2.1 전압원 인버터의 모델예측제어

SPMSM 구동을 위한 MPC의 제어 블록도는 그림 1과 같다. MPC는 SPMSM의 고정자 전압방정식인 식(1)로 계산된 예측 전류인 식(2)를 이용하여, 표 1과 같이 2개의 영 전압벡터와 6개의 유효 전압벡터를 각각 샘플링 시간 (Ts)동안 적용하였을 때 예측 전류를 계산한다.

여기서 R, L은 부하 저항과 인덕턴스, Vdq(n)은 d와 q축 전압벡터의 크기, Edq(k)은 유도 기전력, idq(k)는 현재 전류, idq(k+1)는 예측 전류이다. 계산된 예측 전류를 이용하여 각 축의 지령 전류(Iref-d, Iref-q) 간의 오차를 구할 수 있고, 각 축의 전류 오차의 합인 비용함수 (g)를 식(3)과 같이 계산할 수 있다.

계산된 비용함수 중 가장 작은 비용함수 값을 갖는 전압벡터가 최적 전압벡터로 선택되고 최적 전압벡터의 스위칭 상태를 VSI에 적용하게 된다.

SPMSM 구동 시스템에서 MPC는 토크와 쇄교 자속으로 주어지는 지령을 기반으로 제어된다. SPMSM의 토크 방정식과 쇄교 자속식은 식(4), (5)와 같다.

여기서 T는 SPMSM의 토크, P는 회전자 극수, λm은 영구자석 자속, λd는 쇄교 자속이다. 식(4)를 통해 토크는 q축 전류에만 영향을 받고, 토크에 영향을 주지 않는 d축 전류는 SPMSM 구동 시스템에서 손실로 발생하기 때문에 제어 지령 값이 0이 되어 지령 자속이 영구자석의 자속으로 되도록 제어해야 한다는 것을 알 수 있다. MPC를 통해 SPMSM을 구동하기 위해 식(2)를 통해 계산된 예측 전류를 식(4)와 (5)에 대입하면, 예측 토크와 예측 쇄교 자속을 식(6), (7)과 같이 계산할 수 있다.

비용함수는 예측 토크와 지령 토크(Tref) 간의 오차와 예측 쇄교 자속과 지령 쇄교 자속인 영구자석의 자속 간의 오차의 합으로 식(8)을 통해 최적 전압벡터를 선택하여 스위칭 상태를 적용하게 된다.

2.2 샘플링 설정에 대한 비용함수의 변화

MPC가 적용된 SPMSM 구동 시스템의 제어 성능은 비용함수 크기에 따라 결정되는데, 더 작은 비용함수 값을 가질수록 제어 지령과 오차가 크기가 작게 발생하므로 더 좋은 제어 성능을 나타낸다. 이때 이 비용함수 값은 고정 샘플링 시간 설정에 따라 바뀌게 된다.

그림 2는 고정 샘플링 시간을 Ts로 설정한 경우 예측 전류 파형을 나타낸다. 각 전압벡터(Va. Vb. Vc)를 Ts동안 적용했을 한 경우 Tk+Ts 시점에서 비용함수 값을 비교하면(Errb-d+Errb-q < Erra-d+Erra-q, Errc-d+Errc-q), 전압벡터 Vb가 적용된 경우 가장 작은 비용함수 값을 갖기 때문에 최적 전압벡터가 된다. 하지만 토크 리플에 영향을 주는 q축 전류의 오차는 최솟값이 아니므로 토크 리플 저감을 위한 최적 전압벡터는 아니다. 그림 3은 고정 샘플링 시간을 0.5Ts로 설정한 경우 예측 전류 파형을 나타낸다.

그림 3을 통해 샘플링 시간을 더 짧게 설정한 경우 길게 설정한 경우보다 일반적으로 더 작은 최소 비용함수 값(Erra-d`+Erra-q` < Errb-d+Errb-q)을 가지며, 최적 전압벡터도 Va로 샘플링 시간 설정에 따라 선택되는 전압벡터도 달라지는 것을 확인할 수 있다. 결과적으로 샘플링 시간을 짧게 설정할 경우 더 작은 비용함수 값을 갖지만, 토크 리플을 저감하기 위한 방법이 아님을 알 수 있으며, 동일한 시간(Tk~Tk+Ts)내에 최적 전압벡터가 바뀌는 경우 전압벡터 변경 횟수가 증가하여 스위칭 손실이 크게 증가한다는 것을 알 수 있다.

기존 기법은 샘플링 주기를 짧게 설정하여 더 작은 비용함수 값을 가져 토크 리플이 저감될 수 있지만, 선택할 수 있는 전압벡터중 가장 작은 토크 리플을 갖는 전압벡터는 아님을 알 수 있다. 이러한 이유로 SPMSM에서 더 작은 토크 리플을 출력하기 위해 단일 축만을 고려한 모델예측제어 기법들이 연구되었다.

2.3 합성전압벡터를 이용한 모델예측제어

기존 MPC의 샘플링 시간을 짧게 설정한 경우와 달리, SPMSM의 토크 리플을 저감하기 위해 q축 전류 오차를 저감하는 연구들이 진행되었다⁽⁵⁾. 기존 연구는 한 샘플링 구간 내에 두 개의 전압벡터를 합성하여 더 작은 q축 전류 오차를 갖는 새로운 전압벡터를 적용하였다⁽⁴⁾⁽⁵⁾.

이 기법은 그림 4와 같이 샘플링 구간에 유효 전압벡터와 영 전압벡터를 합성하여 생성된 전압벡터를 이용한다. 먼저 전압벡터를 합성하기 위해서 최적 유효 전압벡터와 최적 적용시간 (Topt)을 계산한다. 연산을 통해 구해진 최적 유효 전압벡터를 최적 적용시간동안 인가하고, 남은 시간(Ts-Topt)동안 영 전압벡터를 인가하여 전압벡터를 합성한다. 이때, 유효 전압벡터에서 영 전압벡터로 변경되는 시점에 따라 무한개의 전압벡터를 생성할 수 있으며, 하나의 최적 전압벡터만을 적용한 경우보다 토크 리플에 영향을 주는 q축 전류 오차를 줄일 수 있다.(Err(a+b)-q < Erra-q, Errb-q, Errc-q)

하지만 이 기법에서는 d축 전류가 고려되어 있지 않기 때문에 큰 손실 전류가 발생하게 된다. 또한, 전압벡터의 합성을 위해 모듈레이터와 같은 추가적인 장치가 요구되고, 한 샘플링 구간에서 필연적으로 전압벡터의 변경이 발생하여 스위칭 상태 변경 횟수가 증가한다. 이를 통해 동일한 샘플링 구간에서 기존 기법에 비해 스위칭 손실이 증가함을 알 수 있다.

3.1 토크 리플 저감을 위한 전압벡터

본 논문은 크게 증가하는 스위칭 손실을 저감하며, 토크 리플을 저감할 수 있는 가변 샘플링 시간이 적용된 MPC를 제안한다.

그림 5.(a)는 각 전압벡터를 샘플링 시간 동안 적용했을 경우 발생하는 q축 예측 전류 파형을 나타낸다. 샘플링 시간이 적용된 시점 Tk+Ts에서 q축 전류 오차의 절댓값을 그림 5.(b)와 같이 비교하였을 때, 전압벡터 Va가 적용된 경우 가장 작은 오차를 갖기 때문에 토크 리플을 저감하기 위한 최적 전압벡터로 선택된다. 또한 이 그림에서 동일한 전압벡터를 지령 전류와 예측 전류 간의 교차점이 발생하는 시점(Tk+Tv)까지 적용한다면 샘플링 구간 내에서(Tk~Tk+Ts) 가장 작은 q축 전류 오차(Erra = 0)를 갖는다것을 알 수 있다. 즉, 동일한 전압벡터의 적용시간을 가변할 경우 모듈레이터와 같은 추가적인 장치없이 새로운 전압벡터를 생성할 수 있으며 이를 통해 토크 리플 저감 성능을 개선할 수 있다.

샘플링 시간을 가변하여 생성할 수 있는 전압벡터는 무한개이며, 이 중 토크 리플을 저감할 수 있는 전압벡터는 지령 전류와 교차점이 발생하는 경우 즉, 현재 오차(Errk)와 다음 샘플링 시점에서의 오차(Erra-q, Errb-q, Errc-q)의 극성이 다른 전압벡터임을 그림 5.(a)를 통해 알 수 있다. 전류 오차의 극성은 다음 식(9)을 기준으로 판단할 수 있다.

여기서 Iref-q는 q축 지령 전류, iq(t)는 시간에 따른 q축 전류, Errq(t)는 시간에 따른 q축 전류 오차이다. 식(9)를 통해 오차의 극성을 판단하여 최적 전압벡터로 사용가능여부는 표 2의 진리표를 통해 판단한다. 진리표를 통해 교차점이 발생하는 전압벡터를 최적 전압벡터로 선택하고, 교차점이 발생하는 시간(Tv)를 계산하여 다음 샘플링 시간으로 설정하면 토크 리플을 저감할 수 있다.

설정된 전압벡터에 따라 교차점이 발생하는 전압 인가시간은 지령 전류와 예측 전류 사이 간의 오차가 0이 되는 시점으로, 식(9)를 이용하여 식(10)과 같이 나타난다.

Tv를 구하기 위해서 식(1)을 라플라스 변환과 역라플라스 변환을 통해 시간에 대한 전류방정식을 식(11)과 같이 구할 수 있다.

여기서 iq(Tk)는 q축 현재 전류, Eq(Tk)는 q축 유도 기전력, Vn은 표 1의 n번 전압벡터이다. 식(11)를 식(9)에 대입하여 시간에 대한 오차방정식인 식(12)을 구하면 오차가 0이 되는 시간 Tv를 식(13)과 같이 구할 수 있다.

식(13)을 통해 계산된 시간을 샘플링 시간으로 설정하면, 추가적인 장치없이 적용시간을 전압벡터의 인가시간만을 가변한 새로운 전압벡터를 이용하여 토크 리플을 저감할 수 있다.

3.2 d축 전류를 고려한 비용함수 정의

교차점이 발생하는 전압벡터가 존재하여 샘플링 시간을 가변한 경우, 지령 q축 전류와 예측 q축 전류 간의 오차는 발생하지 않아 토크 오차는 0이 된다. 그러므로 SPMSM의 토크와 쇄교자속에 대한 비용함수인 식(8)은 d축 전류만 고려하여 쇄교자속만 고려된 식(14)와 같이 나타난다.

그림 6은 가변 샘플링 시간에 따른 예측 전류 파형을 나타낸다. 그림 6.(a)을 통해 3개의 전압벡터(V1, V3, V5)를 적용했을 때 각각 다른 시점(Tk+Tv1, Tk+Tv3, Tk+Tv5)에서 q축 예측 전류가 지령 전류와 교차점이 발생하여 결과적으로 동일한 토크 리플 저감 성능을 나타내는 것(Err1-q=Err3-q=Err5-q=0)을 확인할 수 있다. 이때 식(14)를 이용하여 각각 교차점이 발생하는 시점에서 d축 전류 오차를 비교하였을 경우, 전압벡터 V5를 적용했을 경우 가장 작은 오차가 발생하여 가장 작은 비용함수 값(Err5-d < Err1-d, Err3-d)을 갖는다. 그러므로 가장 좋은 토크 리플 저감 성능을 가지며 SPMSM 구동 시스템에서 가장 작은 손실이 발생하기 위한 최적 전압벡터는 V5가 된다.

하지만 MPC는 8개의 전압벡터에 대한 연산을 수행하기 때문에, 연산시간(Tmin)을 고려하게 되면 가변 샘플링 시간이 적용 불가능한 구간이 발생한다. 그림 6에서 q축 전류 오차 즉, 토크 오차가 발생하지 않으며 식(14)를 통해 가장 작은 비용함수 값을 갖는 전압벡터는 V5이지만, 교차점이 최소 연산량을 고려한 적용 불가능 구간(Tk~Tk+Tmin)내에 존재하기 때문에 적용할 수 없다.

따라서 적용 가능 구간(Tk+Tmin~Tk+Ts)내에 토크 오차가 발생하지 않으면서 가장 작은 d축 전류 오차가 발생하는 전압벡터 V1이 최적 전압벡터로 선택된다.

3.3 가변 샘플링 시간 범위 설정

그림 6.(a)를 통해 전압벡터 V5를 Tv5동안 적용했을 때, 가장 작은 비용함수를 갖지만 적용할 수 없다는 것을 확인하였다. 이러한 문제를 해결하기 위해서 가변 샘플링 시간 범위를 재설정해야 한다.

그림 7.(a)는 Tk~Tk+Ts내에 지령 전류와 예측 전류 사이 교차점이 존재할 때, 전압벡터를 교차 시점까지 적용하는 경우다. k번째 샘플링 구간에서는 각 예측 전류와 지령 전류 사이 교차점이 발생하지 않기 때문에 식(8)을 이용하여 가장 작은 비용함수 값을 갖는 전압벡터 Vc가 최적 전압벡터로 선택되었다. 반면에 (k+1)샘플링 구간에서 전압벡터 Vc를 적용했을 때 예측 전류가 지령 전류와 교차점이 발생하지만, 모델예측제어의 연산시간을 고려하여 교차점이 적용 불가능 구간에 존재하기 때문에 (k+1)샘플링 구간에서는 가장 작은 비용함수 값을 갖는 전압벡터 Vb가 최적 전압벡터로 선택되며 토크 오차가 발생한다.

그림 7.(b)는 적용가능한 가변 샘플링 시간 범위를 Tk+Ts~Tk+2Ts내에 존재할 때, 적용이 가능한 경우다. 이때, k+1번째 샘플링 구간에서는 전압벡터 Vc가 Tk+Ts+Topt시점에서 교차점이 발생하므로 현재 시점 Tk에서 샘플링 시간을 Tk+Ts+Topt로 설정할 경우 적용 불가능 구간에 의한 영향이 발생하지 않으며, q축 전류 오차가 발생하지 않는 것을 확인할 수 있다. 결과적으로 샘플링 시간보다 더 긴 시간 범위에서 교차점이 발생하는 전압벡터를 최적 전압벡터로 선택하여 교차 시점까지 적용할 경우 q축 전류 오차가 발생하지 않아 토크 오차를 저감할 수 있고, 기존 MPC와 동일한 전압벡터의 적용시간을 가변하여 토크 오차를 저감하기 때문에 전압벡터를 변경하지 않아 스위칭 손실이 발생하지 않음을 알 수 있다. 이때 새롭게 범위 내의 최적 전압벡터 선정을 위한 진리표는 표 3을 통해 결정된다.

제안하는 가변 샘플링 시간이 적용된 모델예측제어 알고리즘은 그림 8과 같다. 제안된 알고리즘은 기존의 일반적인 모델예측제어 알고리즘에서 최적 전압벡터 및 가변 샘플링 시간의 연산과정이 추가된 형태로 나타난다. 이는 토크 오차가 0인 시점에서 d축 전류 즉, 쇄교자속 오차가 크게 발생하여 기존 알고리즘에서 토크 오차와 쇄교자속 오차의 합보다 큰 경우 SPMSM 구동 시스템에 손실이 크게 발생하기 때문에 해당 전압벡터를 최적 전압벡터로 선택하지 않기 위해서이다.

추가적인 연산과정은 먼저 고정 샘플링 시간이 Ts일 때, 이 후 시간 영역에서 교차점이 발생하는 전압벡터의 개수 P를 계산한다. 만약 2Ts내에 q축 지령 전류와 예측 전류 사이 교차점이 발생하는 전압벡터가 존재하지 않는다면(P=0), 기존 연산과정에서 식(8)에 의해 가장 작은 비용함수 값을 갖는 전압벡터가 Ts동안 적용된다. 하지만 교차점이 발생하는 전압벡터가 존재한다면(P≠0) 교차점이 발생하는 시간 Tv를 계산하고, 그 시점에서 식(14)에 의해 비용함수 j를 계산하고 기존 알고리즘에 의해 계산된 비용함수 g와 비교하게 된다. j가 g보다 작다면 토크 오차가 0인 시점에서 발생하는 d축 전류 오차가 크지 않다는 의미이며 이 경우 가장 작은 j를 갖는 최적 전압벡터를 Tv동안 적용한다. 하지만 j가 g보다 큰 경우, d축 전류에 의한 손실이 크게 발생하기 때문에, 기존 알고리즘에 의해 가장 작은 g값을 갖는 최적 전압벡터를 Ts동안 적용한다.

4.1 시뮬레이션

제안하는 기법은 PSIM Software를 통해 증명하였다. 시뮬레이션의 설정값은 실제 파라미터를 기준으로 표 4와 같이 설정하였고, 300[RPM]의 일정 속도에서 그 성능을 증명하였다.

그림 9.(a)는 고정 샘플링 주파수를 10[kHz]로 설정한 모델예측제어를 통해 SPMSM을 운영했을 경우 발생하는 출력 토크 결과이다. 시뮬레이션 결과를 통해 출력 토크는 지령 토크인 1[N·m]를 기준으로 큰 리플이 발생하는 것을 알 수 있다. 수치적으로 발생하는 토크 리플을 확인하기 위해 직류 값을 제거하여 출력 토크의 고조파 성분을 비교하였을 때, 0.166의 실효값을 갖는 것을 확인하였다. 이는 지령 토크를 기준으로 큰 리플이 발생한다는 것을 알 수 있다.

큰 토크 리플을 저감하기 위해, 고정 샘플링 주파수를 20[kHz]로 짧게 설정한 경우 시뮬레이션 결과는 그림 9.(b)와 같다. 기존 10[kHz]로 긴 고정 샘플링 주파수로 설정한 결과와 달리, 기준 토크를 기준으로 토크 리플이 저감된 것을 알 수 있다. 기존과 동일하게 수치적으로 고조파 성분을 비교하였을 때, 0.09의 실효값을 가져 기존에 비해 토크 리플 성분이 저감된 것을 알 수 있다.

토크 리플을 저감하기 위해 고정 샘플링 주파수를 짧게 설정했을 경우 증가하는 스위칭 변경 횟수는 정현파 한 주기를 기준으로 비교하였다. 고정 샘플링 주파수가 10[kHz]로 설정된 경우 전압벡터 변경에 따라 한 주기에 391회의 스위칭 상태를 변경하였다. 토크 리플을 저감하기 위해 고정 샘플링 시간을 20[kHz]로 설정한 경우에는 한 주기에서 695회의 스위칭 상태를 변경하였다. 결과적으로 토크 리플을 저감하기 위해 304회의 스위칭 상태 변경 횟수가 증가하여 스위칭 손실이 증가함을 알 수 있다.

가변 샘플링 주파수를 10~20[kHz]로 설정한 제안하는 기법을 적용했을 때 결과는 그림 9.(c)와 같다. 발생하는 토크 리플은 0.098의 실효값을 가져 고정 샘플링 주파수를 20[kHz]로 설정했을 경우와 동일한 토크 리플 저감 성능을 나타낸다. 이때 정현파 한 주기에서 발생하는 스위칭 변경 횟수는 618회로 총 77회를 저감하였다. 이를 통해 제안하는 기법은 기존과 동일한 토크 리플 저감 성능을 가지며 증가하는 스위칭 상태 변경 횟수를 저감한다는 것을 알 수 있다.

4.2 실험

실험을 통해 제안하는 기법을 증명하기 위해 그림 10과 같이 실험 장비를 이용하였고, SPMSM 및 실험의 파라미터는 표 4와 같이 시뮬레이션 파라미터와 동일하다. 또한 시뮬레이션과 동일하게 300[RPM]의 고정 속도 부하를 이용하여 그 성능을 증명하였다.

그림 11은 기존 고정 샘플링 시간이 적용된 모델예측제어를 적용했을 때 SPMSM의 출력 토크이다. 그림 11.(a)와 (b)는 고정 샘플링 주파수를 10[kHz]로 설정했을 경우 실험 결과이다. 그림 11.(a)를 통해 지령 토크에 비해 큰 토크 리플이 발생하는 것을 알 수 있다.

또한 그림 11.(b)과 같이 특정 구간에서 지령 토크와 출력 토크를 비교했을 경우에도 큰 지령 토크가 발생한다는 것을 확인할 수 있고, 모델예측제어의 알고리즘은 10[kHz] 주기로 동작하는 것을 확인할 수 있다. 그림 11.(c)와 (d)는 고정 샘플링 주파수를 20[kHz]로 설정했을 경우 실험 결과이다. 그림 11.(d)를 통해 모델예측제어의 알고리즘은 20[kHz]의 주기로 발생하는 것을 확인할 수 있고, 기존과 달리 발생하는 출력 토크의 리플이 저감된 것을 알 수 있다. 이때, 데이터 모니터링을 통해 한 주기에서 스위칭 변경 횟수를 비교한 경우, 355회에서 687회로 332회의 스위칭 변경 횟수가 증가함을 확인하였다.

그림 12는 가변 샘플링 범위를 10~20[kHz]로 설정한 제안하는 기법을 적용했을 때 실험 결과이다. 샘플링 구간을 그림 12.(b)를 통해 확인한 경우 그림 11과 달리 샘플링 구간이 일정하지 않고 매 순간 가변적으로 변경되어 가변 샘플링 시간이 적용되는 것을 확인할 수 있다. 이때, 그림 12.(a)를 통해 발생하는 토크 리플을 확인한 경우, 기존 고정 샘플링 주파수를 20[kHz]로 설정한 경우와 동일한 성능을 갖는다는 것을 알 수 있다. 고정 샘플링 주파수를 20[kHz]로 설정한 경우와 정현파 한 주기에서 스위칭 변경 횟수를 비교했을 때, 687회에서 582회로 105회의 스위칭 변경 횟수를 저감하였다. 이를 통해 제안하는 기법을 적용했을 때 증가하는 스위칭 손실을 감소하고 SPMSM의 토크 리플을 저감할 수 있다는 걸 알 수 있다.