2.2.1 코깅 토크

IPMSM은 고정자의 슬롯과 회전자의 매입 자석 형상으로 인해 공극과 회전자 사이의 자기저항 분포가 균일하지 않다^[4,5]. 불균일한 자기저항의 분포는 회전자가 회전함에 따라서 회전자를 자기 위치에너지가 낮은 축으로 정렬시키려 하는 코깅 토크를 발생시키고 발생된 코깅 토크는 평균 출력 토크에는 영향을 주지 않으나 토크 리플에 영향을 주어 코깅 토크가 증가할수록 토크 리플을 증가시키는 경향이 있다^[5]. 토크 리플은 컴프레서로 동작 시에 소음과 진동의 원인이 되므로 가능한 저감되어야 한다. 본 해석에서는 각 모델들의 1/4회전동안 발생하는 코깅 토크들을 그림. 2와 그림. 3에서 파형과 피크값으로 비교하였다. 자석사용량 대비 코깅 토크의 증감을 확인하기 위해서 각 모델들의 자석사용량과 코깅 토크 첨두치를 70도 모델을 기준으로 정규화하여 자석 사용량 대비 코깅 토크의 변화 추이를 나타내었다.

파형을 나타낸 그림. 2에서 70도 모델의 파형이 가장 크고 정현파에 가까운 파형을 보이며 각도가 커질수록 첨두값이 감소하고 파형이 왜곡되는 경향이 있음을 볼 수 있다. 각 모델의 첨두치는 70도부터 110도까지 각각 0.34, 0.19, 0.14, 0.11, 0.11N·m로 그림. 3은 이러한 자석 사용량의 변화 대비 피크값의 변화량을 보여준다. 그 결과 자석사용량 감소율은 비교적 일정한 반면 그에 따른 코깅 토크의 감소율은 70도와 80도 사이에서 가장 두드러지고 80도에서 100도까지 일정하며 100도 이후는 거의 감소하지 않았다. 그림. 3에서 70도와 80도 사이의 영구자석 감소 대비 코깅 토크의 감소율은 0.089Nm/cm³이며 80도와 100도 사이의 감소율은 0.051Nm/cm³, 100도와 110도 사이는 거의 0에 가깝다. 따라서 코깅 토크의 저감은 100도까지 유효하며, 그 이상은 유효하지 않음을 확인하였다.

2.2.2 역기전력(Back-electromotive force)

역기전력은 전기적으로 무부하인 상태에서 전동기를 회전시킬 때, 회전자의 영구자석에서 발생되는 잔류자속이 고정자의 권선에 쇄교하여 발생된다. 역기전력은 영구자석에서 발생되어 권선에 쇄교하는 자속 $\lambda_{PM}$의 변화량과 같으므로 식 (1)로 표현 가능하며, 이를 통해 쇄교자속을 계산하고 마그네틱 토크의 특성을 유추할 수 있다.

$E$ : 권선에 발생되는 역기전력(상전압 실효치) [V]

$\omega_{e}$ : 전기 각속도 [rad/s]

$\lambda_{PM}$ : 영구자석에서 발생되어 한상에 쇄교자속(기본파 실효치) [Wb]

그림. 4는 회전속도 6,000rpm으로 가정하여 각 모델들의 역기전력 파형을 해석한 것으로 70도부터 각모델의 피크값은 184, 170, 166, 162, 157Vpeak로 각도가 작을수록 크게 나타난다. 하지만 그림. 4의 모든 모델의 파형들에서 볼 수 있듯이 회전자의 d축이 한 상의 치의 중심을 지나는 점에서 왜곡이 발생하며 역기전력이 감소하는 경향이 발견된다. 이 현상은 그림. 5와 같이 회전자 d축의 양쪽에 위치한 두 자석의 모서리에서 자속밀도가 포화되고 두 자석의 모서리 사이는 상대적으로 덜 포화되었기 때문에 나타난다.

그림. 5는 d축 주변에 분포된 자속밀도를 나타냈다. 그림. 5의 70도 모델은 d축 양옆으로 분포된 자속밀도 영역들 중 피크값에 해당하는 영역은 1.94-2.12T의 포화영역을 형성하였으며, 이 포화영역은 70도 모델에서 가장 넓고 110도로 갈수록 좁아진다. 다시 말해 고정자 치에 쇄교하는 자속의 양이 감소함을 의미한다. d축 자로에서 자속밀도가 최소가 되는 영역은 d축의 바로 위에 생성되며 0.88-1.06T에 해당한다. 이러한 파형의 왜곡은 고조파 성분을 증가시켜 결과적으로 마그네틱 토크의 리플 성분이 증가로 이어진다.

역기전력 파형을 푸리에 급수로 분석하여 기본파와 고조파 성분의 RMS 크기를 그림. 6에 나타내었다. 70도 모델의 기본파 성분의 크기는 126Vrms로 가장 크지만 전체 성분 중 기본파 성분의 비율이 83%로 가장 작고 5고조파와 7고조파 성분의 비율도 각각 10%와 5.0%로 가장 크다. 반면 110도 모델은 기본파 성분의 크기가 108Vrms로 가장 작지만, 그 비율은 91%로 모든 모델 중에서 가장 크며 5고조파는 0.94%, 7고조파는 4.40%로 전고조파의 비율이 가장 작다. 역기전력의 기본파와 고조파는 각각 마그네틱 토크의 평균과 리플에 비례하므로 70도는 평균과 리플이 모두 크고 110도로 갈수록 평균과 리플이 모두 감소할 것이다.

마지막으로 자석사용량과 역기전력의 기본파 크기, THD의 변화를 그림. 7에 나타내었다. 기본파 크기의 감소율은 모든 구간에서 거의 일정하고 THD는 70도부터 110도까지 각각 13.93%, 9.48%, 8.17%, 6.56%, 6.24%로 계산되어, 코깅 토크와 마찬가지로 100도까지는 큰 폭으로 감소하나 이후로는 개선 폭이 줄어들었다.

2.2.3 d, q 축 인덕턴스

IPMSM에서 발생되는 토크는 원인에 따라 크게 마그네틱 토크와, 릴럭턴스 토크로 분류된다. 마그네틱 토크는 3상전류에 의해서 발생되는 회전 자속과 회전자의 영구자석에서 발생되는 자속의 상호작용에 의한 토크인 반면, 릴럭턴스 토크는 3상 전류원에 의한 회전 자속과 d, q축 사이의 릴럭턴스 차이에 의해서 발생한다^[6]. 인덕턴스와 릴럭턴스 사이의 관계는 식 (2)와 같으므로 d, q축 인덕턴스를 통해 릴럭턴스 토크의 크기를 유추할 수 있다. 뿐만 아니라, d축 자속 방정식 (3)으로부터 각속도 $\omega_{c}=\infty$를 위해 요구되는 d축 전류 $I_{d}=-\lambda_{P M} / L_{d}$를 구함으로써 제한된 인버터 성능으로 정출력 운전이 가능한 속도범위를 상대적으로 비교할 수 있다.

$L$ : 인덕턴스

$\lambda$ : 총 쇄교자속

$N$ : 턴 수

$\Phi$ : 1권선 당 쇄교자속

$F$ : 기자력

$R$ : 자기저항

정격 전류 13.5Arms가 흐를 때, 각 모델의 d, q축 인덕턴스를 표 2에 나타냈다. 표 2에는 13.5Arms에서의 d, q축 인덕턴스 및 돌극비를 정리하였다. 표 2에 따르면 해당 전류에서의 d, q축 인덕턴스의 비율인 돌극비는 80도에서 가장 크고 이후로 감소하는 추세이므로 릴럭턴스 토크 또한 비슷한 양상을 보일 것으로 예상된다. 그러나 d축 인덕턴스는 각도가 증가할수록 다소 증가하며 코깅 토크와 역기전력의 THD의 감소 추세와 마찬가지로 100도에서 증가추세가 끝난다. 이러한 증가 추세는 그림. 5에서 보인 d축의 자로면적이 각도가 증가함에 따라서 넓어지기 때문인 것으로 보인다. 그림. 8은 전류에 대한 d, q축 인덕턴스를 모델별로 나타냈다.

$\omega_{c}=\infty$에 해당하는 d축 전류를 계산하기 위해서 d축 전류 30A에서의 포화된 $L_{d}$와 역기전력의 기본파를 통해 추정된 $\lambda_{P M}$을 사용하였다. 계산된 d축 전류는 70도부터 순서대로–159, -152, -147, -141, -137A로 가장 큰 70도 모델과 가장 작은 110도 모델 사이의 차이는 22A로 상당하다. 통전 전류의 상승은 인버터에 사용될 스위칭 소자의 가격상승에 큰 요인이 되기 때문에 전체 시스템의 비용 저감을 위해서는 요구되는 속도에 해당되는 전류요건을 반드시 고려하여야 한다. 넓은 속도범위에서 운전되는 컴프레서의 특성 상 약계자 제어전류의 감소는 인버터의 저용량화에 큰 영향을 주므로 충분히 큰 $L_{d}$와 작은 $\lambda_{P M}$을 가진 큰 각도를 선정하는 것이 유리할 것으로 보인다.

2.2.4 출력 토크

출력 토크는 식 (4)과 같이 IPMSM의 전체 토크를 영구자석의 쇄교자속에 의한 마그네틱 토크 성분과 d, q축 인덕턴스의 차이에 의한 릴럭턴스 토크 성분으로 나누어 고려한다^[7]. 식 (4)에 의해서 마그네틱 토크는 $\lambda_{P M}$에 비례하고 릴럭턴스 토크는 주로 회전자의 형상에 따른 d-q축 인덕턴스의 차이로 결정되므로 릴럭턴스 성분이 클수록 자석 사용량 대비 출력 토크에 있어서 유리하고 경제적이다.

$T$ : 총 출력 토크

$p$ : 극 쌍수

$\lambda_{P M}$ : 영구자석에 의한 쇄교자속

$I_{d}, I_{q}$ : d, q축 전류

$L_{d}, L_{q}$ : d, q축 인덕턴스

$g$ : 공극 비

$l$ : 적층길이

$r_{g}$ : 공극 자기저항

$f_{s, h}, f_{r, h}$ : 고정자와 회전자의 $h$차 고조파 기자력

$\gamma_{d}$ : 부하각

$\omega_{e}$ : 각속도

본 해석은 13.5Arms, 400Hz의 3상 정현파 전류원을 해석 조건으로 하고 정격속도 6,000rpm을 가정한 최대토크 부하각에서 해석되었다. 표 3에 정리된 릴럭턴스 토크 성분을 살펴보면 110도 모델의 릴럭턴스 토크의 평균 크기는 0.91N․m으로 타 모델들에 비해 가장 큰 값이며 전체 토크 중 릴럭턴스 토크의 비율도 13.3%로 가장 큰 것으로 나타났다. 그와 반대로 70도 모델은 릴럭턴스 토크의 크기와 비율이 가장 작고 마그네틱 토크가 가장 우세한 경향을 보인다. 이 결과는 2.2.3절에서 분석된 d, q축 인덕턴스 및 돌극비로 유추한 해석결과와는 다른 결과이다. 그 원인은 식 (3)의 2번째 항에서 d, q축 인덕턴스의 차에 곱해지는 $I_{d} I_{q}$의 크기가 부하각에 따라 결정되고 각 모델별로 최대토크 부하각이 다르기 때문이다. 결과적으로 최대토크제어를 적용할 경우 110도 모델의 릴럭턴스 토크가 가장 큰 것으로 확인된다.

그림. 9는 회전자가 1/4회전을 하는 동안의 출력 토크 파형을 보인다. 토크 리플은 식 (5)에 따르면 고정자 기자력과 회전자 기자력의 고조파 성분에 의해서 발생한다^[8]. 2.2.2절에서 살펴본 바와 같이 역기전력은 기자력 및 자속과 비례관계이므로 회전자 기자력의 전고조파 성분은 매입각도가 커질수록 감소한다. 그 결과로 출력 토크의 평균 크기와 리플률은 70도 모델에서 7.70N·m, 10.7%로 출력 토크가 가장 크지만 리플 또한 가장 심하였다. 90도 모델은 7.20N․m, 7.95%로 중간에 해당하는 크기와 리플률을 가졌으며, 110도 모델은 6.85N․m와 6.02%로 가장 작은 크기와 리플을 발생시키는 것으로 해석되었다.

그림. 10은 자석사용량과 전체 출력 토크 및 리플의 감소 추세를 보인다. 평균토크는 매입각도가 70도에서 80도로 커지는 구간을 제외하고는 비교적 일정한 감소율로 감소하나, 토크 리플은 80도와 90도 사이에서 가장 가파르게 감소하고 이후로도 10도마다 1% 정도가 저감된다. 평균 토크의 감소 추세는 자석 사용량의 감소추세에 비해서는 완만한 편으로 각도가 증가할수록 자석사용량 대비 평균토크는 70도부터 110도까지 0.50, 0.54, 0.57, 0.58, 0.60N·m/cm³로 증가한다.

2.2.5 손실, 효율 및 출력 밀도

표 4에 각 모델의 해석으로 얻어진 출력과 동손과 철손, 효율 등의 수치를 나타내었다. 모든 모델의 고정자는 1mm 직경의 권선으로 총 148턴만큼 감겨져 있으므로 상 저항은 0.44Ω으로 동일하며 해석조건의 전류원도 13.5Arms, 400Hz로 동일하므로 모든 모델의 동손은 199W로 계산된다. 고정자와 회전자의 전기강판과 영구자석에서 발생되는 철손은 70도와 110도 사이에서 최대 14.7W, 최소 13.3W로 차이는 1.5W 이내로 동손에 비해 비중이 작다. 출력은 70도에서 약 4,820W, 90도 모델은 4,510W, 110도 모델에서 4,287W로 해석되었다. 각 모델의 효율을 계산한 결과, 95.3-95.8%의 범위 안에 속하며 변동은 1% 미만으로 매입각도에 따른 효율의 변화는 거의 없는 것으로 보인다. 출력 밀도는 70도 모델의 15.4W/cm³이 최댓값으로 110도 모델은 13.7W/cm³으로 출력 밀도는 토크에 비례하므로 평균토크와 동일하게 일정한 감소 추세를 보인다.