3.2 슬라이딩 모드 제어기 설계
본 절에서는 슬라이딩 모션 (6)이 문제 1의 조건들을 만족하는 것을 보장하는 선형 행렬 부등식 기반의 충분 조건을 유도한다. 진행하기에 앞서 (4)에서와 같이 고장 행렬은 $F(t)=$$F_{0}(I+F_{1}(t))$으로 표현된다고 가정하며, 이때
이며, $F_{1}^{T}(t)F_{1}(t)\le F_{2}^{T}F_{2}\le I$이고, $\underline f_{a}$와 $\overline{f}_{a}$,
$a\in\{1,\:2,\:$$\ldots ,\: r\}$은 각각 고장 행렬 원소의 하한과 상한값을 의미한다. 따라서 본 논문에서는 구동기의 고장을
포함하는 동역학의 안정화를 위해 (14)에서 연구된 파라미터 불확실성을 포함하는 시스템에 대한 강인 제어 기법을 적용한다.
이러한 조건에서 다음 정리는 문제 1의 해를 제공한다.
정리 1: 주어진 양의 스칼라 $\underline f_{a}$, $\overline{f}_{a}$, $a\in\{1,\:2,\:\ldots ,\:m\}$,
$\epsilon$, $\lambda_{\Lambda}$, 주어진 양부호 행렬 $Q\in R^{n\times n}$에 대해 다음의 선형 최적화 문제를
만족하는 양부호 행렬 $\overline{P}\in R^{n\times n}$와 임의의 행렬 $\overline{K}_{j}\in R^{m\times
n}$, $j\in I_{r}$이 존재하면 (6)은 문제 1의 조건을 만족한다.
여기서 $(i,\:j)\in I_{r}\times I_{r}$, $\overline{\phi}_{ij}= A_{i}+B_{i}F_{0}\overline{K}_{j}$이고,
$0$과 $I$는 적절한 차원의 영행렬과 단위행렬을 의미한다. 그리고 제어 이득 행렬은 $K_{j}=\overline{K}_{j}\overline{P}^{-1}$로부터
얻게 된다.
증명: 다음의 연속시간 리아푸노프 함수를 고려하자.
여기서 $P\in R^{n\times n}$은 미지의 양부호 행렬이다.
한편 (7)의 $H_{\infty}$ 조건이 만족되면 다음이 성립한다.
이제 식(10)을 시간에 대해 미분한 후 식(11)을 더해주면 다음을 얻는다.
$\dot V(t)+H(t)= 2 e^{T}(t)P\dot e(t)+e^{T}(t)Qe(t)-\gamma^{2}x_{d}^{T}(t)x_{d}(t)$.
위의 식에 식(6)을 대입하면,
이제 고장 행렬에 식(8)의 정의를 적용하면 $\phi(w_{r},\: m_{r})$을 다음과 같이 표현할 수 있다.
식 (12)에 (13)을 적용하면, 다음을 얻는다.
한편, 양의 스칼라 $\epsilon$과 $\rho$은 다음이 성립된다.
식 (15)와 (16)을 (14)에 적용하면, 다음이 성립한다.
이와는 별개로 $\rho^{-1}\Lambda^{T}(t)\Lambda(t)-\gamma^{2}I =0$이 성립한다고 가정하면 다음이 성립한다.
여기서 $\lambda_{\Lambda}$는 모든 $t$에서의 $\Lambda^{T}(t)\Lambda(t)$의 최대 고유값이다.
이제 (18)에 (17)을 대입하면, $\dot V(t)+H(t)\le 0$은 다음의 식으로 보장된다.
식 (19)의 왼쪽과 오른쪽에 $P^{-1}> 0$을 곱하고, $\overline{P}:=P^{-1}$와 $\overline{K}(m_{r}):=K(m_{r})\overline{P}$을
정의하면, 식(19)를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
여기서 $I$는 적절한 차원의 단위 행렬이다.
이제 (20)에 Schur complement를 적용하면 다음을 얻을 수 있다.
$$
\begin{aligned}
&\left[\begin{array}{ccccc}
{\overline{\phi}\left(w_{r}, m_{r}\right)+\overline{\phi}^{T}\left(w_{r}, m_{r}\right)}
& {*} & {*} & {*} & {*} \\
{F_{o} \overline{H}\left(m_{r}\right)} & {-\epsilon F_{2}^{-1}} & {*} & {*} & {*}
\\
{B_{i}^{T}} & {0} & {-\epsilon^{-1} F_{2}^{-1}} & {*} & {*} \\
{I} & {0} & {0} & {-\frac{\gamma^{2}}{\lambda_{A}} I} & {*} \\
{\overline{P}} & {0} & {0} & {0} & {-Q^{-1}}\end{array}\right] \\
=& \sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{r} w_{i}^{r}(z(t)) m_{j}(z(t)) \Xi_{i j}<0 \end{aligned}
$$
여기서
이다. 이로부터 (9)의 선형 행렬 부등식이 성립하면 (21)이 성립함을 알 수 있기 때문에 (9)의 선형 행렬 부등식은 $\dot V(t)+H(t)\le 0$을 보장함을 알 수 있다.
따라서 $x_{d}(t)=0$일 때 (9)는 $e(t)$의 평형점의 점근 안정화 조건인 문제 1의 조건 1을 보장한다. 또한, $\dot V(t)+H(t)$를 적분하면, 다음과 같다.
한편, $e(0)=0$이면, $V(0)= 0$이고 점근 안정화로 인해 $V(t)\to 0$이므로, (22)로부터 문제 1의 조건 2 역시 만족됨을 알 수 있다. 이것으로 증명을 마무리한다. ■
3.2 슬라이딩 모드 제어기 설계
정리 1은 슬라이딩 평면에서 슬라이딩 모션의 평형점이 안정화되는 충분조건을 제공한다. 본 절에서는 다음의 슬라이딩 모드 제어기에 의해 오차 벡터가
슬라이딩 평면에 도달함을 보인다.
여기서 $\rho(t)=\phi +\left | B(w_{r})\right |^{-1}\lambda_{\Delta}\left | x_{d}(t)\right
|$이고, ${sgn}(s(t))$은 $s(t)$에 대한 signum function이다.
정리 2: 식(22)의 슬라이딩 모드 제어 입력에 의해 식(3)의 오차 동역학은 슬라이딩 평면 (4)에 도달한다.
증명: 식(3)의 오차 동역학에 (22)의 제어 입력을 대입하면 다음을 얻을 수 있다.
한편, (4)의 미분에 (23)의 동역학을 대입하면 다음과 같다.
이제 다음의 리아푸노프 함수를 고려하자.
식 (25)의 미분에 (24)를 대입하고, $\lambda_{\Delta}$를 모든 $t$에서 $\Delta^{T}(t)\Delta(t)$의 최대 고유값으로 정의하고,
$$\rho(t)=\phi +\left | B(w_{r})\right |^{-1}\lambda_{\Delta}\left | x_{d}(t)\right
|$$
을 정의하면 다음을 얻을 수 있다.
따라서 (26)으로부터 (22)의 제어 입력에 의해 (3)의 오차 동역학이 슬라이딩 평면 (4)에 도달함을 알 수 있다. 이것으로 증명을 마무리한다. ■
참고 2: 본 논문의 주요 기여 사항은 다음과 같다.
시변의 불확실한 항을 포함하는 카오스 시스템을 구간 2형 퍼지 모델로 표현하여 강인 제어 성능을 달성하는 동기화 제어기 설계 기법을 제안한다.
구동기 고장과 멤버십 함수 불확실성을 포함하는 환경에서의 슬라이딩 모드 강인 동기화 제어기 설계 방법을 제안한다.