2.1 신경망의 설계

설계할 신경망은 압연기의 1회전에 상당하는 신호에 관한 데이터를 입력받아 편심의 원인에 대한 진단 결과를 자동으로 출력하는 기능을 가진다. 따라서 신경망의 입력층(Input layer)은 압연기의 원주를 1°간격으로 360등분하여 361개의 노드(Node)를 갖도록 정하고, 출력층(Output layer)은 편심 원인의 진단 결과를 0, 1 및 0.5의 세가지로 구분하여 표현한 숫자를 출력하는 1개의 노드를 갖도록 정한다. 신경망의 내부연산을 위한 은닉층(Hidden layer)은 모의실험을 통해 과잉학습의 문제 발생을 충분히 예방할 수 있도록 10개 노드를 갖는 1개 층으로 설계한다.

신경망의 설계를 위해 필요한 각 변수들을 정의한다. 첫째, 입력변수를 $x_{i}^{1}$, $i = 1 ,\: 2 ,\:\cdots ,\: 361$,로 정한다. 둘째, 입력층과 은닉층 사이의 연결 정도(Weight)를 나타내는 가중치들은 $w_{q . i}^{1}$, $q = 1 ,\: 2 ,\:\cdots ,\: 10$,로 정하며, $w_{q . i}^{1}$는 $i$번째 입력변수에서 은닉층의 $q$번째 노드를 향하는 연결 정도를 의미한다. 셋째, 은닉층의 $q$번째 노드에 투입될 값을 계산하는 식을 $z_{q}^{2}$라 약속하면, $z_{q}^{2}$는 식(1)과 같이 계산된다.

넷째, 은닉층의 $q$번째 노드에서 $z_{q}^{2}$를 처리하는 함수를 $f(z_{q}^{2})$라 정하면, $f(z_{q}^{2})$는 식(2)와 같이 계산된다^[7-8].

다섯째, 은닉층과 출력층 사이의 연결 정도를 나타내는 가중치들은 $w_{q}^{2}$, $q = 1 ,\: 2 ,\:\cdots ,\: 10$,로 정한다. 여섯째, 출력층 노드에 투입될 값을 계산하는 식을 $z^{3}$이라 약속하면, $z^{3}$은 식(3)과 같이 계산된다.

마지막으로, 출력층에서 $z^{3}$을 처리하는 함수를 $f(z^{3})$라 정하면, $f(z^{3})$는 식(2)와 동일한 식으로 설계한다. 그림 1은 위와 같이 설계된 신경망의 구조다.

2.2 학습용 데이터 설계

설계한 신경망을 학습시키는데 사용할 데이터를 편심의 원인별로 각각 설계한다.

2.2.1 일부 마모에 관한 데이터 설계

압연롤의 일부 마모에 관한 데이터를 생산하는 수식을 $u_{1}$이라 약속하고, $u_{1}$을 정현파를 이용해 설계한다. ‘정현파 함수의 값이 한 주기에서 +값을 갖는 각도 범위’가 원하는 일부 마모 각도 범위와 같도록 정현파에 음의 상수를 더한다. 다음에 정현파의 한 주기에서 양(Positive)의 범위에 남아있는 파형의 최대값을 1로 정규화하기 위한 상수를 곱한다. 이상의 방법을 식(4)와 같이 설계한다.

여기서 $\theta$는 각도($0^{o}$∼$360^{o}$), $range$는 음의 상수 및 $m$은 양의 상수이다. 압연롤의 일부 마모를 표현하는 학습용 데이터 조합을 무한개 만들 수는 없다. 따라서 모의실험을 통해 6개 조합으로 설계하였고, 6개 조합을 만드는 방법은 360°를 6등분하는 것이며, 그 조합을 각각 생산하는 식들을 $u_{1.N}$, $N = 0 ,\: 1 ,\: 2 ,\: 3 ,\: 4 ,\: 5$,이라 하면 식(5)와 같다.

일부 마모 범위를 시각적으로 쉽게 구분할 수 있으면서 모의실험을 위한 데이터의 개수를 충분히 포함하도록 만들어 본 결과, 10°로 정하였고, 그렇게 되는 $range$는 -0.996이며, 이를 정규화하는 $m$은 250으로 설계하였다. 그림 2에 $u_{1.N}$을 보이며, 가로축은 각도를 의미한다.

2.2.2 회천축 불일치에 관한 데이터 설계

회천축 불일치에 관한 데이터를 생산하는 수식을 $u_{2}$라 약속하고, $u_{1}$처럼 정현파를 이용해 설계한다. 편심 파형의 패턴들이 전혀 달라도 각 파형의 면적이 비슷하면 면적을 기준으로 편심의 원인 구분을 할 수 없는 문제가 발생한다. 본 논문의 주된 관심은 그러한 문제를 신경망을 이용하여 해결하는 방법을 제안하는 것이므로, $u_{2}$는 $u_{1}$과 같은 면적을 갖도록 설계하여야 한다. 따라서 $u_{2}$를 식(6)과 같이 설계한다.

여기서 $scaling$은 $u_{1}$과 같은 면적을 갖도록 만드는 상수이며, $|\quad|$는 절대값을 의미한다. $u_{2}$와 $u_{1}$의 면적이 거의 같아지는 $scaling$의 값은 0.0295로 설계하였다. 회천축 불일치에 관한 데이터 조합의 수도 6개 조합으로 설계하였고, 그 조합을 각각 생산하는 식들을 $u_{2.N}$이라 하면 식(7)과 같다.

그림 3에 $u_{2.N}$을 보이며, 가로축은 각도를 의미한다.

2.2.3 일부 마모 및 회전축 불일치의 동시 발생에 관한 데이터 설계

일부 마모 및 회전축 불일치의 동시 발생에 관한 데이터를 생산하는 수식을 $u_{3}$이라 약속한다. $u_{3}$은 $u_{1}$과 $u_{2}$를 이용하여 설계하여야 하는데, $u_{2}$를 $u_{1}$과 면적이 같도록 정했기 때문에, $u_{2}$의 최대 크기가 $u_{1}$에 비해 지나치게 작게 될 수밖에 없다. 따라서 설계한 신경망이 각 파형을 용이하게 인식할 수 있도록 하기 위해, $u_{1}$과 ‘정규화된 $u_{2}$’를 더하는 원리로 설계한다. 한편 그와 같이 정하면, 더한 결과의 최대값이 1을 초과하므로, 신경망내의 연산 오류 문제를 발생시킬 수 있다. 그래서 $u_{3}$은 ‘$u_{1}$과 정규화된 $u_{2}$를 더한 식’을 그 최대값으로 정규화한 것으로 설계한다. 일부 마모 및 회전축 불일치의 동시 발생에 관한 데이터 조합의 수도 6개 조합으로 설계하였고, 그 조합을 각각 생산하는 식들을 $u_{3.N}$이라 하면, 그림 4에 $u_{3.N}$을 보이며, 가로축은 각도를 의미한다.

3.1 모의실험환경 및 조건

설계한 신경망을 학습시키는데 필요한 학습용 입력 및 출력데이터들을 만든다. 먼저 입력데이터를 $u_{m.N}$, $m = 1 ,\: 2 ,\: 3$ 및 $N = 0 ,\: 1 ,\: 2 ,\: 3 ,\: 4 ,\: 5$,에 대해 각각 1° 간격으로 계산하여 361개씩 만든다. 그러면 입력데이터의 총 개수는 6,498개(361×3×6)이다. 다음에 출력데이터를 $u_{m.N}$에서 각 $m$에 대해 순서대로 0, 1 및 0.5로 각각 정한다. 따라서 출력데이터의 총 개수는 18개(3×6)이다. 신경망을 학습시키는 방법은 오류 역전파법^[7-9]을 사용하였다. 그 이유는 신경망의 산업응용분야에 가장 널리 사용되면서 압연 편심원인에 관한 데이터 특성상 수렴속도에 특별한 어려움이 없기 때문이다. 본 논문에서 다룬 문제의 경우, 오류 역전파법을 구현하는데 사용되는 학습율의 적절한 범위는 모의실험을 통해 0.7에서 0.9 사이로 판단하였으며, 0.7로 정한 후 학습을 시켰다. 신경망 학습의 종결 여부를 결정하는 변수는 오차인데, 주어진 18개 학습 패턴(입력 및 출력 데이터 조합)에 대해, $y_{d.i}$를 $i$번째 학습 패턴의 출력값 및 $y_{a.i}$를 설계된 신경망이 $i$번째 학습 패턴의 입력데이터를 받아 계산한 출력값이라 약속하면, 오차는 식(8)과 같다.

매우 엄격한 조건으로 설계할 수 있는 지를 알아보기 위해, 오차의 설정값을 출력 최대값의 1/10,000인 0.0001로 정하였다.

3.2 결과

이상의 조건하에서 설계된 신경망을 학습시키는 과정을 그림 5에 보인다. 오차가 수백회 정도의 학습 이후부터 거의 0에 가까운 상태에서 계속 감소하므로, 오차의 변화과정은 500회까지만 보인 것이다. 오차는 어떤 경우에도 학습의 횟수 증가에 따라 지수함수적으로 초기에 급격히 감소하였으며, 오차의 설정값 보다 작아질 때까지 대개 18,000에서 19,000회 사이 정도의 반복 학습 횟수를 필요로 하였다.

오차에 대한 설계 조건을 만족하도록 학습된 신경망의 성능을 검증한다. 먼저 학습시 사용했던 18개 학습 패턴의 입력 데이터를 신경망에 각각 투입한 결과를 표 1에 보인다. $u_{1.N}$, $u_{2.N}$ 및 $u_{3.N}$의 희망 출력값은 각각 0, 1 및 0.5이다. 표 1의 결과를 보면, 각 입력에 대한 신경망 출력과 희망 출력값 사이의 차이가 그 차이의 제곱을 0.0001 이내로 설계한 조건을 잘 만족함을 알 수 있다.

다음에 잡음에 대한 강인성을 알아 본다. 세가지의 학습용 패턴 그룹들에 대해 각각 3개씩($u_{m.N}$, $m = 1 ,\: 2 ,\: 3$ 및 $N = 0 ,\: 1 ,\: 2$)을 선택한 후, 백색잡음을 추가한다. 백색잡음의 크기는 기계적으로 정비하기 전까지의 크기를 고려하여 최대값의 5%로 정하였다. $v_{m.N}$을 ‘해당 패턴의 최대값의 5%’를 최대값으로 갖는 백색잡음을 해당 패턴에 더한 입력데이터라 할 경우, 회전축 불일치 및 일부 마모를 모두 포함하는 파형을 그림 6에 참고로 보이며, $v_{m.N}$을 신경망에 투입한 결과를 표 2에 보인다. 표 2를 보면 진단 결과의 안정성을 보증할 수 있음을 알 수 있다. 참고로 $w_{m.N}$을 ‘해당 패턴의 최대값의 10%’를 최대값으로 갖는 백색잡음을 해당 패턴에 더한 입력데이터라 할 경우, $w_{m.N}$을 신경망에 투입한 결과를 표 3에 보인다.