1. 서 론

위치 제어는 자동차, 중공업과 같은 여러 산업에서 전동기를 사용하는 밸브, 공작 기계, 엘리베이터 등의 위치를 제어하기 위해 주로 사용된다. 일반적으로 전동기 위치 제어 시스템은 빠르고 정확한 위치 응답이 요구된다. 전동기의 위치 제어 시스템은 주로 P-PI 직렬 제어기를 사용하는데, 디지털 제어를 위한 DSP(Digital Signal Processor)를 통해 제어기를 구성 하여 시스템에 적용한다⁽¹⁾. 최근에 개발되고 있는 고성능 DSP는 높은 제어 주파수를 통해 빠르고 정확하게 위치를 제어할 수 있다. 하지만, 일반적인 산업에서는 가격이 비싼 고성능 DSP를 사용하지 못하고 원가 절감을 위해 성능이 낮은 DSP를 사용하기 때문에 높은 제어 주파수로 시스템을 제어할 수 없다. 낮은 제어 주파수는 시스템의 제어 대역폭을 제한하고, 위치 응답이 느려진다. 또한 낮은 제어 주파수에서 위치 제어 대역폭을 올리면 응답이 빠르지만 오버슈트가 발생하는 문제를 가진다. 따라서 낮은 제어 주파수에서도 위치 응답을 개선할 필요가 있다.

위치 제어의 성능을 개선하기 위한 기존의 방법에는 시간 기반의 위치 패턴 생성기를 통해 만들어진 속도, 가속도 패턴을 각각 속도 제어기, 전류 제어기에 전향 보상하는 방법, 속도 제어기 없이 위치 제어기와 전류 제어기를 직렬로 연결하여 위치 제어 대역폭을 개선하는 방법, 그리고 비선형 제어기를 위치 제어기 또는 속도 제어기로 사용하는 방법 등이 있다^(2-6). 그러나 이러한 방법들은 위치 패턴이 가지는 오차를 보상할 수 없거나 많은 계산량, 복잡한 알고리즘 및 제어 이득 선정, 시스템 안정성 저하 등의 문제점이 있기 때문에 낮은 제어 주파수를 가지는 전동기 위치 제어 시스템에서는 적용이 어렵다. 본 논문에서는 위치 제어기와 속도 제어기의 관계를 통해 지령 가속도를 추정하여 보상하는 새로운 위치 제어 알고리즘을 제안하였다. 제안하는 알고리즘은 MATLAB Simulink 시뮬레이션을 통해 검증한다.

2. 전동기 위치 제어 시스템

2.1 P-PI 직렬 제어기⁽⁷⁾

전동기의 위치 제어에는 그림 1과 같이 P 위치 제어기와 PI 속도 제어기가 직렬로 연결되는 P-PI 직렬 제어기를 사용하고, 또한 하위 제어기인 PI 전류 제어기를 통해 전동기의 토크를 제어한다. 전동기의 전류와 토크 상수 Kt에 의한 전동기의 토크 Te에 대한 방정식은 관성 모멘트 Jm을 포함하는 (1)과 같지만, 전동기의 마찰 계수 Bm는 부하 토크 TL에 포함된 것으로 가정하였다⁽⁷⁾.

(1)

$T_{e}=J_{m}\dfrac{d\omega_{m}}{dt}+B_{m}\omega_{m}+T_{L}$

Fig. 1. P-PI cascade controller of motor position control system

2.1.1 속도 제어기 설계

전류 제어기의 제어 대역폭은 속도 제어기보다 매우 크기 때문에 속도 제어기의 제어 대역에서는 전류 제어기가 1차 저역 통과 필터와 같고, 속도 제어에 대한 영향이 없다. 따라서 속도 제어기 출력인 지령 전류 Ia*가 전동기 전류 Ia와 같다고 가정할 수 있다. PI 속도 제어기는 지령 속도 ωm*와 전동기 속도 ωm의 오차를 0으로 만들기 위해 비례 이득 Kps과 적분 이득 Kis을 이용한 제어기이다. 그림 1을 통한 지령 속도에 대한 전동기 속도의 전달 함수는 식(2)과 같이 2차 저역 통과 필터로 나타낼 수 있다.

(2)

$\dfrac{\omega_{m}(s)}{\omega_{m}^{*}(s)}=\dfrac{\dfrac{K_{t}K_{ps}}{J_{m}}+\dfrac{K_{t}K_{is}}{J_{m}}}{s^{2}+\dfrac{K_{t}K_{ps}}{J_{m}}+\dfrac{K_{t}K_{is}}{J_{m}}}=\dfrac{2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}}$

여기서 ζ는 속도 제어기의 감쇠비, ωn은 비감쇠 고유 진동수이다. 속도 제어는 오버슈트가 없는 과감쇠(Over Damping) 응답을 가져야하기 때문에 ζ는 $\sqrt{5}/2$로 설계하고, 이에 따라 속도 제어기의 비례 및 적분 이득은 식(3)과 같이 설계한다. 속도 제어 대역폭 ωsc는 전류 제어 대역폭의 1/5 이하로 제한되고 또한 속도 제어 주파수의 1/20 ∼ 1/10로 제한된다.

(3)

$K_{ps}=\dfrac{J_{m}}{K_{t}}\omega_{sc},\: K_{is}=\dfrac{J_{m}}{5K_{t}}\omega_{sc}^{2}$

2.1.2 위치 제어기 설계

P 위치 제어기는 지령 위치 θm*와 전동기 위치 θm의 오차를 0으로 오차를 0으로 만들기 위해 비례 이득 Kpp을 이용한 제어기이다. P 위치 제어기뿐만 아니라 PI 속도 제어기를 포함하는 전동기 위치 제어 시스템에서 지령 위치에 대한 전동기 위치의 전달함수는 식(4)과 같고, 1차 저역 통과 필터와 2차 시스템으로 구성된다.

식(4)의 해석이 어렵기 때문에 시스템의 간략화가 필요하다. 위치 제어기의 제어 주파수 대역폭이 속도 제어 대역폭보다 매우 클 때 속도 제어기는 위치 제어 대역에서 1차 저역 통과 필터로 간략화 할 수 있다. 간략화한 위치 제어 시스템의 블록 다이어그램은 그림 2와 같고 전달 함수는 식(5)과 같이 2차 저역 통과 필터로 나타낼 수 있다. 위치 제어 시스템 또한 일반적으로 위치 응답에 오버슈트가 허용되지 않기 때문에 ζ가 1 이상으로 설계되고 위치 제어기의 비례 이득은 ωsc/4 이하로 제한된다.

(4)

$\dfrac{\theta_{m}(s)}{\theta_{m}^{*}(s)}=\dfrac{K_{pp}K_{ps}\dfrac{K_{t}}{J_{m}}s+K_{pp}K_{is}\dfrac{K_{t}}{J_{m}}}{s^{3}+K_{ps}\dfrac{K_{t}}{J_{m}}s^{2}+\dfrac{K_{t}}{J_{m}}(K_{pp}K_{ps}+K_{is})s+K_{pp}K_{is}\dfrac{K_{t}}{J_{m}}}$ $=\dfrac{\omega_{0}}{s+\omega_{0}}+\dfrac{2\zeta\omega_{1}s+\omega_{1}^{2}}{s^{2}+2\zeta\omega_{1}s+\omega_{1}^{2}}$

(5)

$\dfrac{\theta_{m}(s)}{\theta_{m}^{*}(s)}=\dfrac{K_{pp}\omega_{sc}}{s^{2}+\omega_{sc}s+K_{pp}\omega_{sc}}=\dfrac{\omega_{0}^{2}}{s^{2}+2\zeta\omega_{0}s+\omega_{0}^{2}}$

Fig. 2. Block diagram of the simplified P-PI cascade controller

위치 제어 주파수가 속도 제어 주파수와 같기 때문에 위치 제어기의 비례 이득은 속도 제어 대역폭에 의한 영향이 크다. 따라서 낮은 주파수로 시스템을 제어할 때 속도 제어 대역폭뿐만 아니라 비례 이득 또한 제한되므로 위치 응답이 느려진다.

2.2 속도 제어기가 없는 위치 제어 시스템⁽³⁾

P-PI 직렬 제어기를 포함하는 위치 제어 시스템에서는 전류, 위치 제어기가 각각 내부, 외부 루프에 위치하고 속도 제어기는 두 제어기의 사이에 위치하는 구조이다. 내부 루프의 전류 제어기가 응답성이 제일 빠르고 가장 외부에 있는 위치 제어기가 응답성이 제일 느리다. 위치 제어의 응답 속도를 개선하기 위해 위치 제어 대역폭을 제한하는 속도 제어기를 생략하고, 위치 제어기와 전류 제어기를 직렬로 연결하는 구조를 가진다. 위치 제어기는 그림 3과 같이 비례 이득 Kp, 적분 이득 Ki, 미분 이득 Kd을 포함하는 PID 제어기로 구성하고 속도 제어기의 부재에 따른 시스템의 안정성 저하를 보완하기 위해 전동기 위치, 속도에 대한 이득 Kx, Kv을 통해 보상한다.

속도 제어기가 생략된 위치 제어 시스템에서 위치 응답의 전달 함수는 식(6)으로 나타낼 수 있다. 위치 제어기의 이득을 식(7)과 같은 관계로 선정할 때, 전달 함수는 식(8)으로 나타낼 수 있다. 위치 응답이 차단 주파수 ωc에 대한 1차 저역 통과 필터와 같기 때문에 위치 응답은 오버슈트 없이 빠른 응답을 가질 수 있다. 그러나 속도 제한기를 사용하지 않기 때문에 시스템의 안전성이 저하된다. 또한, 5개의 이득이 독립적이지 않고 서로 종속적이기 때문에 시스템의 파라미터에 대한 오차와 이득의 변화에 의해 위치 응답이 영향을 많이 받는 문제가 있다.

(6)

$\dfrac{\theta_{m}(s)}{\theta_{m}^{*}(s)}=\dfrac{K_{d}s^{2}+K_{p}s+K_{i}}{s^{3}+(K_{d}+K_{v})s^{2}+(K_{p}+K_{x})s+K_{i}}$

(7)

$K_{d}=\omega_{c},\: K_{v}=\dfrac{K_{p}}{K_{d}},\: K_{x}=\dfrac{K_{i}}{K_{d}}$

(8)

$\dfrac{\theta_{m}(s)}{\theta_{m}^{*}(s)}=\dfrac{\omega_{c}}{s+\omega_{c}}$

Fig. 3. Block diagram of the position control system without the speed controller

3. 제안하는 위치 제어 시스템

전동기 가속도를 이용한 보상기를 포함하는 위치 제어 시스템의 블록 다이어그램은 그림 4와 같다. 지령 속도의 미분을 통한 지령 가속도와 전동기 가속도를 지령 전류에 보상한다. 이러한 위치 제어 시스템에서 지령 위치에 대한 전동기 위치의 전달 함수는 1이 되고, 전동기 위치가 항상 지령 위치를 추종하기 때문에 위치 응답을 개선할 수 있다. 하지만, 관측기와 같은 방식으로 추정할 수 있는 전동기 가속도와 달리 지령 가속도는 지령 속도의 미분을 통해 추정해야하고, 이러한 미분에 의한 잡음은 지령 전류에 포함되기 때문에 전동기 전류와 토크에 맥동을 발생시킨다.

Fig. 4. Block diagram of the position control system with the compensator using the motor acceleration

미분 없이 지령 가속도를 추정하기 위해 지령 속도와 위치 제어기의 관계를 해석할 필요가 있다. 지령 속도는 위치 제어기의 출력이므로 식(9)과 같이 나타낼 수 있고, 지령 가속도는 지령 속도의 미분과 같기 때문에 식(10)과 같이 표현할 수 있다. 상위 제어기에서 지령 위치가 스텝으로 입력되는 시스템에서 지령 위치는 일정하기 때문에 식(11)과 같이 지령 가속도를 추정할 수 있다.

일반적인 전동기 위치 제어 시스템은 전동기 속도를 정격 속도 등으로 제한할 필요가 있다. 속도 제한기는 위치 제어기와 속도 제어기 사이에 위치하기 때문에 위치 제어기의 출력과 지령 속도가 달라지는 경우가 발생한다. 위치 제어기의 출력이 제한 속도보다 클 때는 지령 속도가 제한 속도로 유지되므로 지령 가속도는 0이 된다. 따라서 전류 제어기에 보상되는 지령 전류는 위치 제어기의 출력 ωm.out*과 제한 속도 ωm.lim에 따라 식(12)과 같이 나타낼 수 있고, 제안하는 보상 알고리즘을 포함하는 위치 제어 시스템은 그림 5와 같다.

Fig. 5. Block diagram of the position control system with the proposed compensation algorithm

4. 시뮬레이션 및 결과 검토

MATLAB/Simulink를 통해 직류 전동기를 사용하는 밸브에 대한 위치 제어를 시뮬레이션 하였다. 직류 링크 전압은 12V를 사용하였다. 위치 제어 시스템에서 PI 전류 제어기는 2kHz, PI 속도 제어기와 P 위치 제어기는 200Hz로 제어하였다. 또한 유니폴라 스위칭 방식을 사용하였고, Ra는 3Ω, La는 6mH이다. 밸브의 위치는 밸브가 완전 닫힌 상태인 0%에서 밸브가 완전 열린 상태인 100%까지 제어할 수 있고, 범위를 벗어나면 구조적으로 밸브의 위치가 제한된다.

그림 6∼8은 기존의 P-PI 직렬 제어기와 제안하는 보상 알고리즘을 적용했을 때의 위치 응답을 비교하였다. 그리고 위치 제어기의 비례 이득은 기존 시스템과 제안하는 시스템 모두 ωsc/2로 선정하였다. 그림 6과 7은 각각 지령 위치가 0%에서 95%와 15%일 때의 위치 제어에 대한 시뮬레이션 결과이다. (a)는 기존의 P-PI 직렬 제어기를 사용하는 시스템이고, (b)는 제안하는 보상 알고리즘을 사용하는 시스템이다. 기존의 P-PI 직렬 제어기에서는 위치 제어기의 비례 이득이 과감쇠 특성을 가지는 ωsc/4보다 크기 때문에 지령 위치의 크기와 관계없이 위치 응답에 오버슈트가 발생한다. 하지만 제안하는 보상 알고리즘을 적용했을 때는 오버슈트 없이 빠른 위치 응답을 가진다.

Fig. 6. Position, speed and current response when the reference position is 95% : (a) Conventional method (b) Proposed method

Fig. 7. Position, speed and current response when the reference position is 15% : (a) Conventional method (b) Proposed method

5. 결 론

본 논문에서는 낮은 제어 주파수 때문에 제한되는 위치 제어 대역에서 전동기의 위치 응답을 개선하기 위한 보상 알고리즘을 제안하였다. 제안하는 방법은 위치 제어기의 출력과 지령 속도 사이의 관계식을 통해 미분 없이 지령 가속도를 추정하였다. 기존의 P-PI 직렬 제어기를 사용하기 때문에 이득 선정이 복잡하지 않고, 미분을 통해 지령 가속도를 추정하지 않기 때문에 위치 응답의 정상 상태에서 토크 맥동이 작다는 장점이 있다. 제안하는 알고리즘의 효과는 시뮬레이션을 통해 증명하였다.