1. 서론

히스테리시스 전동기는 일반적인 전기기기에서 손실로 작용하는 히스테리시스 루프 면적이 전동기의 출력과 비례하는 전동기이다. 이러한 히스테리시스 전동기는 정상 상태에서 토크 리플이 작으며, 일정한 주파수의 전압을 인가하였을 때, 동기속도로 자기동이 가능하다. 때문에 DTG와 원심 분리기 등 소형 어플리케이션에서 주로 사용된다. 그러나, 회전자 B-H특성의 비선형성 그리고 히스테리시스 특성의 복잡한 계산으로 인하여 다른 전동기에 비해 많이 연구가 되지 않았다. 더욱이 기동부터 정상상태까지의 과도상태를 해석할 수 있는 연구는 일부에 불과하다. 기존의 히스테리시스 전동기 동적 해석은 유도기 모델을 확장하여 계산^[1]되거나 알려진 형태와 다른 등가회로 모델^[2]로 해석되어 히스테리시스 전동기를 제대로 설명하기에 부족함이 있어 보인다. 따라서 본 연구에서는 와전류를 고려한 히스테리시스 전동기 등가회로와 프라이자흐 모델에 의한 회전자 링의 히스테리시스 특성 해석^[3]을 사용한 히스테리시스 전동기 동적 해석 방법에 대하여 제안한다. 회전자 히스테리시스 특성을 해석하기 위하여 히스테리시스 해석 모델로 잘 알려진 프라이자흐 모델을 응용한, B에 대한 H를 계산하는 역 프라이자흐 모델을 이용한다. 이 모델과 히스테리시스 전동기 전부하 시의 정적 상태 전압 방정식을 사용하여 전동기가 동기진입까지 동작할 때의 회전자 히스테리시스 루프를 시뮬레이션 하여 구한다. 이 후 계산의 간소화를 위하여 히스테리시스 루프는 타원으로 근사화되고 동적 모델에 적용되어 해석을 수행한다. 동적 모델에서는 링 내에 와전류 현상을 고려한 기동 상태부터 정상 상태까지 결과를 확인하며, 히스테리시스 전동기의 동기 속도 진입 후에 헌팅 현상에 대해서도 해석을 수행한다. 이로부터 히스테리시스 전동기의 기동 시 부터 속도, 발생 토크, 부하각, 회전자 전류 및 동기 진입시간 등의 동적 해석이 가능하다.

2. 기존의 히스테리시스 전동기 동적 해석법

3. 역 프라이자흐 모델과 정적 상태 해석

모든 자성체는 그림. 3과 같은 히스테리시스 특성의 비선형성 때문에 해석이 어렵다. 이런 특성은 프라이자흐 모델을 사용하여 해석 가능하다. 프라이자흐 모델을 사용하려면, 해당 재료의 메이저 루프와 마이너 루프가 측정되어야 한다. 그림. 3은 측정된 히스테리시스 루프의 마이너 및 메이저 루프를 나타낸다^[8].

본 논문에서는 기존에 연구되었던 에버렡 함수를 사용한 히스테리시스 특성 해석을 수행하였다^[5]. 그림. 3과 같이 측정된 회전자 히스테리시스 특성은 그림. 4와 같은 에버렡 평면으로 제작된다. 이후 만들어진 모델의 신뢰성을 확인하기 위하여 그림. 5와 같이 메이저 루프를 비교하였다. 그림. 5에서 실선은 실측된 메이저 루프, 파선은 시뮬레이션 결과의 메이저 루프이다.

히스테리시스 전동기 정적 상태 해석에서는 B에 대한 H를 계산하는 역 프라이자흐(Inverse Preisach) 모델이 요구된다^[6,7]. 역 프라이자흐 모델과 히스테리시스 전동기 등가회로를 사용하여 회전자 재료 및 인가전압에 따른 전동기의 정적 상태가 해석 가능하다. 여기서 정적 상태는 와전류 효과를 무시한 기동부터 동기속도에 진입하는 순간까지의 히스테리시스 모터의 상태를 말한다. 그림. 6은 회전자 히스테리시스 특성이 고려된 전동기 정적 상태 해석 모델의 알고리즘을 순서도로 나타낸 것이다^[8]. 인가전압 $V _{s}$에 따른 자속 $\Phi $가 계산되고 회전자 단면적에 대한 자속밀도 B가 계산된다. 회전자의 B값에 따른 H의 값을 역 프라이자흐 모델을 사용하여 계산된다. 이후 회전자의 투자율과 B-H의 위상차를 사용하여 그림. 7과 같은 등가회로에 기반한 전동기의 단자 전압이 계산 된다^[5,8,9]. 여기서 슬립은 0으로 하여 와전류 효과는 무시된다.

이후 인가되는 전압과 비교하여 값이 동일하지 않을 시 자속 $\Phi $를 다시 계산하며, 인가전압과 단자전압이 동일할 때까지 계산을 반복한다. 결과적으로, 히스테리시스 전동기가 정적 상태로 동작하고 있을 때, 회전자의 히스테리시스 루프를 시뮬레이션 한다. 시뮬레이션 결과의 루프는 이후 동적 해석에서 계산의 간소화를 위하여 동일한 면적의 타원 루프로 근사화 된다^[9]. 그림. 8은 시뮬레이션 결과의 히스테리시스 루프(실선)와 타원으로 근사화된 루프(점선)를 나타내고 있다^[8]. 그림. 9는 히스테리시스 루프의 B와 H를 시간에 대한 값으로 나타내었을 때이다.

그림. 9에서 H는 기본파와 여러 고조파의 합으로 나타내어 질수 있으며, 식(6), 식(7)을 이용한 루프면적은 고조파 성분에 대한 적분이 0이 되어 식(7), 식(8)을 이용한 타원이 만드는 면적과 동일하게 된다. 히스테리시스 전동기의 출력은 루프 면적과 비례하기 때문에 타원으로 근사화된 루프를 사용하여 계산되며, 동적모델에서 동기 진입 후 B-H 위상차가 변화됨에 따라서 타원의 면적이 달라진다.

4. 제안된 히스테리시스 동적 특성 해석법

히스테리시스 전동기의 동적 모델은 그림. 7과 같은 등가회로를 사용하여 해석된다. 회전자는 $R _{h}$와 $L _{h}$로 식(2), 식(3)과 같이 나타내어진다^[2]. 또한 $R _{e} /s$항에 의하여 전동기 회전자의 와전류가 고려된 출력이 계산 가능하다. 이후 인가 전압부터 자화 인덕턴스까지는 일반적인 교류기 모델과 동일하다^[4]. 따라서 식(9), 식(10), 식(11)과 같이 히스테리시스 전동기의 임피던스가 계산된다^[8].

전동기로 인가되는 평형 3상 전압은 dq변환 후 식(12)와 같이 복소값으로 계산된다.

전체 임피던스와 전압에 따른 기전력과 각 부분에 해당하는 전류 또한 식(13), 식(14)와 같이 계산된다.

히스테리시스 전동기의 기계적 출력은 일반적인 전동기와 다르게 계산된다. 히스테리시스 전동기의 출력은 식(15)와 같이 회전자 히스테리시스 루프의 면적과 회전자 체적에 비례 한다^[7].

식(15)의 $S _{H}$은 회전자 히스테리시스 루프의 면적을 나타내며, 이러한 전동기의 발생 토크 $T _{e}$는 전기적으로 아래 식(16)과 같이 다시 쓰여 진다^[2].

따라서 히스테리시스 전동기에서 발생된 토크는 식(16)과 같이 계산되며, B-H위상차에 따라서 전동기의 출력이 결정되고, 히스테리시스 전동기의 B-H 위상차는 전동기의 부하각과 동일하게 된다. 기동 시에는 최대 부하 각으로 동작을 하며, 동기 진입 후 헌팅 현상을 거쳐 정상상태에 이를 때까지 부하에 따라 루프의 부하 각이 증감을 거쳐 최초 루프의 면적보다 작아지게 된다. 위 히스테리시스 전동기의 동적 해석 모델에 대한 전체 블록도는 그림. 11과 같다^[8]. 그림. 10에서 실선 부분의 $V _{dq}$는 평형 3상 정현파 전압을 $v _{ds}$, $v _{qs}$로 계산한다. 그 후 식(12)와 같이 복소값으로 계산되며, 그림. 7과 같은 등가회로에 기반한 전동기 해석은 등가회로에서 계산된다. 파선 부분에서 기계적 부하 및 회전 속도 등을 계산한다.

이후 기계적 부하에 따라서 식(17)처럼 회전자 속도에 대한 미분 방정식을 풀어 속도를 계산할 수 있다. 또한 회전 자계 각속도와 회전자 각속도에 따른 전동기의 부하 각이 식(18)과 같이 계산 된다^[2].

계산된 부하 각은 그림. 11처럼 이전의 임피던스가 다시 계산되며, 식(16)과 같이 $\delta $항은 발생 토크 계산에 사용된다.

5. 시뮬레이션 및 비교

일반적인 모터의 전자기적 구조는 유한 요소 해석법(FEM)을 통하여 해석될 수 있으나, 히스테리시스 모터의 경우 아직까지 FEM을 사용하여 해석이 불가능하다. 왜냐하면 FEM 해석 툴에서는 초기 자화 곡선을 고려한 해석까지만 가능하기 때문이다. 시뮬레이션은 $V_{r ms}$=15V, 640Hz의 평형 3상 정현파에 대하여 수행되었다. 표 1은 본 논문에서 시뮬레이션된 히스테리시스 모터의 사양이다.

아래 시뮬레이션들에서 점선은 와전류 저항이 커서 효과가 작은 경우의 시뮬레이션 결과이고, 실선은 영향을 보기 위해 상대적으로 와전류 영향을 크게 고려한 경우이다. 그림. 12(b)는 그림. 12(a)의 사각형 부분을 확대한 그림이며, 동기 속도 진입 후 나타나는 헌팅 현상을 볼 수 있다. 그림. 13은 발생 토크를 계산한 것이며, 동기 속도 진입 후에 나타나는 헌팅현상을 볼 수 있다. 또한 회전자의 와전류 저항이 작을 때 동기속도에 좀 더 빠르게 진입하는 것을 알 수 있으며, 와전류가 기동 시 토크에 반영됨을 보인다.

그림. 14는 히스테리시스 B-H 위상차 즉, 부하 각을 보이고 있다. 이 결과와 (2), (3)을 사용하여 전동기 임피던스 및 이에 따른 토크나 전류 등이 계산된다. 이로부터 그림. 15에서 보듯이 실선 파형의 회전자 전류를 보면, 와전류 저항이 작아 기동 시 상대적으로 많은 전류가 흐르게 됨을 볼 수 있다.

그림. 16은 Nitao 모델과 발생하는 토크를 비교하고 있다. 그림. 16(a)와 그림. 16(b)는 와전류 저항이 매우 클 때와 매우 작을 때에 대한 계산된 토크 결과 중 0~5초에 해당하는 부분을 시뮬레이션한 것이다. 파선은 제안된 방법에 의한 결과, 실선은 Nitao 방법에 의한 결과를 나타낸다. 와전류 저항이 클 때는 와전류가 작아져 영향이 적고 헌팅 때 약간의 차이가 있음을 알 수 있다. 와전류 저항이 작은 경우는 그림. 16(b)에서처럼 기동 때에 특히 큰 차이가 있음을 볼 수 있다. 와전류 저항이 매우 작아서 히스테리시스 전동기라도 유도기 토크가 상대적으로 매우 크게 된다. 따라서 회전자 와전류 저항이 매우 작은 경우라면, 발생 토크는 유도기 기동 특성이 보여야 한다. 그림. 16(b)에서 알 수 있듯이 Nitao 등가회로 모델에서는 그런 현상을 볼 수 없고, 제안된 등가회로에 의한 해석에서는 유도기의 기동 시 특성이 나타남을 볼 수 있다. 따라서 본 논문의 제안된 모델이 히스테리시스 전동기의 동특성을 잘 설명하는 것으로 판단된다.

6. 결 론

히스테리시스 전동기는 자기동이 가능한 동기전동기로서 큰 장점을 갖지만, 히스테리시스의 비선형성에 의해 해석의 어려움으로 최근에서야 동적 해석 연구가 시도되고 있다. 본 연구에서는 기존 연구에서의 해석 방법을 분석하고, 보완하여 개선된 히스테리시스 전동기의 동적 해석 방법을 제안하였다. 우선 히스테리시스 전동기가 전압원으로 구동되기 때문에, 역 프라이자흐 모델을 사용하여 히스테리시스 전동기의 정적 상태를 해석하였으며, 여기서 얻어지는 투자율과 지연각을 동적 해석 모델의 초기 값으로 적용하여 기동시부터 동기 진입 시까지의 값으로 이용하였다. 또한 기동시부터 해석이 가능한 동적 해석을 위해 회전자의 와전류 저항을 고려한 모델을 이용하고, 이에 따라 기동 시부터 동기 진입 및 정상상태에 이르는 해석이 가능함을 보이고, 이 과정에서 발생 토크, 부하각, 와전류 영향 등의 해석이 가능함을 보였다. 이 방법에 의해 실측이 어려운 히스테리시스 전동기 동기 진입시간 뿐 아니라 안정화 시간도 시뮬레이션을 통하여 계산할 수 있다. 본 논문의 해석 방법은 프라이자흐 모델을 이용함으로써 회전자 재료의 히스테리시스 특성을 고려하고, 인가전압에 따른 히스테리시스 전동기의 해석을 수행하였다. 따라서 제안된 방법은 회전자 재료가 변경된 경우도 그 특성을 반영하여 사용 전압에 따른 히스테리시스 전동기의 해석을 할 수 있고, 나아가 히스테리시스 전동기 설계에도 활용될 수 있을 것으로 기대된다.