1. 서 론

3상 농형 유도전동기는 구조가 간단하고, 저가이며, 튼튼한 장점으로 다양한 산업분야에서 폭 넓게 사용되고 있다. 유도전동기의 속도제어는 주로 벡터제어와 스칼라제어가 사용되는데, 스칼라제어는 V/F 일정제어, 즉 공급전압을 주파수로 나눈 값이 일정하도록 주파수변화에 따라 공급전압을 조절하는 방법으로서 가변속제어를 필요로 하는 응용분야에서 폭넓게 사용이 되고 있다.

V/F 일정제어에 의한 속도제어는 주어진 주파수에서의 토크-속도 특성곡선의 최대토크의 값이 공급전원의 주파수를 변화시켜도 같고, 공극에서의 자속의 값이 주파수 변화와 무관하게 일정해서 철심에서 자속이 포화되지 않는 장점⁽¹⁾이 있어서 많은 연구가 이루어져 왔다^(2-5). 그런데 V/F 일정제어를 위해서는 최대토크의 계산이 필요한데 오차를 포함하는 유도전동기의 간이등가회로로부터 최대토크의 식을 구해서 V/F 일정제어를 도출하게 되며, 따라서 간이등가회로로부터 계산된 최대토크에는 오차가 포함이 되므로 기존의 V/F 일정제어에는 전원의 주파수가 변화할 때 토크-속도 특성곡선의 최대토크가 일정하지 못하게 되는 문제가 존재하게 된다.

본 논문에서는 기존의 V/F 일정제어에 대해서 살펴본 후 V/F 일정제어에 존재하는 문제점을 제시하고, 문제점을 해결하기 위한 방법을 제안한다. 제안한 방법에서는 공급전압의 주파수가 변화해도 매 주파수에서의 토크-속도 특성곡선의 최대토크의 값이 같도록 하는 주파수 변화에 따른 공급전압의 값을 제시하며, 제안한 방법에 의해서 주파수가 변화해도 토크-속도 특성곡선의 최대토크의 값이 같음을 보인다.

2. 3상 농형 유도전동기

⁽⁶⁾은 3상 농형 유도전동기의 등가회로 및 간이등가회로를 이용하여 토크, 전류, 효율 등의 동작특성을 해석하였다. 본 논문에서는 ⁽⁶⁾에서 이용한 유도전동기의 해석방법을 적용하여 토크를 계산한다. ⁽⁶⁾에서 제시한 등가회로 및 간이등가회로를 이용한 유도전동기의 해석방법은 다음과 같다.

3상 유도전동기의 1상당 등가회로는 그림 1과 같다.

여기서 $V_{1}$은 공급전압, $r_{1}$은 고정자저항, $x_{1}$은 고정자누설리액턴스, $r_{2}'$은 고정자로 환산된 회전자저항, $x_{2}'$은 고정자로 환산된 회전자누설리액턴스, $x_{m}$은 자화리액턴스, $r_{m}$은 철손저항, $s$는 슬립이다.

그림 1의 등가회로에서 키르히호프의 전압법칙을 적용하여 회전자전류 $\dot I_{2}$를 구하면 다음과 같다.

여기서 $\dot V_{1}=V_{1}\angle 0^{0}$, $A=R_{1}R_{2}-X_{s}X_{r}-r_{m}^{2}+x_{m}^{2}$, $B=R_{1}X_{r}+R_{2}X_{s}-2r_{m}x_{m}$, $R_{1}=r_{1}+r_{m}$, $R_{2}=r_{m}+\dfrac{r_{2}'}{s}$, $X_{s}=x_{1}+x_{m}$, $X_{r}=x_{m}+x_{2}'$이다.

토크는 $(\dfrac{r_{2}'}{s})$에서 소비되는 전력(1상당 회전자입력)을 회전자계의 동기기계각속도 $\omega_{s}$로 나눈 것에 3상을 고려한 상수 3을 곱해서 구하며, 극수를 $P$라 할 때 $\omega_{s}$는 $2\pi f$를 극쌍수 $P/2$로 나눈 $4\pi f/P$가 된다. 식 (1)의 $I_{2}$는 최대치이므로 $\sqrt{2}$로 나눈 실효치로 소비전력을 계산한다. 토크는 다음과 같다.

그림 1의 등가회로를 사용하여 유도전동기의 특성을 해석하는 것은 복잡하므로 보통 그림 2와 같이 자화전류회로를 입력단으로 옮긴 간이등가회로를 이용한다.

간이등가회로를 이용하여 전류 $I_{1}'$과 토크를 구하면 다음과 같다.

최대토크는 $T_{s}$의 분모가 최소일 때 발생한다. $T_{s}$의 분모를 슬립 $s$로 미분한 값이 0이 되도록 하는 조건으로부터 최대토크가 발생하는 슬립 $s_{m}$을 구하면 다음과 같다.

3. 기존의 V/F 일정제어

식 (5)의 $s_{m}$을 식 (4)의 슬립 $s$에 대입해서 정리하면 슬립 $s_{m}$에서의 최대토크 $T_{m}$은 다음과 같다.

$r_{1}$을 무시하면 식 (6)은 다음과 같이 근사화가 된다.

식 (7)에서 최대토크는 $(V_{1}/f)^{2}$에 비례함을 알 수 있다. 정격의 조건에서 운전하던 중 속도를 저감하기 위해서 $V_{1}$은 일정하게 유지한 상태로 주파수 $f$를 저감하게 되면 자속이 증가하면서 철심이 포화되고, 효율이 나빠지는 문제가 존재하므로 주파수의 감소에 비례하도록 전압 $V_{1}$을 감소시킨다. 즉, $V_{1}/f$의 값이 일정하도록 주파수와 전압을 동시에 변화시켜서 속도를 제어한다⁽¹⁾.

기존의 V/F 일정제어에서는 정격전압이 $V_{1n}$, 정격주파수가 $f_{n}$일 때 $V_{1n}/f_{n}$의 비를 구한 후 속도의 감소를 위하여 주파수를 감소시킬 때 $V_{1n}/f_{n}$의 비가 일정하도록 공급전압의 크기를 감소시키는데, 전원의 주파수가 수 Hz 이하의 낮은 속도의 영역에서는 고정자저항에서의 전압강하를 고려하여 전압 $V_{1}$이 일정한 값이 되도록 한다.

식 (7)에서 최대토크 $T_{m}$은 $V_{1}/f$에 비례함을 알 수가 있는데, 따라서 주파수가 변화해도 매 주파수에서의 토크-속도 특성곡선의 최대토크는 일정하게 된다⁽¹⁾. 그러나 식 (7)에서 최대토크 $T_{m}$이 $V_{1}/f$에 비례한다는 것은 간이등가회로로부터 유도된 결과이므로 오차가 포함이 된 결과이며, 주파수가 감소함에 따라 최대토크가 감소하는 문제가 존재하게 된다.

본 논문에서는 기존의 V/F 일정제어에서 전원의 주파수가 변화할 때 토크-속도 특성곡선의 최대토크가 일정한 것이 아니라 주파수의 감소에 따라 최대토크가 감소함을 보인 후, 주파수가 변화해도 토크-속도 특성곡선의 최대토크가 변화하지 않고 일정하도록 하는 주파수 변화에 따른 공급전압의 값의 계산방법을 제안한다.

4. 제안한 방법

제안한 방법에서 전원의 주파수가 정격주파수 $f_{n}$일 때의 최대토크를 그림 1의 등가회로로부터 구하는데, 그림 1의 등가회로에 의한 토크의 식 (2)로부터 최대토크 발생슬립 $s_{m}$을 구하는 것은 매우 복잡하므로 간이등가회로에 의한 토크의 식 (4)로 구한 식 (5)의 최대토크 발생슬립 $s_{m}$을 식 (2)에 대입하여 최대토크를 구한다.

전원의 주파수가 60 Hz이고, 전압 $V_{1}$이 정격전압 $V_{1n}$ = $220\sqrt{2}$ V일 때의 최대토크 $T_{m60}$을 식 (2)를 이용해서 구하면 다음과 같다.

여기서

$A_{60}=R_{1}R_{2f60}-(2\pi 60L_{s}\times 2\pi 60L_{r})-r_{m}^{2}+(2\pi 60L_{m})^{2}$,

$B_{60}=R_{1}2\pi 60L_{r}+R_{2f60}2\pi 60L_{s}-2r_{m}2\pi 60L_{m}$, $L_{s}=L_{1}+L_{m}$, $L_{r}=L_{m}+L_{2}'$, $R_{2f60}=r_{m}+\dfrac{r_{2}'}{s_{m60}}$이다. $s_{m60}$은 전원주파수가 60 Hz일 때 최대토크 발생 슬립이며, 식 (5)에 의해서 구하면 다음과 같다.

60 Hz보다 작은 전원주파수 $f_{1}$에서의 최대토크가 발생하는 슬립 $s_{mf1}$를 식 (5)를 이용해서 구하면 다음과 같다.

주파수 $f_{1}$에서의 최대토크를 구하기 위하여 슬립 $s_{mf1}$을 식 (2)의 슬립 $s$에 대입해서 최대토크 $T_{mf1}$을 구하면 다음과 같다.

여기서

$A_{f1}=R_{1}R_{2f1}-(2\pi f_{1}L_{s}\times 2\pi f_{1}L_{r})-r_{m}^{2}+(2\pi f_{1}L_{m})^{2}$,

$B_{f1}=R_{1}2\pi f_{1}L_{r}+R_{2f1}2\pi f_{1}L_{s}-2r_{m}2\pi f_{1}L_{m}$, $R_{2f1}=r_{m}+\dfrac{r_{2}'}{s_{mf1}}$, $\omega_{sf1}=\dfrac{4\pi f_{1}}{P}$이다.

전원의 주파수가 정격주파수 $f_{n}$보다 낮은 $f_{1}$일 때의 최대토크 $T_{mf1}$이 정격주파수 $f_{n}$ = 60 Hz일 때의 최대토크 $T_{m60}$과 같게 되도록 하는 전압 $V_{1f1}$은 $T_{mf1}=T_{m60}$의 조건으로부터 계산을 하면 다음과 같이 표현된다.

5. 해석결과

해석을 위한 3상 유도전동기의 제원은 표 1과 같다⁽⁷⁾. 고정자권선은 Y결선이며, 선간전압이 380 V(실효치)이므로 1상당 공급전압의 실효치는 380 /$\sqrt{3}$ = 220 V가 된다.

본 논문에서는 제안한 방법에서 최대토크를 계산할 때 식 (2)로부터 최대토크 발생슬립 $s_{m}$을 계산해야 하지만 매우 복잡하므로 간이등가회로에 의한 토크의 식 (4)로 구한 $s_{m}$을 식 (2)에 대입하여 최대토크를 구했다. 그림 3은 주파수 변화에 따른 등가회로 및 간이등가회로에 의한 토크-속도 특성곡선을 나타내고 있다. $T_{s}$는 간이등가회로에 의한 토크이고, $T$는 등가회로에 의한 토크이다. 그림에서 세로의 점선은 간이등가회로의 최대토크의 점을 연결한 점선이다. 그림 2의 간이등가회로에 의한 최대토크 발생 슬립과 그림 1의 등가회로에 의한 최대토크의 발생 슬립이 거의 일치함을 알 수 있다.

주파수가 60 Hz에서 감소함에 따라 토크-속도 특성곡선에서의 최대토크가 감소하고 있음을 나타내고 있는데, 기존의 V/F 일정제어에 의한 속도제어에서는 주파수가 변화할 때 최대토크의 값이 일정하게 유지되지 못하는 문제가 존재한다는 것을 나타내고 있는 것이다.

그림 4는 제안한 방법 및 기존방법에 의한 주파수변화에 따른 공급전압을 나타내고 있다. $V_{1C}$는 기존방법에 의한 공급전압인데 수 Hz이하에서는 전압의 값이 일정한 모습이며, 주파수 증가에 따라 V/f의 값이 일정한 모습을 나타내고 있다. $V_{1P}$는 제안한 방법(식 (12))에 의한 공급전압을 나타내고 있는데, 정격주파수인 60 Hz에서의 전압은 $V_{1C}$와 같지만 60 Hz보다 낮은 주파수의 영역에서 $V_{1C}$보다 높은 전압이 공급이 됨을 알 수 있다. 낮은 주파수에서 계산이 된 $V_{1P}$의 값은 0.1 Hz에서 4.4 V, 1 Hz에서 14.7 V, 2 Hz에서 20.4 V, 3 Hz에서 25.2 V로 계산되었다. 기존의 방법에 의한 전압이 0 Hz에서 0 V인 점을 지나는 직선이라 가정하면 $V_{1C}$의 값은 0.1 Hz에서 0.34 V, 1 Hz에서 3.8 V, 2 Hz에서 7.3 V, 3 Hz에서 10.9 V로 계산되었는데, 낮은 주파수의 영역에서 최대토크의 값이 같도록 하기 위해서 제안한 방법에 의해서 더욱 높은 전압이 공급됨을 알 수 있다.

그림 5는 제안한 방법에 의한 토크-속도 특성곡선을 나타내고 있다. 5 Hz에서 60 Hz까지의 특정주파수에서의 곡선인데, 주어진 주파수에서의 공급전압은 그림 4의 $V_{1P}$ 곡선에서의 값이다. 주파수가 변화를 해도 최대토크의 값이 거의 일정함을 나타내고 있는데, 그림 3에서 제시된 기존방법의 문제가 제안한 방법에 의해서 해결이 되고 있음을 알 수 있다.

6. 결 론

본 논문에서는 3상 농형 유도전동기의 기존의 V/F 일정제어에 대해서 살펴본 후 V/F 일정제어에 존재하는 문제점을 제시하였으며, 문제점을 해결하기 위한 방법을 제안하였다. V/F 일정제어를 위해서는 속도의 변화를 위하여 주파수를 변화시켜도 최대토크의 값이 일정해야 하나 기존의 방법에서는 주파수의 감소에 따라 최대토크가 감소하는 문제가 존재함을 보였으며, 기존방법의 문제를 해결하기 위하여 등가회로로부터 유도된 수식의 전개를 통하여 주파수가 변화해도 최대토크를 일정하도록 하는 공급전압의 값의 계산방법을 제안하였다. 해석결과, 제안한 방법에 의해서 주파수가 변화해도 최대토크가 일정함을 보여서 제안한 방법의 타당성을 입증하였다. 본 논문에서 제안한 방법을 유도전동기의 스칼라제어에 의한 속도제어에 적용한다면 향상된 제어성능을 얻을 수 있을 것으로 기대된다.