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Journal of the Korean Institute of Illuminating and Electrical Installation Engineers

KIIEE Vol. 68, No. 6, p.9-18

ISSN (print) :

1229-4691

ISSN (online) :

2287-5034

Received : 13 January 2019Revised : Accepted : 12 May 2019

DOI :

http://dx.doi.org/10.5207/JIEIE.2019.33.6.009

전기공학 교육을 위한 Steiner (Fermat) Tree 강의 Note - Minimum Spanning Tree와 Steiner Tree의 길이 비교 -

A Lecture Note for Introduction of Steiner (Fermat) Tree to Electrical Engineering Education - Comparison of Path Lengths of Minimum Spanning Tree and Steiner Tree

김주철 (Ju-Chul Kim) ¹ 이상중 (Sang-Joong Lee) ²^†

(Chuncheon Campus of Korea PolytechnicⅢ, Dept. of Electrical Engineering, Professor)
(Seoul National University of Science and Technology, Dept. of Electrical Engineering, Professor, PE)

^†Corresponding author, E-mail: 85sjlee@seoultech.ac.kr

License :

This work was supported by the Korean Federation of Science and Technology Societies(KOFST) Grant funded by the Korean Government.(www.kiiee.or.kr).

Abstract

Steiner tree is a tool for finding a minimum path that connects all nodes by adding, if necessary, some extra nodes. Those extra nodes are called the Steiner points and the resultant tree is called the Steiner tree. This paper presents a lecture note to help readers better understand the usefulness of the Fermat point and Steiner tree. It compares the Steiner tree of three vertices of a triangle to the path lengths connected via the incenter, circumcenter, centroid, orthocenter and Fermat point, respectively, which shows that the Steiner tree is minimal. The authors recommend to include the Fermat point and Steiner tree in the college curriculum for electrical engineering education since it has a useful meaning in a physical and engineering point of view.

Key words

Fermat-Steiner Point, Steiner Tree, Minimum Spanning Tree, Minimal Path

1. 서론

그림. 1과 같은 세 점 A, O, B가 있다. 동일 평면상에 제 4의 점 S가 있다면 A, O, B를 점 S를 통하여 연결하고자 할 때, 그 길이가 최소가 되는 점 S의 위치는 어디인가?

Fig. 1. Three points A, O, B

그 답은 다음과 같다. ∆AOB의 각이 모두 120° 미만일 경우, 그림. 2와 같이 세 점 A, O, B와 점 S를 연결하는 선분 AS, OS, BS가 만드는 각도가 각각 120°를 이룰 때 AS+OS+BS의 길이는 최소가 된다. ∆AOB의 각 중 하나가, 예를 들어 각 O가 120° 이상일 경우, 점 O가 곧 S점이 된다.

Fig. 2. Steiner (Fermat) point S of three points A, O, B

∆AOB의 각이 모두 120° 미만일 경우, extra point S는 삼각형 내부에 존재하게 되는데 이를 세 점 A,O,B의 Fermat point라 부른다^[1]. 연결하고자 하는 점들이 임의 배치된 세 점 이상인 경우 extra point S는 하나 이상 다수 존재 할 수 있는데, 이 extra point 들을 Steiner points라 하고 Steiner points로 연결된 tree를 Steiner tree라 부른다^[2]. ∆AOB의 각이 모두 120° 미만일 경우, Fermat point와 Steiner point는 일치한다.

1984년 European Journal of Physics에 게재된 논문 ‘The exact solution of a three-body problem’을 보면 ‘중점 S를 통하여 세 입자 A,O,B를 연결하는 string의 길이가 가장 짧아지는 조건은 S에서 만나는 세 각이 똑 같이 120°가 되어야 한다.’는 내용이 등장한다^[3]. 세 점을 최단거리로 연결하는 Steiner point 문제는 우편집중국의 최적위치를 찾는 데도 이용된 바 있으며^[4,^5], 반도체 circuit layout에도 Steiner tree 이론이 활용되고 있다^[6].

이렇듯 물리학, 도로망, 반도체 등 분야에 이미 오래 전부터 Steiner point와 Steiner tree가 언급되고 응용되어 왔지만, 정작 대다수의 대학 전기공학전공 졸업생들은 Steiner (Fermat) point와 Steiner tree가 무엇인지 알지 못한다. 2011년 교육과학기술부 고시 제 2011-361호의 개정 수학과 교육과정 고급수학 I에 Steiner tree와 유사한 개념의 minimum spanning tree가 도입된 적은 있으나^[7], Steiner (Fermat) point와 Steiner tree가 우리나라의 고교나 대학의 교과과정에 포함된 예는 찾아보기 힘들다.

본 논문에서는

- 직사각형의 네 꼭지점을 대각선으로 연결하는 경우와 minimum spanning tree로 연결하는 예제와의 비교를 통하여 Steiner point와 Steiner tree의 개념을 소개하고,

- 삼각형의 내심, 외심, 수심 및 무게중심과 세 꼭짓점을 연결하는 path의 길이를 Steiner (Fermat) point의 경우와 비교/증명함으로써 Steiner tree가 세 점을 잇는 가장 짧은 path 임을 설명하고,

- Fermat point와 Steiner tree 이론을 전기회로의 소형화, 전선로의 최단거리 포설 등 전기시공분야에 활용하는 방안과, 전기공학 교육과정에 Steiner tree 이론을 도입하는 방안을 제안하고자 한다.

2. Steiner (Fermat) Point와 Steiner Tree의 소개 - 직사각형 네 꼭짓점의 최단거리 연결

직사각형의 네 꼭짓점을 모두 연결하는 가장 짧은 path는 대각선이며 대각선의 교점(중심점)이 네 꼭짓점을 가장 짧게 연결하는 점일 것이라는 것이 기하학을 잘 모르는 일반인들의 추측이다. 그러나, 이는 사실이 아니다. 다음의 예로부터 알 수 있는 바와 같이 minimum spanning tree와 Steiner tree를 이용하면 이보다 더 짧은 path를 얻을 수 있다.

그림. 3에서 선분 AC, BD는 직사각형 ABCD의 대각선이다. 계산의 편의상 직사각형의 가로를 5, 세로를 $2\sqrt{3}$으로 가정하였다.

Fig. 3. A rectangle and its diagonals

점 P에서 점 A,B,C,D를 연결하는 선분 PA, PB, PC, PD의 길이의 합은

(1)

$2\times\sqrt{5^{2}+(2\sqrt{3})^{2}}=12.16$

이다. 그림. 4는 네 점 A,B,C,D를 연결하는 minimum spanning tree이다.

Fig. 4. Minimum spanning tree connecting points A,B,C,D

네 점 A,B,C,D를 연결하는 Minimum spanning tree의 길이는

(2)

BA+AD+DC = $2\sqrt{3}$+5+$2\sqrt{3}$ = 11.92

이 된다. 주어진 점들끼리만 연결하여 최단거리를 찾는 minimum spanning tree와는 달리, 필요할 경우 extra points(=Steiner points)를 추가하여, 주어진 점들을 최소 길이로 연결한 것이 Steiner tree이다.

삼각형의 세 꼭지각이 모두 120° 미만일 경우, Steiner point(=Fermat point)는 삼각형 내부에 존재하며 Steiner point에서 만나는 세 선분이 만드는 각도는 모두 120°가 된다. 그림. 5의 점 S1은 A,B,P 점의 Steiner point, S2는 C,D,P 점의 Steiner point이다.

Fig. 5. Steiner points S1, S2 of points A,B,C,D

네 점 A,B,C,D와 점 S1, S2를 연결하는 선분 AS1, BS1, S1S2, CS2, DS2,의 길이의 합은,

(3)

2 + 2 + 3 + 2 + 2 = 11

이 된다. 두 개의 Steiner point S1, S2를 통하여 연결되는 path, 즉 네 점 A,B,C,D의 Steiner tree의 길이가 두 대각선의 길이 보다, 또한 minimum spanning tree의 길이 보다 더 짧음을 알 수 있다^[4,^5].

3. 직각이등변삼각형의 내심, 외심, 수심, 무게중심과 세 꼭짓점을 연결하는 거리와 Steiner tree의 길이 비교

삼각형은 소위 오심(五心)이라고 불리는 내심, 외심, 수심, 무게중심, 방심이 있다. 여기서 내심, 외심, 수심, 무게중심과 세 개의 꼭짓점을 각각 연결하는 path의 길이를 계산해 보고 이를 Steiner tree와 비교해 보자^[8].

3.1 외심과 세 꼭짓점을 잇는 path의 길이

계산의 편의상 그림. 6과 같은 두 변의 길이가 a인 직각 이등변 삼각형 △AOB를 가정하자. 외심은 각 변의 수직 이등분선의 교점이다. 외심 C와 세 꼭짓점 A,B,O를 연결하는 선분의 길이의 합은:

Fig. 6. Circumcenter C

(4)

$A C+O C+B C=3 \times \frac{\sqrt{2}}{2} a=2.12 a$

3.2 수심과 세 꼭짓점을 잇는 path의 길이

수심은 세 꼭짓점에서 내린 수선의 교점이다. 그림. 7에서 수심 O와 세 꼭짓점 A,B,O를 연결하는 선분의 길이의 합은:

Fig. 7. Orthocenter O

(5)

$A O+B O=2 a$

3.3 무게중심과 세 꼭짓점을 잇는 path의 길이

무게중심은 세 꼭짓점에서 내린 중선의 교점이다. 그림. 8에서 무게중심 G와 세 꼭짓점 A,B,O를 연결하는 선분의 길이의 합은:

Fig. 8. Centroid G

(6)

$2 \times \frac{2}{3} \sqrt{a^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}+\frac{2}{3} \frac{a}{\sqrt{2}}=1.962 a$

3.4 내심과 세 꼭짓점을 잇는 path의 길이

내심은 세 꼭짓점의 내각의 이등분선의 교점이다. 그림. 9에서 내심 I와 세 꼭짓점 A,B,O를 연결하는 선분의 길이의 합은:

Fig. 9. Incenter I

(7)

$\frac{\tan 22.5}{1+\tan 22.5} \cdot \sqrt{2} a+a \sqrt{\left(1-\frac{\tan 22.5}{1+\tan 22.5}\right)^{2}+\left(\frac{\tan 22.5}{1+\tan 22.5}\right)^{2}} = 1.945a$

3.5 Steiner point와 세 꼭짓점을 연결하는 path (=Steiner tree)의 길이

Steiner point는 Steiner point와 세 꼭짓점을 연결하는 선분들이 120°로 만나는 점이다. 그림. 10에서 Steiner point S와 세 꼭짓점 A,B,O를 연결하는 선분의 길이의 합은:

Fig. 10. Steiner (Fermat) point S

(8)

$\frac{\tan 15}{1+\tan 15} \cdot \sqrt{2} a+a \sqrt{\left(1-\frac{\tan 15}{1+\tan 15}\right)^{2}+\left(\frac{\tan 15}{1+\tan 15}\right)^{2}} = 1.931a$

식 (4)-식 (7)과 식 (8)을 비교하면 세 점 A,O,B의 Steiner point S를 통하여 연결된 Steiner tree가 외심, 수심, 무게중심, 내심과 세 꼭짓점을 연결하는 path의 길이보다 더 짧음을 알 수 있다^[8].

4. 수학적 증명을 통한 Minimum spanning tree와 Steiner tree의 길이비교

그림. 11에서 Steiner (Fermat) point S와 세 꼭짓점 A,B,O를 연결하는 선분의 길이 AS, OS 및 BS를 각각 l,m,n이라 하자.

Fig. 11. Minimum spanning tree a+a and Steiner tree l+m+n

여기서

- Minimum spanning tree에 해당하는 점 O와 점 A,B를 잇는 path의 길이 ‘a+a’와

- Steiner (Fermat) point S와 세 꼭짓점 A,B,O를 연결하는 path의 길이 ‘l+m+n’를

수학적 증명을 통하여 비교함으로써 Steiner tree가 항상 더 짧음을 확인해 보자.

그림. 11에서 Steiner (Fermat) point S에서 아래 세 식을 얻을 수 있다.

(9)

$a^{2}=l^{2}+m^{2}-2 l m\cos 120^{\circ}$

(10)

$2a^{2}=m^{2}+n^{2}-2 m n\cos 120^{\circ}$

(11)

$a^{2}=n^{2}+l^{2}-2 n l\cos 120^{\circ}$

(9)~(11)의 양변을 합하고 정리하면.

(12)

$4a^{2}=2(l^{2}+m^{2}+n^{2})+(lm+mn+nl)$

그런데,

(13)

$(l+m+n)^{2}=(l^{2}+m^{2}+n^{2})+2(lm+mn+nl)$

이므로, 식 (13)*2 – 식 (12) 하면:

(14)

$2(l+m+n)^{2}=3(lm+mn+nl)+4a^{2}$

가 된다. 여기서 Σ를 ΔABC의 넓이로 정의하면,

(15)

$\Sigma =\dfrac{1}{2}lm\sin 120^{\circ}+\dfrac{1}{2}mn\sin 120^{\circ}+\dfrac{1}{2}nl\sin 120^{\circ}$

가 되고, 여기서

(16)

$lm+mn+nl=\dfrac{4\Sigma}{\sqrt{3}}$

의 관계를 얻는다. 이를 (14)에 대입하면:

(17)

\begin{align*} 2(l+m+n)^{2}=3(lm+mn+nl)+4a^{2}\\ =3\bullet\dfrac{4\Sigma}{\sqrt{3}}+4a^{2}\\ = 4\sqrt{3}\Sigma +4a^{2} \end{align*}

즉

(18)

$(l+m+n)^{2}=2\sqrt{3}\Sigma +2a^{2}$

가 되고, 이 식은 다음과 같이 변형될 수 있다.

(19)

$(l+m+n)^{2}-(a+a)^{2}=2(\sqrt{3}\Sigma -a^{2})$

여기서

(20)

$a^{2}=2\Sigma$

이므로, (19)의 우변을 보면:

(21)

$\sqrt{3}\Sigma -a^{2}=\sqrt{3}\Sigma -2\Sigma =(\sqrt{3}-2)\Sigma\le 0$

로 음수가 된다. 이는 (19) 식에서,

(22)

$(l+m+n)^{2}-(a+a)^{2}\le 0$

가 됨을 의미한다. 따라서 (22)로부터 아래의 부등식을 얻을 수 있다.

(23)

$l+m+n\le a+a$

이는

- Steiner (Fermat) point S와 세 꼭짓점 A,B,O를 잇는 path의 길이 ‘l+m+n’은

- 점 O(=수심)와 두 꼭짓점 A,B를 잇는, minimum spanning tree의 길이 ‘a+a’ 보다 항상 짧음을 의미한다.

5. Steiner (Fermat) point의 전기공학 분야 응용 및 적용예

5.1 Steiner (Fermat) point의 전기공학 분야 응용

Steiner (Fermat) point는 다음과 같이 전기공학 분야에 활용이 가능할 것으로 사료된다.

- 전선의 길이 최소화에 따른 전선 소모량 감소 및 공사비 절감을 기대할 수 있다^[5]. 특히 금, 은, 백금 등 고가 귀금속 도선이 전선로로 사용되는 경우 전선 비용절감 효과는 더 크다.

- 초전도 전력선과 같이 운용비용이 비싼 전선로인 경우 전선로가 짧아짐에 따른 전선로 운용유지 비용의 절감을 기대할 수 있다.

- 전선의 길이 최소화에 따른 전기회로/전력기기의 소형화, 경량화를 기대할 수 있다.

- 전선의 길이 최소화에 따른 전력손실의 최소화 및 이에 따른 회로내의 발열량을 최소화할 수 있다.

- Steiner (Fermat) point를 활용함으로써, 전선로가 짧아짐에 따른 공기단축 효과를 기대할 수 있다^[8,^9].

5.2 Steiner (Fermat) point를 이용한 부하점의 접속

그림. 12의 A~F 점은 천장에 설치될 여섯 개의 조명등이라 하자. 이 여섯 점을 모두 연결하는 가장 보편적인 방법은 그림. 13 및 그림. 14와 같은 직선 연결일 것이다. 이때 점과 점사이의 거리를 2m라 할 때 연결 전선로의 총 길이는 10m가 된다.

Fig. 12. Six light bulbs

Fig. 13. Connection of six light bulbs -1

Fig. 14. Connection of six light bulbs -2

그러나 그림. 15와 같이 점 A,C,D,F를 Steiner tree로 연결하고 점 B,E를 그 Steiner tree에 수직으로 접속하면 연결 전선로의 총 길이는 9.46m로 짧아진다.

Fig. 15. Connection of light bulbs by Steiner tree

그림. 16의 A∼E 점은 설치될 다섯 지점의 부하라 하자. ∠ABC 및 ∠CDE는 직각이다. 이 다섯 지점을 모두 연결하는 가장 보편적인 방법은 그림. 17과 같은 직선연결일 것이다. 이때 점과 점사이의 거리를 1km라 할 때 연결 전선로의 총 길이는 4km가 될 것이다.

Fig. 16. Five load-points

Fig. 17. Connection of five load-points by straight lines

그러나 그림. 18과 같이 점 AB,C 및 CDE를 Steiner tree로 연결하면 연결 전선로의 총 길이는 3.86km로 짧아진다.

Fig. 18. Connection of five load-points by Steiner tree

5.3 Steiner (Fermat) point를 이용한 설계변경 사례

전원 P로부터 조명등 부하 A 및 C와 건물 부하 B를 직접 연결하는 그림. 19와 같은 전선로를 가정하자.

Fig. 19. D/L connecting points P and A,B,C

(24)

\begin{align*} {AP}= 79 m,\:{PC}= 108 m,\:{CA}=130 m\\ \\ {AB}= 60 m,\:{PB}= 30 m ,\:{CB}= 90 m \end{align*}

라 하면, 전원 P로부터 부하 A,B,C를 직접 연결하는 전선로의 총길이는

(25)

${AP}+{BP}+{CP}=217 m$

가 된다.

그러나 전선로 ${AP}$ 및 ${PC}$ 대신 Steiner point에 해당하는 부하점 B를 통하여 ${AB}$ 및 ${CB}$ 전선로를 분기하는 것으로 설계변경 한다면. 그림. 20과 같이

Fig. 20. D/L route modification using Steiner point

(26)

${AB}+{PB}+{CB}=180 m$

가 되어 전선로의 총길이가 37m 짧아진다.

5.4 Steiner (Fermat) point의 현실적인 문제점과 대처를 위한 최적화모델 예시

Fermat point (또는 Steiner point)를 통한 연결이 이론적으로 최단거리임은 틀림없지만, Fermat point (또는 Steiner point)라는 추가 접속점이 필요하며, 이로 인한 새로운 부대비용이 발생하는 문제가 있다.

또한 Fermat point (또는 Steiner point)를 접속점으로 선택하는 것이 현실적으로 불가능한 경우를 고려해야 하는 문제도 있다. (예 : Steiner tree가 송전선 가설이 불가능한 도심을 통과하는 경우, Steiner point가 기존 건축물의 내부에 존재하는 경우 등)

그림. 21에서 내륙에 위치한 B 지점과 멀리 떨어진 섬 A 및 섬 C 지점을 최단거리로 송전선을 연결하고자 한다.

Fig. 21. Minimal connection of A,B,C thru point P(p, q) on coastline

${AB}=360 m,\:{BC}=435 m,\:{CA}=264 m$라 하고 B 지점의 좌표를 (0, 0), A 및 C 점의 좌표를 각각 $(A_{x},\: A_{y})$, $(C_{x},\: C_{y})$라 하면 ∆ABC의 Fermat point F는 B점으로부터 300m 떨어진 곳에 존재하게 된다.

Fermat point F의 좌표를 (240m, 180m)이라 하자. 점 F를 통하여 세 점 A,B,C를 연결하면 이론상 최단거리의 전선로 길이를 얻게 된다. 그러나 점 F가 바다 한가운데 위치하여 철탑설치가 어려우므로 부득이 해안선 상의 한 지점 P(p, q)에 철탑을 설치하여 세 점 A,B,C를 연결하고자 한다.

해안선의 방정식을

(27)

$q=-2p+400$

이라 하면 아래와 같은 최적화 수식을 세울 수 있다.

(28)

$Minimize l+m+n$

$s.t. q=-2p+400$

단,

(29)

$l ={PA}=\sqrt{(A_{x}-p)^{2}+(A_{y}-q)^{2}}$

(30)

$m ={PB}=\sqrt{p^{2}+q^{2}}$

(31)

$n ={PC}=\sqrt{(C_{x}-p)^{2}+(C_{y}-q)^{2}}$

이다. 식 (28)을 풀면:

(32)

$(p,\: q)=(145 m,\: 109 m)$

로서 세 점 A,B,C를 최단거리로 연결하는 해안선 상의 철탑위치 P(p, q)를 얻을 수 있다.

6. 결 론

본 논문에서는

- 삼각형의 내심, 외심, 수심 및 무게중심과 세 꼭짓점을 연결하는 path의 길이를 Fermat (Steiner) point의 경우와 비교하였으며, 또한 수학적 증명을 제시하여 Steiner tree가 세 점을 잇는 가장 짧은 path 임을 쉽게 이해할 수 있도록 하였다.

Fermat point와 Steiner tree는 전선로의 최단거리 포설 - 특히 초전도 선로와 같은 고가의 전선로의 최단거리 포설에 활용될 수 있고, 전선로의 optimal routing 등에 활용이 가능하다.

내심, 외심, 수심, 무게중심과 같이 임의의 삼각형에는 unique 한 Steiner point가 항상 존재한다. Fermat point와 Steiner tree 이론은 물리적, 공학적, 경제적 등 여러 측면에서 매우 중요한 의미를 가지고 있다. Fermat point와 Steiner tree 이론은 전기공학 엔지니어가 꼭 알아 두어야 할 유용한 지식으로 사료되므로, 전기공학 교육과정에 포함시킬 것을 제안하고 싶다.

향후 환경적인 요인, 현실적인 상황 등을 고려한 내용을 본 논문의 이론적인 부분과 결합하여 교육 커리쿨럼을 제시하는 추가적인 연구가 필요할 것으로 사료된다.

Acknowledgements

This study was supported by the Research Program funded by the SeoulTech(Seoul National University of Science and Technology)

References

Tong J. C., Chua Y. S., June 1995, The Generalized Fermat’s Point, Mathematics Magazine, Vol. 68

Courant R., Robbins H., 1941, What is Mathematics?, Oxford University Press, new york, pp. 354-360

Ruijgrok T. W., 1984, The exact solution of a three-body problem, European Journal of Physics, No. 5, pp. 21-24

Yang S. D., Lyu W. K., Lee S. J., Sep 2008, Optimal Location of Mail Distribution Center using Steiner Tree, Journal of KIIEE, Vol. 22, No. 9, pp. 82-87

Lee S., Yoon J., Kim J., Sep 2010, Cost reduction thru shortest path connection of power line, KIIEE Conference

Grewal G., et al , 2004, A New Algorithm for Quickly Growing Highly-Quality Steiner Tree, Proc. 17th International Conference on VLSI Design (VLSI'04), 2004 ieee computer society, pp. 1576-1579

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Lee G. Q., Kim J. C., Lee S. J., Nov 2018, Line length reduction using Fermat/Steiner Point, 2018 KIIEE Fall Conference

Lee G. Q., Kim J. C., Lee S. J., Nov 2016, Calculation of Lengths and Angles of Fermat Point of Three Points, 2016 KIMST(Korea Institute of Military Science and Technology) Fall Conference, Vol. , No. , pp. 81-82

Biography

Ju-Chul Kim

He has worked for SangDo E & GC Co., Ltd, for 12 years since 2002 and used to be the Chief Executive of R & D Center.

He has been a professor of Chuncheon Campus of Korea Polytechnic University since 2014.

His research interest includes Power system optimization, Quiescent power cut-off and Human electric shock.

He published many papers on ELCB(Earth Leakage Circuit-Breakers), Human body protection against electric shock, Improvement of SPD, Quiescent power cut-off, and etc., in Journal of the Korean Institute of IIIuminating and Electrical Installation Engineers.

Sang-Joong Lee

He proposed ‘Angle reference transposition in power flow computation’ on IEEE Power Engineering Review in 2002, which describes that the loss sensitivities for all generators including the slack bus can be derived by specific assignment of the angle reference on a bus where no generation exists, while the angle reference has been specified conventionally on the slack bus. He applied these loss sensitivities derived by ‘Angle reference transposition’ to ‘Penalty factor calculation in ELD computation’ [IEEE Power Engineering Review 2002], ‘Optimal MW generation for system loss minimization’ [IEEE Trans 2003, 2006] and etc.

He worked for Korea Electric Power Corporation (KEPCO) for 22 years since 1976, mostly at Power System Research Center.

He has been a professor of Seoul National University of Science and Technology since 1998.

His research interest includes power generation, large power system and engineering mathematics.

He received Ph.D. at Chungnam National University in 1995.

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A Lecture Note for Introduction of Steiner (Fermat) Tree to Electrical Engineering Education - Comparison of Path Lengths of Minimum Spanning Tree and Steiner Tree

Abstract

Key words

1. 서론

2. Steiner (Fermat) Point와 Steiner Tree의 소개 - 직사각형 네 꼭짓점의 최단거리 연결

(1)

(2)

(3)

3. 직각이등변삼각형의 내심, 외심, 수심, 무게중심과 세 꼭짓점을 연결하는 거리와 Steiner tree의 길이 비교

3.1 외심과 세 꼭짓점을 잇는 path의 길이

(4)

3.2 수심과 세 꼭짓점을 잇는 path의 길이

(5)

3.3 무게중심과 세 꼭짓점을 잇는 path의 길이

(6)

3.4 내심과 세 꼭짓점을 잇는 path의 길이

(7)

3.5 Steiner point와 세 꼭짓점을 연결하는 path (=Steiner tree)의 길이

(8)

4. 수학적 증명을 통한 Minimum spanning tree와 Steiner tree의 길이비교

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

5. Steiner (Fermat) point의 전기공학 분야 응용 및 적용예

5.1 Steiner (Fermat) point의 전기공학 분야 응용

5.2 Steiner (Fermat) point를 이용한 부하점의 접속

5.3 Steiner (Fermat) point를 이용한 설계변경 사례

(24)

(25)

(26)

5.4 Steiner (Fermat) point의 현실적인 문제점과 대처를 위한 최적화모델 예시

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

6. 결 론

Acknowledgements

References

Biography

Ju-Chul Kim

Sang-Joong Lee

Article Information (continued)

Key words

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and Electrical Installation Engineers