Mobile QR Code QR CODE : The Transactions of the Korean Institute of Electrical Engineers

  1. (Dept. of Control and Automation Engineering, Korea Maritime and Ocean University, Korea)



Interval type-2 fuzzy model, Fault tolerant, Sliding mode control, Linear matrix inequality, Chaotic synchronization

1. 서 론

최근 비선형 시스템을 타카기-수게노 (Takagi-Sugeno, T-S) 퍼지 모델 (1)로 표현하여 이에 대한 제어기를 설계하는 연구가 활발히 진행되고 있다. T-S 퍼지 모델은 주어진 비선형 모델을 각 퍼지 규칙의 멤버십 함수와 이에 대한 선형 부분 시스템의 퍼지합으로 표현하는 모델이다. 모델에 선형 부분 시스템을 포함하기 때문에 기존의 선형 제어 이론을 적용할 수 있다는 강점을 지니고 있어 많은 연구가 진행되고 있다(5-9, 16-24).

그러나 일반적으로 시스템 모델은 복잡하며 시스템 파라미터가 시간에 따라 변하기 때문에 제어기 설계와 안정도 분석에 어려움이 따른다. 이를 해결하기 위해 (14)에서는 T-S 퍼지 모델의 파라미터 불확실성을 고려한 강인 제어기 설계 기법이 연구되었다. 한 편, 모델링 시 파라미터 변동을 구간 2형 소속 함수로 모델링하는 구간 2형 퍼지 모델이 (2)에서 제안되었다. 기존의 T-S 퍼지 모델인 1형 퍼지 모델은 주어진 전제 변수의 값에 대해 단 하나의 소속 함수의 값을 가지나, 구간 2형 퍼지 모델은 소속 함수의 값이 상한값과 하한값 사이에서 변동을 가진다는 차이가 있다. 즉, 구간 2형 퍼지 모델에서 각 멤버십 함수는 그것의 상한과 하한 멤버십 함수의 convex 합으로 표현된다. 이렇게 함으로써 시스템 모델이 시변 파라미터를 포함하여 모델링되어 설계된 제어기가 시스템 파라미터 변동에 강인하게 대처할 수 있게 된다. 이러한 장점으로 인하여 최근 구간 2형 퍼지 모델에 대한 다양한 제어 연구가 수행되고 있다(2-4,11).

한편, 카오스 시스템은 대표적인 비선형 시스템으로 그것의 독특한 성질로 인하여 다양한 분야에서 널리 사용되고 있다(15). 특히, 통신 보안과 관련하여 두 카오스 시스템의 동기화 문제가 활발히 연구되고 있다(8,9). 카오스 시스템의 동기화 문제는 두 개의 카오스 시스템, 즉 구동과 응답 카오스 시스템의 상태 변수가 동기화되어 두 시스템의 상태 변수 오차를 점근적으로 수렴시키는 것이다. 1형 T-S 퍼지 모델로 표현된 카오스 시스템의 동기화 문제가 (8)에서 연구되었다. (9)에서는 불확실한 파라미터를 포함하는 카오스 시스템의 적응 카오스 동기화 제어 문제가 연구되었다.

또한, 구동기 고장 (actuator fault)은 실제 시스템 구현에 있어서 빈번하게 일어나는 현상으로, 구동기가 원래의 의도한 제어 입력에 미치지 못하는 값을 출력하는 현상이다. 이러한 상황을 고려하지 않는 경우 갑작스러운 구동기 고장으로 인해 제어 성능의 저하가 발생하며, 심한 경우 전체 시스템이 불안정해지게 된다(4,5). 이러한 점에 착안하여, 최근 구간 2형 퍼지 모델에 대한 고장 허용 제어기 설계 연구가 진행되었다 (4). 그러나 아직까지 동기화 문제에 고장 허용 제어기 설계 기법이 적용된 연구는 진행되지 않았다.

이에 더해, 파라미터 변동이나 구동기 고장 등 제어 시스템의 변화에 대해 강인 제어 성능을 달성하는 슬라이딩 모드 제어 연구가 널리 연구되고 있다(3,6,7). (6)에서 퍼지 적분 슬라이딩 모드 제어기 설계 연구가 진행되었고, (3)에서는 구간 2형 퍼지 모델에 이를 적용하는 연구가 진행되었다. 최근에는 (7)에서 외란 관측기를 기반으로 하는 적분 퍼지 슬라이딩 모드 제어기법이 연구되었다. 그러나 카오스 동기화 제어기 설계에 고장 허용 슬라이딩 모드 동기화 제어기 설계 연구는 전무한 실정이다.

이러한 분석에 착안하여, 본 논문에서는 구동기 고장 및 시변의 불확실한 파라미터를 포함하는 카오스 시스템을 위한 구간 2형 퍼지 적분 슬라이딩 모드 동기화 제어기 설계 문제를 다룬다. 이를 위해, 불확실한 파라미터가 포함된 비선형 카오스 시스템은 구간 2형 퍼지 모델로 표현된다. 또한, 구동기에서 발생하는 결함은 시변의 미지 파라미터를 갖는 고장 행렬로 표현된다. 본 논문에서는 고장 행렬을 시변 행렬과 시불변 행렬로 나누어, 고장 행렬의 시불변 항으로만 제어기 설계의 충분 조건을 만들어 이를 수치적으로 해석 가능하도록 한다. 마지막으로, 두 카오스 시스템의 동기화 제어기가 제안된 방법을 통해 성공적으로 설계되었음을 시뮬레이션 예제를 통해 보인다.

2. 문제 제기

2.1 시스템 구성

다음의 구간 2형 퍼지 모델은 구동 카오스 시스템을 나타낸다.

(1)
$\dot x_{d}(t)=\sum_{i=1}^{r}w_{i}^{d}(z(t))A_{i}x_{d}(t)$,

여기서 $x_{d}(t)\in R^{n}$은 구동 시스템의 상태 벡터이고, $A_{i}\in R^{n\times n}$은 시스템 행렬이며, $w_{i}^{d}(z(t))\in[0,\:1]$, $i\in I_{r}$, $I_{r}:=\{1,\:2,\:\ldots ,\: r\}$은 $i$번째 구간 2형 퍼지 규칙에 대한 소속 함수로 다음의 조건을 만족한다.

$$ \begin{array}{l}{w_{j}^{d}(z(t))=w_{i}^{d L}(z(t)) \underline{v}_{i}^{d}(z(t))+w_{i}^{d} U(z(t)) v_{i}^{-d}(z(t))}, \\ {\sum_{i=1}^{r} w_{i}^{d}(z(t))=1}\end{array} $$

이때 소속 함수의 불확실성을 나타내는 $\underline v_{i}(z(t))$와 $\overline{v}_{i}(z(t))$는 다음의 조건을 만족하며,

$$\underline v_{i}(z(t))\in[0,\:1]$, $\overline{v}_{i}(z(t))\in[0,\:1],$$

$$\underline v_{i}(z(t))+\overline{v}_{i}(z(t))=1,$$

하한과 상한 소속 함수 $w_{i}^{d L}(z(t))\in[0,\:1]$와 $w_{i}^{d U}(z(t))\in$$[0,\:1]$는 $0\le w_{i}^{d L}(z(t))\le w_{i}^{d U}(z(t))\le 1$을 만족한다.

다음으로 구동 카오스 시스템 (1)에 동기화되는 응답 카오스 시스템은 다음의 구간 2형 퍼지 모델로 표현된다.

(2)
$\dot x_{r}(t)=\sum_{i=1}^{r}w_{i}^{r}(z(t))\left\{A_{i}x_{r}(t)+B_{i}u(t)\right\}$,

여기서 $u(t)\in R^{m}$은 입력 벡터이고, $B_{i}\in R^{n\times m}$은 입력 행렬이며, 소속 함수 $w_{i}^{r}(z(t))\in[0,\:1]$은 (1)과 마찬가지로 다음의 조건을 만족하며,

$$w_{i}^{r}(z(t))=w_{i}^{r L}(z(t))\overline{v}_{i}^{r}(z(t))+w_{i}^{r U}(z(t))\overline{v}_{i}^{r}(z(t)),$$

$$\sum_{i=1}^{r}w_{i}^{r}(z(t))=1,$$

나머지 조건은 (1)과 동일하므로 설명을 생략한다.

진행하기에 앞서 표기의 간편함을 위해 다음을 정의한다.

$M(w_{r}):=\sum_{i=1}^{r}w_{i}^{r}(z(t))M_{i}$, $M(w_{d}):=\sum_{i=1}^{r}w_{i}^{d}(z(t))M_{i}$.

이제 동기화 오차 벡터를 $e(t):=x_{r}(t)-x_{d}(t)$로 정의하면, 다음의 동기화 오차 동역학을 유도할 수 있다.

(3)
$$ \begin{aligned} \dot{e}(t) &=\dot{x}_{r}(t)-\dot{x}_{d}(t) \\ &=A\left(w_{r}\right)_{x_{r}}(t)+B\left(w_{r}\right)_{u}(t)-A\left(w_{d}\right) x_{d}(t) \\ &=A\left(w_{r}\right)_{e}(t)+B\left(w_{r}\right)_{u}(t)+\left\{A\left(w_{r}\right)-A\left(w_{d}\right)\right\} x_{d}(t) \\ &=A\left(w_{r}\right)_{e}(t)+B\left(w_{r}\right) u(t)+\Delta(t) x_{d}(t) \end{aligned} $$

여기서 $\Delta(t)=A(w_{r})-A(w_{d})$이다.

2.2 슬라이딩 평면

다음으로 구간 2형 퍼지 동기화 제어기 설계를 위한 적분 슬라이딩 평면을 정의하자(6).

(4)
$s(t)= G e(t)- G e(0)-\int_{0}^{t}G\hat A(\tau)e(\tau)d\tau$,

여기서 $G\in R^{m\times n}$은 $G B(w_{r})$이 비특이행렬이 되도록 하는 임의의 주어진 전열 계수 행렬이며, $s(t)\in R^{m}$은 슬라이딩 벡터이고, $\hat A(\tau)=A(w_{r})+B(w_{r})F(\tau)K(m_{r})$이며, $F(\tau)\in$$R^{m\times m}$은 구동기 고장을 나타내는 미지의 시변 고장 행렬이고, $K(m_{r})\in R^{m\times n}$은 설계되어질 제어 이득 행렬로 다음과 같다.

$$K(m_{r}):=\sum_{i=1}^{r}m_{i}(z(t))K_{i},$$

여기서 $K_{i}\in R^{m\times n}$이고, $m_{i}(z(t))\in[0,\:1]$, $i\in I_{r}$은 제어기 $i$번째 규칙의 소속 함수로 다음과 같다.

$$m_{i}(z(t))=\dfrac{w_{i}^{r}L(z(t))+ w_{i}^{r U}(z(t))}{\sum_{k=1}^{r}\left\{w_{k}^{r L}(z(t))+ w_{k}^{r U}(z(t))\right\}}, \sum_{i=1}^{r}m_{i}(z(t))=1.$$

참고 1: 본 논문에서는 (4)에서의 연구에 영향을 받아 구동기가 결함으로 인해 제어기에서 요구되는 출력을 온전히 출력하지 못하는 상황을 가정한다. 즉, 제어기에서 요구되는 출력이 $u(t)$일 때, 구동기는 실제 출력은 $F(t)u(t)$이 되는 상황을 가정하며, $F(t)$는 시변의 불확실한 고장 행렬이다.

한편, 오차 상태의 궤적이 슬라이딩 모드에 진입하면, $s(t)=$$\dot s(t)=0$이 되어야 한다. 이를 위해 식(4)를 미분하면 다음과 같다.

$$\dot s(t)= G\dot e(t)- G\hat A(t)e(t).$$

위의 식에 (3)의 오차 동역학을 대입하고, $\dot s(t)=0$의 조건을 이용하면 다음을 얻는다.

$$ \begin{aligned} 0=& G\left\{A\left(w_{r}\right)_{e}(t)+B\left(w_{r}\right) u(t)+\Delta(t) x_{d}(t)\right\} \\ &-G\left\{A\left(w_{r}\right)_{e}(t)+B\left(w_{r}\right) F(t) K\left(m_{r}\right)_{e}(t)\right\} \\=& G B\left(w_{r}\right)\left\{u(t)-F(t) K\left(m_{r}\right)_{e}(t)\right\}+G \Delta(t) x_{d}(t) \end{aligned} $$

이상으로부터 $\dot s(t)=0$을 만드는 제어 입력 $u(t)$는 다음과 같음을 알 수 있다.

(5)
$u_{eq}(t)=F(t)K(m_{r})e(t)-\left\{GB(w_{r})\right\}^{-1}G\Delta(t)x_{d}(t)$.

이제 (3)(5)를 대입하면 슬라이딩 모션 동역학은 다음과 같이 얻을 수 있다.

(6)
$$ \begin{aligned} \dot{e}(t)=&\left\{A\left(w_{r}\right)+B\left(w_{r}\right) F(t) K\left(m_{r}\right)\right\} e(t) \\ &+\left[\Delta(t)-B\left(w_{r}\right)\left\{G B\left(w_{r}\right)\right\}^{-1} G \Delta(t)\right] x_{d}(t) \\=& \phi\left(w_{r}, m_{r}\right) e(t)+A(t) x_{d}(t) \end{aligned} $$

여기서 $\phi(w_{r},\:m_{r})=A(w_{r})+B(w_{r})F(t)K(m_{r})$이고, $\Lambda(t)$$=\Delta(t)-B(w_{r})\left\{GB(w_{r})\right\}^{-1}G\Delta(t)$이다.

마지막으로 본 논문의 설계 목표는 다음의 문제를 해결하는 것이다.

주어진 구동 카오스 시스템 (1)과 응답 카오스 시스템 (2)에 대해 동기화 슬라이딩 모션 (6)이 다음의 조건을 만족하도록 고장 허용 제어기 (5)의 제어 이득 $K(m_{r})$을 설계하라.

조건 1) $x_{d}(t)=0$일 때 (6)의 평형점이 점근 수렴한다.

조건 2) $e(0)=0$일 때 다음의 $H_{\infty}$ 성능을 만족한다.

(7)
$\int_{0}^{t_{f}}e^{T}(t)Qe(t)dt\le\gamma^{2}\int_{0}^{t_{f}}x_{d}^{T}(t)x_{d}(t)dt$,

여기서 $Q\in R^{n\times n}$은 주어진 양부호 행렬이고, $\gamma >0$은 구해지는 감쇠 계수이고, $t_{f}>0$은 종료 시간이다.

3. 주요 결과

3.2 슬라이딩 모드 제어기 설계

본 절에서는 슬라이딩 모션 (6)이 문제 1의 조건들을 만족하는 것을 보장하는 선형 행렬 부등식 기반의 충분 조건을 유도한다. 진행하기에 앞서 (4)에서와 같이 고장 행렬은 $F(t)=$$F_{0}(I+F_{1}(t))$으로 표현된다고 가정하며, 이때

(8)
$$ \begin{array}{l}{F_{0}=\operatorname{diag}\left\{f_{01} f_{02} \ldots . f_{0 m}\right\}, f_{0 a}=\left(f_{a}+\overline{f}_{a}\right) / 2} \\ {F_{1}(t)=\operatorname{diag}\left\{f_{11} f_{12} \ldots f_{1 m}\right\}, f_{1 a}=\left(f_{a}(t)-f_{0 a}\right) / f_{0 a}}, \\ {F_{2}=\operatorname{diag}\left\{f_{21} f_{22} \ldots . f_{2 m}\right\}, f_{2 a}=\left(\overline{f}_{a}-f_{a}\right) /\left(f_{a}+\overline{f}_{a}\right)},\end{array} $$

이며, $F_{1}^{T}(t)F_{1}(t)\le F_{2}^{T}F_{2}\le I$이고, $\underline f_{a}$와 $\overline{f}_{a}$, $a\in\{1,\:2,\:$$\ldots ,\: r\}$은 각각 고장 행렬 원소의 하한과 상한값을 의미한다. 따라서 본 논문에서는 구동기의 고장을 포함하는 동역학의 안정화를 위해 (14)에서 연구된 파라미터 불확실성을 포함하는 시스템에 대한 강인 제어 기법을 적용한다.

이러한 조건에서 다음 정리는 문제 1의 해를 제공한다.

정리 1: 주어진 양의 스칼라 $\underline f_{a}$, $\overline{f}_{a}$, $a\in\{1,\:2,\:\ldots ,\:m\}$, $\epsilon$, $\lambda_{\Lambda}$, 주어진 양부호 행렬 $Q\in R^{n\times n}$에 대해 다음의 선형 최적화 문제를 만족하는 양부호 행렬 $\overline{P}\in R^{n\times n}$와 임의의 행렬 $\overline{K}_{j}\in R^{m\times n}$, $j\in I_{r}$이 존재하면 (6)은 문제 1의 조건을 만족한다.

(9)
$$ \begin{array}{l}{\text { minimize } \gamma} \\ {\text { subject to }} \\ {\left[\begin{array}{ccccc}{\overline{\phi}_{i j}+\overline{\phi}_{i j}^{T}} & {*} & {*} & {*} & {*} \\ {\overline{\phi}_{i j} \overline{K}_{i j}^{T}} & {\epsilon F_{2}^{-1}} & {*} & {*} & {*} \\ {B_{i}^{T}} & {0} & {-\epsilon^{-1} F_{2}^{-1}} & {*} & {*} \\ {B_{i}^{T}} & {0} & {0} & {-\frac{\gamma^{2}}{\lambda_{A}} I} & {*} \\ {\overline{P}} & {0} & {0} & {0} & {-Q^{-1}}\end{array}\right]<0}\end{array} $$

여기서 $(i,\:j)\in I_{r}\times I_{r}$, $\overline{\phi}_{ij}= A_{i}+B_{i}F_{0}\overline{K}_{j}$이고, $0$과 $I$는 적절한 차원의 영행렬과 단위행렬을 의미한다. 그리고 제어 이득 행렬은 $K_{j}=\overline{K}_{j}\overline{P}^{-1}$로부터 얻게 된다.

증명: 다음의 연속시간 리아푸노프 함수를 고려하자.

(10)
$V(t)=e^{T}(t)Pe(t)$,

여기서 $P\in R^{n\times n}$은 미지의 양부호 행렬이다.

한편 (7)의 $H_{\infty}$ 조건이 만족되면 다음이 성립한다.

(11)
$H(t):=e^{T}(t)Qe(t)-\gamma^{2}x_{d}^{T}(t)x_{d}(t)\le 0$.

이제 식(10)을 시간에 대해 미분한 후 식(11)을 더해주면 다음을 얻는다.

$\dot V(t)+H(t)= 2 e^{T}(t)P\dot e(t)+e^{T}(t)Qe(t)-\gamma^{2}x_{d}^{T}(t)x_{d}(t)$.

위의 식에 식(6)을 대입하면,

(12)
$\dot V(t)+H(t)$$\left. =2e^{T}(t)P\left\{\phi(w_{r},\:m_{r})e(t)\right . +\Lambda(t)x_{d}(t)\right\}$ $+e^{T}(t)Qe(t)-\gamma^{2}x_{d}^{T}(t)x_{d}(t)$.

이제 고장 행렬에 식(8)의 정의를 적용하면 $\phi(w_{r},\: m_{r})$을 다음과 같이 표현할 수 있다.

(13)
$\phi(w_{r},\:m_{r})$$=A(w_{r})+B(w_{r})F_{0}K(m_{r})$ $+B(w_{r})F_{0}F_{1}(t)K(m_{r}) $.

식 (12)(13)을 적용하면, 다음을 얻는다.

(14)
$$ \begin{aligned} \dot{V}(t)+H(t)=& 2 e^{T}(t) P\left\{A\left(w_{r}\right)+B\left(w_{r}\right) F_{0} K\left(m_{r}\right)\right\} e(t) \\ &+2 e^{T}(t) P B\left(w_{r}\right) F_{0} F_{1}(t) K\left(m_{r}\right)_{\ell}(t) \\ &+2 e^{T}(t) P A(t) x_{d}(t) \\ &+e^{T}(t) Q e(t)-\gamma^{2} x_{d}^{T}(t) x_{d}(t) \\=& e^{T}(t)\left[2 P\left\{A\left(w_{r}\right)+B\left(w_{r}\right) F_{0} K\left(m_{r}\right)\right\}\right.\\ &+2 P B\left(w_{r}\right) F_{0} F_{1}(t) K^{\prime}\left(m_{r}\right)+Q | e(t) \\ &-\gamma^{2} x_{d}^{T}(t) x_{d}(t)+2 e^{T}(t) P A(t) x_{d}(t) \end{aligned} $$

한편, 양의 스칼라 $\epsilon$과 $\rho$은 다음이 성립된다.

(15)
$$ \begin{aligned} \mathfrak{k} P B\left(u_{r}\right) F_{0} F_{1}(t) K\left(m_{r}\right) \leq &\left.\epsilon_{1} P B\left(w_{r}\right)\right\} F_{1}(t)\left\{P B\left(w_{r}\right)\right\}^{T} \\ &+\epsilon^{-1}\left\{F_{0} H\left(m_{r}\right)\right\}^{T} F_{1}(t)\left\{F_{0} K^{\left.\left(m_{r}\right)\right\}}\right.\\ \leq & \epsilon_{+}^{\left[P B\left(w_{r}\right)\right\} F_{2}\left\{P B\left(w_{r}\right)\right\}^{T}} \\ &+\epsilon^{-1}\left\{F_{0} K\left(m_{r}\right)\right\}^{T} F_{z}\left\{F_{0} K\left(m_{r}\right)\right\} \end{aligned} $$

(16)
$$ \begin{array}{l}{2 e^{T}(t) P \Lambda(t) x_{d}(t)} \\ { \leq \rho e^{T}(t) P P e(t)+\rho^{-1} x_{d}^{T}(t) A^{T}(t) A(t) x_{d}(t)}\end{array} $$

식 (15)(16)(14)에 적용하면, 다음이 성립한다.

(17)
$$ \begin{aligned} \dot{V}(t)+H(t) \leq & e^{T}(t)\left[2 P\left\{A\left(w_{r}\right)+B\left(w_{r}\right) F_{0} K\left(m_{r}\right)\right\}\right.\\ &+\epsilon\left\{P B\left(w_{r}\right)\right\} F_{2}\left\{P B\left(w_{r}\right)\right\}^{T} \\ &+\epsilon^{-1}\left\{F_{0} K\left(m_{r}\right)\right\}^{T} F_{2}\left\{F_{0} K\left(m_{r}\right)\right\}+Q \\ &+\rho P P | e(t)+x_{d}^{T}(t)\left[\delta^{-1} A^{T}(t) A(t)\right.\\ &-\gamma^{2} I | x_{d}(t) \end{aligned} $$

이와는 별개로 $\rho^{-1}\Lambda^{T}(t)\Lambda(t)-\gamma^{2}I =0$이 성립한다고 가정하면 다음이 성립한다.

(18)
$\rho^{-1}=\dfrac{\gamma^{2}}{\lambda_{\Lambda}}$,

여기서 $\lambda_{\Lambda}$는 모든 $t$에서의 $\Lambda^{T}(t)\Lambda(t)$의 최대 고유값이다.

이제 (18)(17)을 대입하면, $\dot V(t)+H(t)\le 0$은 다음의 식으로 보장된다.

(19)
$2P\left\{A(w_{r})+B(w_{r})F_{0}K(m_{r})\right\}+\epsilon\left\{PB(w_{r})\right\}F_{2}\left\{PB(w_{r})\right\}^{T}$ $+\epsilon^{-1}\left\{F_{0}K(m_{r})\right\}^{T}F_{2}\left\{F_{0}K(m_{r})\right\}+Q+\rho PP < 0$.

식 (19)의 왼쪽과 오른쪽에 $P^{-1}> 0$을 곱하고, $\overline{P}:=P^{-1}$와 $\overline{K}(m_{r}):=K(m_{r})\overline{P}$을 정의하면, 식(19)를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

(20)
$2\left\{A(w_{r})\overline{P}+B(w_{r})F_{0}\overline{K}(m_{r})\right\}+\epsilon B(w_{r})F_{2}B^{T}(w_{r})$ $+\epsilon^{-1}\left\{F_{0}\overline{K}(m_{r})\right\}^{T}F_{2}\left\{F_{0}\overline{K}(m_{r})\right\}+\overline{P}Q\overline{P}+\rho I < 0$,

여기서 $I$는 적절한 차원의 단위 행렬이다.

이제 (20)에 Schur complement를 적용하면 다음을 얻을 수 있다.

$$ \begin{aligned} &\left[\begin{array}{ccccc} {\overline{\phi}\left(w_{r}, m_{r}\right)+\overline{\phi}^{T}\left(w_{r}, m_{r}\right)} & {*} & {*} & {*} & {*} \\ {F_{o} \overline{H}\left(m_{r}\right)} & {-\epsilon F_{2}^{-1}} & {*} & {*} & {*} \\ {B_{i}^{T}} & {0} & {-\epsilon^{-1} F_{2}^{-1}} & {*} & {*} \\ {I} & {0} & {0} & {-\frac{\gamma^{2}}{\lambda_{A}} I} & {*} \\ {\overline{P}} & {0} & {0} & {0} & {-Q^{-1}}\end{array}\right] \\ =& \sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{r} w_{i}^{r}(z(t)) m_{j}(z(t)) \Xi_{i j}<0 \end{aligned} $$

여기서

(21)
$$ \begin{aligned} \Xi_{i j}=&\left[\begin{array}{ccccc} {\overline{\phi}\left(w_{r}, m_{r}\right)+\overline{\phi}^{T}\left(w_{r}, m_{r}\right)} & {*} & {*} & {*} & {*} \\ {F_{o} \overline{H}\left(m_{r}\right)} & {-\epsilon F_{2}^{-1}} & {*} & {*} & {*} \\ {B_{i}^{T}} & {0} & {-\epsilon^{-1} F_{2}^{-1}} & {*} & {*} \\ {I} & {0} & {0} & {-\frac{\gamma^{2}}{\lambda_{A}} I} & {*} \\ {\overline{P}} & {0} & {0} & {0} & {-Q^{-1}}\end{array}\right] \\ \end{aligned} $$

이다. 이로부터 (9)의 선형 행렬 부등식이 성립하면 (21)이 성립함을 알 수 있기 때문에 (9)의 선형 행렬 부등식은 $\dot V(t)+H(t)\le 0$을 보장함을 알 수 있다.

따라서 $x_{d}(t)=0$일 때 (9)는 $e(t)$의 평형점의 점근 안정화 조건인 문제 1의 조건 1을 보장한다. 또한, $\dot V(t)+H(t)$를 적분하면, 다음과 같다.

(22)
$\int_{0}^{t_{f}}\{\dot V(\tau)+H(\tau)\}d\tau$$=V(t_{f})-V(0)+\int_{0}^{t_{f}}e^{T}(\tau)Qe(\tau)d\tau$ $-\gamma^{2}\int_{0}^{t_{f}}x_{d}^{T}(\tau)x_{d}(\tau)d\tau\le 0$.

한편, $e(0)=0$이면, $V(0)= 0$이고 점근 안정화로 인해 $V(t)\to 0$이므로, (22)로부터 문제 1의 조건 2 역시 만족됨을 알 수 있다. 이것으로 증명을 마무리한다. ■

3.2 슬라이딩 모드 제어기 설계

정리 1은 슬라이딩 평면에서 슬라이딩 모션의 평형점이 안정화되는 충분조건을 제공한다. 본 절에서는 다음의 슬라이딩 모드 제어기에 의해 오차 벡터가 슬라이딩 평면에 도달함을 보인다.

(22)
$u(t)=F(t)K(m_{r})e(t)-\rho(t){sgn}(s(t)))$,

여기서 $\rho(t)=\phi +\left | B(w_{r})\right |^{-1}\lambda_{\Delta}\left | x_{d}(t)\right |$이고, ${sgn}(s(t))$은 $s(t)$에 대한 signum function이다.

정리 2: 식(22)의 슬라이딩 모드 제어 입력에 의해 식(3)의 오차 동역학은 슬라이딩 평면 (4)에 도달한다.

증명: 식(3)의 오차 동역학에 (22)의 제어 입력을 대입하면 다음을 얻을 수 있다.

(23)
$\dot e(t)$$=A(w_{r})e(t)+B(w_{r})F(t)\left\{K(m_{r})e(t)-\rho(t){sgn}(s(t))\right\}$ $+\Delta(t)x_{d}(t)$,

한편, (4)의 미분에 (23)의 동역학을 대입하면 다음과 같다.

(24)
$$ \begin{aligned} \dot{s}(t)=& \dot{G e}(t)-G \hat{A}(t) e(t) \\=& G\left[A\left(w_{r}\right) e(t)+B\left(w_{r}\right) F(t)\left\{K\left(m_{r}\right) e(t) \right.\right.\\ &-\rho(t) \operatorname{sgn}(s(t))\}+\Delta(t) x_{d}(t) | \\ &-G\left\{A\left(w_{r}\right)+B\left(w_{r}\right) F(t) K\left(m_{r}\right)\right\} e(t) \\=& G\left\{-B\left(w_{r}\right) \rho(t) \operatorname{sgn}(s(t))+\Delta(t) x_{d}(t)\right\}. \end{aligned} $$

이제 다음의 리아푸노프 함수를 고려하자.

(25)
$V_{s}(t)=\dfrac{1}{2}s^{T}(t)s(t)$.

식 (25)의 미분에 (24)를 대입하고, $\lambda_{\Delta}$를 모든 $t$에서 $\Delta^{T}(t)\Delta(t)$의 최대 고유값으로 정의하고,

$$\rho(t)=\phi +\left | B(w_{r})\right |^{-1}\lambda_{\Delta}\left | x_{d}(t)\right |$$

을 정의하면 다음을 얻을 수 있다.

(26)
$$ \begin{aligned} \tilde{V}_{s}(t) &=s^{T}(t) s(t) \\ &=s^{T}(t) G\left\{-B\left(w_{r}\right) \rho(t) \operatorname{sen}(s(t))+\Delta(t) x_{d}(t)\right\} \\ & \leq-|G|\left|B\left(w_{r}\right)\right||s(t)|_{\rho}(t)+|G||s(t)| \lambda_{\Delta}\left|x_{d}(t)\right| \\ &=-|G|\left|B\left(\omega_{r}\right)\right||s(t)| \phi \leq 0 \end{aligned} $$

따라서 (26)으로부터 (22)의 제어 입력에 의해 (3)의 오차 동역학이 슬라이딩 평면 (4)에 도달함을 알 수 있다. 이것으로 증명을 마무리한다. ■

참고 2: 본 논문의 주요 기여 사항은 다음과 같다.

시변의 불확실한 항을 포함하는 카오스 시스템을 구간 2형 퍼지 모델로 표현하여 강인 제어 성능을 달성하는 동기화 제어기 설계 기법을 제안한다.

구동기 고장과 멤버십 함수 불확실성을 포함하는 환경에서의 슬라이딩 모드 강인 동기화 제어기 설계 방법을 제안한다.

4. 시뮬레이션 예제

본 장에서는 제안하는 방법의 타당성을 검증하기 위해 구간 2형 퍼지 모델로 표현되는 Rossler 카오스 시스템에 대한 구간 2형 퍼지 슬라이딩 모드 고장 허용 동기화 제어기 설계를 다루며, 이의 제어 성능을 컴퓨터 시뮬레이션을 통해 검증한다. 구간 2형 퍼지 모델로 표현되는 Rossler 카오스 시스템은 다음과 같다(3).

$$\dot x(t)=\sum_{i=1}^{r}w_{i}(z(t))\left\{A_{i}x(t)+B_{i}u(t)\right\},$$

여기서 $a=0.34$, $b=0.4$, $d=25$, $z(t)= x_{1}(t)$

$$A_{1}=\begin{bmatrix}0 & -1 & -1\\ 1 & a & 0 \\b & 0 & -d\end{bmatrix}, A_{2}=\begin{bmatrix}0& -1& -1\\1& a& 0\\b& 0& d\end{bmatrix},$$

$$B_{1}= B_{2}=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1\end{bmatrix}^{T},$$

$$w_{1}(z(t))=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{c(t)-x_{1}(t)}{d}\right),$$

$$w_{2}(z(t))=1-w_{1}(x_{1}(t)).$$

$c(t)$는 $c(t)\in[0,\:5]$인 시변의 미지 파라미터이다.

멤버십 함수인 $w_{1}(z(t))$와 $w_{2}(z(t))$가 미지 파라미터인 $c(t)$를 포함하기 때문에 이를 구간 2형 퍼지 모델로 표현하면 다음과 같이 상한과 하한 멤버십 함수를 통해 $w_{i}(z(t))$를 모델링할 수 있다.

$$w_{i}(z(t))= w_{i}^{L}(z(t))\underline v_{i}(z(t))+ w_{i}^{U}(z(t))\overline{v}_{i}(z(t)),$$

여기서

$$w_{1}^{L}(z(t))=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{0-x_{1}(t)}{d}\right),$$

그림. 1. $e(t)$의 상태 응답 그래프

Fig. 1. The state response of $e(t)$

../../Resources/kiee/KIEE.2019.68.9.1143/fig1.png

그림. 2. $s(t)$의 시간 응답 그래프

Fig. 2. The time response of $s(t)$

../../Resources/kiee/KIEE.2019.68.9.1143/fig2.png

$$w_{1}^{U}(z(t))=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{5-x_{1}(t)}{d}\right),$$

$$w_{2}^{L}(z(t))=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{5-x_{1}(t)}{d}\right),$$

$$w_{2}^{U}(z(t))=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{0-x_{1}(t)}{d}\right)$$

미지 파라미터 $v_{i}(z(t))$는 임의로 $\overline{v}_{1}(z(t))= 0.5\sin^{2}(x_{1}(t))$로 설정하였다.

이제 $Q=I$, $\overline{f}_{1}= 0.7$, $\underline f_{1}=0.3$, $\epsilon = 1$, $\lambda_{\Lambda}= 10$으로 설정하고 정리 1의 선형 최적화 문제를 해석하면 다음의 이득 행렬을 얻을 수 있다.

$$K_{1}=\begin{bmatrix}5477.7& 4594.5& -1184.1\end{bmatrix},$$

$$K_{2}=\begin{bmatrix}5477.7& 4594.5& -1184.1\end{bmatrix}.$$

그러나 제어 이득 $K_{1}$과 $K_{2}$가 동일한 것을 알 수 있다. 따라서, $K(m_{r}):=\sum_{i=1}^{r}m_{i}(z(t))K_{i}$과 $\sum_{i=1}^{r}m_{i}(z(t))=1$에 의해 $K(m_{r})=$$K_{1}= K_{2}$가 된다. 즉, 퍼지 제어 성능을 얻지 못하게 된다. 이것은 (21)에서 $w_{i}^{r}(z(t))$와 $m_{j}(z(t))$ 불일치로 인해 식(9)의 선형 행렬 부등식이 $(i,\:j)\in I_{r}\times I_{r}$에 대해 만족해야 하기 때문이다. 이런 문제는 (10)에서 제기되었고, 다양한 방법이 연구되어 해결되었다 (11,13). 그러나 본 논문에서는 제안하는 방법을 간단하게 보이기 위해 이러한 방법을 적용하지 않았다.

또한, 본 시뮬레이션에서 구동기 고장 행렬 $F(t)$를 다음과 같이 선택다.

$$F(t)=\left(\overline{f}_{1}-\underline f_{1}\right)\dfrac{\sin(20t)+1}{2}+\underline f_{1}.$$

이상의 결과와 더불어 $G=\begin{bmatrix}0& 0& 1\end{bmatrix}$, $\phi =0.01$, $\lambda_{\Delta}=10$으로 설정하고 동기화 제어 시뮬레이션을 수행하여 그림 1-2의 결과를 얻을 수 있다. 그림 1은 오차 벡터 $e(t)$의 상태 응답이며, 그림 2는 슬라이딩 평면 $s(t)$의 시간 응답이다. 그림으로부터 제안하는 방법을 통해 구동기의 고장이 있는 환경에서 구간 2형 퍼지 모델로 표현된 카오스 시스템의 고장 허용 슬라이딩 모드 동기화 제어기 설계가 성공적으로 이루어짐을 알 수 있다.

5. 결 론

본 논문에서는 구동기 고장과 시간에 따라 변화하는 불확실한 항을 포함하는 카오스 시스템에 대한 구간 2형 퍼지 적분 슬라이딩 모드 동기화 제어기 설계 문제를 다뤘다. 이를 위해, 불확실한 항을 포함하는 카오스 시스템은 구간 2형 퍼지 모델로 표현됐다. 또한, 구동기에서 발생하는 고장은 시간에 따라 변하는 미지의 매개 변수를 갖는 결함 행렬로 표현했다. 본 논문에서 고장 행렬은 시변 행렬과 시불변 행렬로 나누어 지는데, 이렇게 함으로써 제어기 설계의 충분 조건이 고장 행렬의 시불변 부분만을 갖도록 만들었다. 마지막으로 시뮬레이션 예제에서 제안하는 방법을 통해 두 카오스 시스템의 동기화 제어기가 성공적으로 설계되었음을 보였다.

Acknowledgements

This work was partially supported by the Basic Science Research Program through the National Research Foundation of Korea (NRF) funded by the Ministry of Education (NRF-2016R1A6A1A03013567, NRF-2018R1A2A2A14023632).

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저자소개

김한솔(Han Sol Kim)
../../Resources/kiee/KIEE.2019.68.9.1143/au1.png

Han Sol Kim received B.S. degree in Electronic and Computer Engineering from Hanyang University, Korea, in 2011 and M.S. and Ph.D degree in Electrical and Electronic Engineering, Yonsei University, Korea, in 2012 and 2018, respectively.

He joined Samsung Electronics Co. from 2018.

His current research interests include sampled-data control of fuzzy systems, fuzzy-model-based control, and interconnected fuzzy systems.

주영훈(Young Hoon Joo)
../../Resources/kiee/KIEE.2019.68.9.1143/au2.png

Young Hoon Joo received the B.S., M.S., and Ph.D. degrees in electrical engineering from Yonsei University, Seoul, South Korea, in 1982, 1984, and 1995, respectively.

He was a Project Manager with Samsung Electronics Company, Seoul, from 1986 to 1995. He was a Visiting Professor with the Department of Electrical and Computer Engineering, University of Houston, Houston, TX, USA, from 1998 to 1999.

He is currently a Professor with the School of IT Information and Control Engineering, Kunsan National University, Gunsan, South Korea.

His current research interests include intelligent robot, intelligent control, wind energy systems, and computer vision.

Dr. Joo served as the President for the Korea Institute of Intelligent Systems in 2009, the Editor-in-Chief for the Intelligent Journal of Control, Automation, and Systems from 2014 to 2017, and the Vice-President for Institute of Control, Robot and Control from 2016 to 2017.

He is serving as the President for the Korean Institute of Electrical Engineers in 2019 and the Director for Research Center of Wind Energy Systems funded by the Korean Government, Kunsan University.