1. 서 론

현재 세계 주요국들의 대도시에서는 효율성, 경제성 및 환경적인 요소들을 고려하여 고층 빌딩 옥상의 소형 풍력발전시스템의 설치를 확대하고 있다.

기존의 소형 풍력발전시스템에 주로 사용되는 발전기는 내․외륜형 방사자속 영구자석(radial flux permanent magnet : RFPM) 발전기, 축자속 영구자석(axial flux permanent magnet : AFPM) 발전기를 들 수 있다. 내륜형 RFPM 발전기는 기계적 구조상 다극배치가 어려워 외륜형 발전기 대비 출력밀도가 낮으며, 외륜형 발전기는 다극배치가 가능하나 내륜형 발전기 대비 코깅토크가 크게 발생한다는 단점이 있다^[1]. 하지만 본 논문에서는 앞서 언급한 발전기의 단점을 보완하며 기존에 많은 연구가 이루어지지 않은 이중고정자형 발전기를 사용한다.

이중고정자형 발전기는 그림 1과 같이 내부 고정자 및 외부 고정자로 나누어져 있으며, 고정자 사이에 영구자석이 부착되어 있는 회전자의 형상을 가진다. 이중고정자형 발전기는 기존의 RFPM 또는 AFPM 발전기에 비해 체적당 출력비가 우수하며, 높은 출력밀도를 가지고 있을 뿐만 아니라 저 풍속에서 높은 전압을 바탕으로 넓은 운전영역에서 고효율 발전이 가능하다. 고효율 및 고출력 밀도를 바탕으로 기존 전동기 또는 발전기 시스템의 소형화가 가능하다^[1].

하지만 영구자석을 사용하는 풍력발전기는 고정자와 회전자 영구자석 사이의 상호작용에 의해 코깅토크가 생기는 단점이 있다^[2].

코깅토크는 발전기의 초기 기동에 중요한 요인이 되며, 코깅토크가 커질수록 진동, 소음 및 토크 리플 증가 등에 영향을 미친다^[3]. 이러한 문제를 해결하기 위해 이중고정자 발전기는 두 개의 내․외부 발전기에서 각각 발생하는 코깅토크를 고정자 또는 영구자석의 상호 위치 전이와 같은 코깅토크의 상쇄설계를 통해 코깅토크의 최소화가 가능하다^[4]. 하지만 이중고정자 발전기 구조상 외측 고정자의 직경이 내측 고정자에 비해 크게 설계되기 때문에 외측 고정자의 코깅토크가 크게 발생하여 고정자 위치 전이 설계를 적용하여도 내측 고정자와 외측 고정자에서 발생하는 코깅토크 차이만큼 코깅토크가 발생하게 되어 완전한 상쇄가 되지 않는다. 이러한 이유로 슬롯 오프닝^[5], 영구자석 극호비^[6], 고정자 노치^[7], 영구자석 스큐^[8] 등 코깅토크를 저감하기 위한 방법^[9]들이 연구되고 있다. 이러한 방법들은 발전기의 출력 및 효율을 저하시키는 단점이 있다.

Fig. 1. Structure of dual stator type generator

따라서 본 논문에서는 앞서 언급한 코깅토크 저감 기법들의 문제점을 보완하는 코깅토크 저감 기법을 제안한다. 내측 고정자와 외측 고정자 슬롯 teeth 폭의 각도를 변수로 두고 고정자 치조합을 적용하여 설계를 실시하였다. 제안된 코깅토크 저감 기법의 타당성은 유한요소 해석을 통해 검증하였다.

2. 코깅토크 저감 기법

2.1 코깅토크

코깅토크는 자기에너지가 최소인 위치로 회전자의 영구자석이 이동하려는 힘으로, 고정자의 치와 회전자 영구자석의 상호작용에 의해 발생한다. 코깅토크가 크다면 발전기의 초기 기동에 필요한 풍속이 커지게 되어 발전기의 운용 및 효율성이 떨어지게 된다. 따라서 코깅토크 저감 설계는 소형풍력발전기에 필수적으로 적용되어야 한다.

Fig. 2. Cogging torque according to rotor position

코깅토크는 그림 2와 같이 나타낼 수 있으며, 이론적으로 코깅토크를 해석하기 위해 다음과 같은 가정이 필요하다.

① 철의 자기투자율은 무한대이다.

② 철은 자기포화가 일어나지 않는다.

③ 자극 천이의 퍼미언스 함수에 대한 영향은 고려하지 않는다.

④ 슬롯 아래의 자속 밀도는 영이다.

코깅토크는 회전자의 회전각도가 변화할 때 공극에 축적된 에너지 변화량에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

(1)

$T_{cog}=-\dfrac{\partial W(\alpha)}{\partial\alpha}$

여기서 $\alpha$는 회전자 회전각, $T_{cog}$는 코깅토크, $W$는 공극에너지를 나타낸다.

(2)

$$ W(\alpha)=\frac{1}{2 \mu_{0}} \int_{v}[B(\theta, \alpha) \cdot G(\theta)]^{2} d V $$

$\mu_{0}$는 공극 투자율이며, $\theta$는 회전자의 위치각, $B(\theta ,\:\alpha)$는 공극 자속밀도, $G(\theta)$는 상대 퍼미언스 함수이다. 식 (2)를 적분하면 아래의 식 (3)과 같이 나타낼 수 있다.

(3)

\begin{align*} W(\alpha)=\dfrac{1}{2\mu_{0}}\int_{0}^{L_{s}}\int_{R_{1}}^{R_{2}}\int_{0}^{2\pi}G(\theta)^{2}\bullet B(\theta ,\:\alpha)^{2}d\theta drdz\\ W(\alpha)=\dfrac{1}{2\mu_{0}}\bullet L_{s}\bullet\dfrac{1}{2}(R_{2}^{2}-R_{1}^{2})\int_{0}^{2\pi}G(\theta)^{2}\bullet B(\theta ,\:\alpha)^{2}d\theta \end{align*}

여기서 $G$는 공극 퍼미언스 함수, B는 자속 밀도 함수, $L_{s}$는 적층길이, $R_{1},\: R_{2}$는 회전자 및 고정자 공극이다.

$G(\theta)^{2}$와 $B^{2}(\theta ,\:\alpha)$는 푸리에 급수 전개를 하게 되면 아래의 식 (4), (5)와 같이 나타낼 수 있다.

(4)

$$G(\theta)^{2}=\sum_{n=0}^{\infty}G_{n N_{s}}\cos n N_{s}\theta$$

(5)

$$B^{2}(\theta ,\:\alpha)=\sum_{m=0}^{\infty}B_{m N_{p}}\cos n N_{p}(\theta +\alpha)$$

식 (4), (5)의 삼각함수의 직교성을 이용하여 식 (3)이 식 (6)과 같이 된다.

(6)

\begin{align*} W(\alpha)=\dfrac{L_{s}}{4\mu_{0}}(R_{2}^{2}-R_{1}^{2})\left[\sum_{n=0}^{\infty}G_{n N_{L}}B_{n N_{L}}\int_{0}^{2\pi}\cos n N_{L}\cos n N_{L}(\theta +\alpha)d\theta\right]\\ =\dfrac{L_{S}}{4\mu_{0}}(R_{2}^{2}-R_{1}^{2})\bullet 2\pi\bullet\sum_{n=0}^{\infty}G_{n N_{L}}B_{n N_{L}}\cos n N_{L}\alpha \\ \end{align*}

여기서 $N_{L}$은 고정자 슬롯 수와 회전자 극 수의 최소공배수를 나타낸 것으로 코깅토크는 $G_{n}N_{L}$, $B_{n}N_{L}$ 및 직경에 영향을 받으며, $G_{n}N_{L}$과 $B_{n}N_{L}$은 $N_{L}$에 의해 영향을 받는다. 하지만 전동기의 공극 자속밀도 함수 $B_{n}N_{L}$값은 영이 될 수 없다. 따라서 공극 퍼미언스 함수 $G_{n}N_{L}$값을 영으로 설계하여 코깅토크를 저감할 수 있다^[10].

2.2 고정자 치조합 설계

Fig. 3. Shape of stator teeth

그림 3은 고정자가 1개인 발전기의 고정자 teeth 폭 a 값을 가지는 발전기의 고정자 teeth 형상을 나타낸다. 고정자 teeth에서 발생하는 공극 퍼미언스 함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

(7)

$$G_{a_{n}N_{L}}=\dfrac{N_{s}}{\pi}\left[\int_{-\dfrac{\pi}{N_{s}}}^{-\dfrac{a}{2}}\cos(n N_{L}\theta)d\theta +\int_{\dfrac{a}{2}}^{\dfrac{\pi}{N_{s}}}\cos(n N_{L}\theta)d\theta\right]$$

식 (7)을 간단하게 정리하면 공극 퍼미언스 함수는 식 (8)과 같이 유도된다.

(8)

$G_{a_{n}N_{L}}=\dfrac{2N_{s}}{n\pi N_{L}}\sin(n N_{L}\dfrac{a}{2})$

여기서 $a$는 고정자 teeth 폭 각도를 나타낸다. 따라서 식 (8)의 sin 함수를 고조파 상수 n에 상관없이 영으로 만드는 고정자 teeth 폭 각도 $a$값을 계산하여 $G_{a_{n}N_{L}}$의 변화량을 영으로 만들면 코깅토크를 최소화시킬 수 있다.

본 논문에서는 고정자 치조합 설계를 위해 그림 4와 같이 고정자가 2개인 이중고정자형 발전기를 사용하므로 내측 고정자 teeth 폭 $a$와 외측 고정자 teeth 폭 $b$를 한 쌍으로 하여 pairing 설계를 실시한다. 고정자 치조합 설계 역시 공극 퍼미언스 함수 $G_{a_{n}N_{L}}$의 변화량을 영으로 만들어 코깅토크를 최소화할 수 있으며, 고정자 치조합 설계에서 공극 퍼미언스 함수는 식 (9), (10)과 같다.

(9)

\begin{align*} G_{a_{n}N_{L}}=\dfrac{N_{s}}{2\pi}[\int_{0}^{a/2}\cos n N_{L}\theta d\theta +\int_{2\pi /N_{s}-a/2}^{2\pi /N_{s}+a/2}\cos n N_{L}\theta d\theta \\ +\int_{4\pi /N_{s}-a/2}^{4\pi /N_{s}}\cos n N_{L}\theta d\theta]\\ =\dfrac{1}{n\pi}\dfrac{N_{s}}{N_{L}}[\sin n N_{L}\theta]_{0}^{a/2}+[\sin n N_{L}\theta]_{2\pi /N_{s}-a/2}^{2\pi /N_{s}+a/2}\\ +[\sin n N_{L}\theta]_{4\pi /N_{s}-a/2}^{4\pi /N_{s}}\\ =\dfrac{1}{n\pi}\dfrac{N_{s}}{N_{L}}\left[\sin\left(n N_{L}a\right)\right] \end{align*}

(10)

\begin{align*} G_{b_{n}N_{L}}=\dfrac{N_{s}}{2\pi}[\int_{0}^{b/2}\cos n N_{L}\theta d\theta +\int_{2\pi /N_{s}-b/2}^{2\pi /N_{s}+b/2}\cos n N_{L}\theta d\theta \\ +\int_{4\pi /N_{s}-b/2}^{4\pi /N_{s}}\cos n N_{L}\theta d\theta]\\ =\dfrac{1}{n\pi}\dfrac{N_{s}}{N_{L}}[\sin n N_{L}\theta]_{0}^{b/2}+[\sin n N_{L}\theta]_{2\pi /N_{s}-b/2}^{2\pi /N_{s}+b/2}\\ +[\sin n N_{L}\theta]_{4\pi /N_{s}-b/2}^{4\pi /N_{s}}\\ =\dfrac{1}{n\pi}\dfrac{N_{s}}{N_{L}}\left[\sin\left(n N_{L}b\right)\right] \end{align*}

여기서 $a$는 내측 고정자의 teeth 폭 각도, $b$는 외측 고정자의 teeth 폭 각도를 나타낸다. 식 (9), (10)에서 고조파 차수 n이 1일 때, $G_{a_{n}N_{L}}$을 줄일 수 있는 고정자 teeth 폭 $a$, $b$ 값의 조합을 설계한다면 고정자 슬롯에서 발생하는 공극 퍼미언스 함수가 제거되어 코깅토크를 저감할 수 있다^[11].

Fig. 4. Design of stator teeth pairing

그림 5는 고정자 치조합 설계를 개념도를 나타낸 것으로 그림 5 (a)는 고정자 치조합 설계를 적용하지 않은 기존의 이중고정자 발전기를 나타낸 형상이며, 그림 5 (b)는 고정자 치조합 설계를 적용한 이중고정자 발전기의 형상을 나타낸다. 식 (9), (10)을 이용하여 그림 5 (b)와 같이 치조합 설계를 적용하여 코깅토크를 최소화시킬 수 있다.

Fig. 5. Concept of stator teeth pairing (a) Shape of initial Model (b) Shape of apply stator teeth pairing

(a)

(b)

3. 유한요소해석

고정자 치조합 설계를 적용하여 유한요소 해석을하기 전에 비교를 위하여 기존 이중고정자형 발전기를 유한요소 해석을 통해 분석하였으며, 해석은 상용프로그램인 Maxwell 2D를 이용하였다. 그림 6은 기존 이중고정자 발전기 모델을 나타내었고, 표 1은 기존 모델의 사양을 나타내었다.

기존 모델의 해석 결과는 표 2에 나타내었다. 유한요소 해석 결과에 따르면, 기존 모델에서 코깅토크는 정격 토크의 1.67%인 1.8$Nm$로 확인할 수 있다. 기존 모델에서는 고정자 상호 위치 전이를 통한 코깅토크 저감 기법을 이용하여 상호 코깅토크를 상쇄시킬 수 있지만, 고정자 위치 전이를 적용하더라도 내측과 외측의 코깅토크 차이만큼 코깅토크가 발생되어 코깅토크 최소화가 어려우며, 발전기의 출력 저하를 일으킨다.

따라서 이러한 문제를 해결하기 위해 고정자 치조합 설계를 적용하여 이중고정자 발전기의 코깅토크를 저감한다.

Fig. 6. Initial FEM model of dual stator type generator

본 논문에서 제안된 고정자 치조합 설계를 적용한 FEM 모델을 그림 7에 나타내었다. 최저 코깅토크 값을 찾기 위한 고정자 치조합 설계를 위해 내측 고정자 teeth 폭 $a$와 외측 고정자의 teeth 폭 $b$의 설계 변수 구간을 표 3에 나타내었다. 여기서 나타내는 각은 전기각으로 이후 모든 각은 전기각으로 표현한다. 설계 변수 매트릭스 적용하여 고정자 치조합 설계에 따른 2차원 유한요소 해석을 실시하였다.

표 3에서 나타낸 내․외측 teeth 폭 $a$, $b$의 설계 변수 구간의 값에 따라 최적화 설계 해석결과를 그림 8에 나타내었다. 내측 teeth 폭 128°와 외측 teeth 폭 96°에서 0.59$Nm$로 코깅토크가 최소로 발생하였으며, 기존 모델 대비 67% 저감되었다.

표 4는 내측 고정자 teeth 폭 128°와 외측 고정자 teeth 폭 96°의 최종 모델에 대한 FEM 해석 결과를 나타낸 것으로 3kW의 출력을 확인할 수 있으며, 코깅토크는 정격토크의 0.53%인 0.59$Nm$로 코깅토크가 최소화가 되었다. 효율도 기존 모델 대비 0.1% 상승함을 알 수 있다. 발전기의 출력 및 효율을 분석하여 그림 9에 나타내었다. 최종 모델의 정격효율은 88.9%이며, 회전속도가 떨어짐에 따라 출력 및 효율의 감소가 확인되었으나 전체구간에서 발전기 효율이 85% 이상인 것으로 확인되었다.

Fig. 7. FEM model apply of stator teeth pairing

Fig. 8. Cogging torque according to stator teeth pairing

Fig. 9. Output and efficiency characteristics of final model by rotational speed

4. 결 론

본 논문에서는 3kW급 이중고정자형 발전기의 코깅토크를 저감을 위해 고정자 치조합 설계에 대해 연구하였다. 제안하는 치조합 설계는 내측 고정자 teeth 폭 $a$와 외측 고정자 teeth 폭 $b$를 pairing하여 공극 퍼미언스 함수 $G_{a_{n}N_{L}}$의 변화량을 0으로 만들어 코깅토크를 최소화시킬 수 있다. 시뮬레이션 결과 내측 고정자 teeth 폭 128°. 외측 고정자 teeth 폭 96°에서 정격토크 대비 약 0.53%인 0.59$Nm$로 최저 코깅토크가 발생하였으며, 기존 대비 67% 저감됨을 확인하였다. 향후 고정자 치조합 설계를 적용한 시작기 제작을 통해 유한요소 해석 시뮬레이션 결과에 대해 타탕성과 효용성을 검증할 것이다.