 방열 구간에서 $T_{out}$과 Tin 사이의 음영으로 표시한 영역이 식(21)의 적분에 해당한다. 그림에서는 $T_{out}$이 최고(37.8℃)가 되는 시점이 방열 구간 이전(10.8 h)에 존재하여 음영영역이 작게 형성되므로 이 시점을 지연시켜 즉, 그래프를 우측으로 이동시켜 방열량이 최대가 되는 지점을 찾을 수 있을 것이다. 이를 위해 전면속도 $\upsilon$와 축열조의 길이 $L$을 변화시켜가며 식(21)의 난방 능력을 계산하였으며 그 결과를 Fig. 11에 정리하였다.

그림에서 볼 수 있듯이 주어진 전면속도에서 $ \overline{Q}_{heating}$이 최대가 되는 최적의 길이가 존재한다. 그림에서 Bazgaou et al.⁽⁴⁾ 자갈을 적용한 경우에 $ \overline{Q}_{heating}$의 최댓값은 $\upsilon$=0.1 m/s의 경우 $L$=6 m에서 570 W, 0.2 m/s의 경우 12 m에서 1,170 W, 0.3 m/s의 경우 18 m에서 1,780 W이다. 한편 Lee⁽¹³⁾의 1번 자갈을 적용한 경우의 최댓값은 $\upsilon$=0.1 m/s의 경우 $L$=3.5 m에서 640 W, 0.2 m/s의 경우 7 m에서 1,320 W, 0.3 m/s의 경우 10.5 m에서 2,010 W이다. 위의 결과에서 같은 자갈의 최적점들은 모두 체류시간 $\Delta t$(=$L\sigma /v$)이 같아서 Bazgaou et al.⁽⁴⁾의 경우 체류시간은 21s이고 Lee⁽¹³⁾의 1번 자갈의 경우는 13.3s이다. 식(18)에서 $\Delta t$와 $C^{*}$가 $C_{r}^{*}$을 결정함을 상기하기 바란다. Fig. 11에서 모든 최적점의 $C_{r}^{*}$는 0.47로 같다. 이는 축열재의 종류와 관계없이 결정되는 최적의 $C_{r}^{*}$가 존재하고 축열조는 이 값을 크게 벗어나지 않도록 설계하는 것이 유리함을 의미한다.

Woo et al.⁽¹⁴⁾은 20 K의 내·외부 온도차(내부 15℃, 외부 -5℃)를 유치하는데 필요한 열량을 약 19,000 Wh로 추정하였다. Fig. 11에서 Lee⁽¹³⁾의 1번 자갈, $\upsilon$=0.1 m/s, $L$=3.5 m의 경우에 누적 방열량이 7,680 Wh(=640 W× 12 h)이므로 산술적으로는 3.5 m 길이의 축열조 1기를 설치하여 내부 온도를 약 8 K(=20×7680/19000) 높이는 것이 가능하다. 그러나 실제로는 축열조를 설치하여 운전하면 주간 온도는 감소하고 야간 온도는 상승하여 방열량이 감소하므로 실제 온도 상승분은 이보다 작을 것이다.

Fig. 9 Measured air temperature inside and outside the green house in Woo et al.(14)(Gijang, Busan; Feb. 21, 2009; double polyvinyl chloride film, north side insulated, no thermal storage).

Fig. 10 Predicted exit air temperature for Bazgaou et al.(4)’s gravel($\upsilon$=0.2 m/s, $L$=5.6 m).

Fig. 11 Effects of face velocity and length on predicted heating capacity.