2.1 변형 코노스코픽 홀로그래피
변형 코노스코픽 홀로그래피는 그림 1과 같이 단축결정과 수동소자인 $\lambda /4$ 파장판 및 선형편광기로 구성된다. 점광원 O에서 출발한 광파가 단축결정에 진입하면 복굴절효과로
보통광선과 특수광선으로 분리되어 진행하게 된다. 직교하는 편광을 가지는 두 광선은 진행속도가 다르며, 이로 인해 두 광선간에는 위상차가 발생한다.
코노스코픽 홀로그래피는 이 위상차를 이용하여 3차원 물체의 홀로그램을 생성 및 복원을 할 수 있는 기술이다. 이전 연구에서는 단축결정에서 보통광선과
특수광선이 동일한 기하학적 경로를 따라서 진행한다고 가정하였다. 이러한 가정하에 두 광선간의 광경로차 및 위상차를 구하여 변형 코노스코픽 홀로그래피의
해상도에 대하여 분석한 결과를 제시하였다.
본 연구에서는 광경로가 동일하다는 단순화한 가정을 배제하고 두 광선이 서로 다른 경로를 진행하는 일반적인 경우에 대하여 각 광선에 대한 광경로 및
위상차를 구하고 이를 토대로 시스템의 해상도를 분석하고자 한다.
Fig. 1. Set up of modified conoscopic holography
Fig. 2는 Fig. 1의 A지점에 입사하는 광파가 단축결정내에서 복굴절로 인해 보통광선과 특수광선으로 분리되는 것을 상세하게 나타낸 것이다.
보통광선과 보통파동은 광경로가 일치하며, 특수광선과 특수파동은 광경로가 일치하지 않는다. 광경로가 일치하는 보통광선과 보통파동은 이후에 보통광선이라는
용어로 통일하여 서술한다.
Fig. 2에서 $\theta_{i}$는 입사각, $\theta_{o}$는 보통광선의 굴절각, $\theta_{e}$는 특수파동의 굴절각을 나타낸다. $\alpha$는
분산각이다. 그리고, $\hat S$와 $\hat k$는 특수광선과 특수파동 방향의 단위벡터를 나타낸다.
Fig. 2. Ordinary ray, extraordinary wave, and extraordinary ray in uniaxial crystal
단축결정에 수직한 편광을 가진 광선은 보통광선이고, 평행한 편광을 가진 파동은 특수파동이다. 포인팅벡터로 표시된 방향으로 진행하는 빛은 특수광선이며,
스넬의 법칙이 성립하지 않는 각도로 굴절하는 빛이다. 실제 방해석(Calcite)을 통해 보는 복굴절 영상은 보통파동과 특수광선에 의해 만들어지는
것이다.
Fig. 2의 보통광선과 특수파동은 스넬의 법칙을 만족한다.(20)
여기에서, $n_{o}$와 $n_{e}(\theta)$는 단축결정에서의 보통광선과 특수파동에 대한 굴절률(refractive index)이다. 그리고
$n_{i}$는 공기의 굴절률을 나타낸다.
특수광선의 굴절각은 Reference(21)의 식(7)로부터 다음과 같이 표현할 수 있다.
특수파동의 굴절각은 식(3)과 Reference(9)의 식(25)로부터 다음 식과 같이 표현할 수 있다.
특수파동의 굴절각으로부터 특수파동이 진행하는 방향의 굴절률은 식(5)로부터 구할 수 있다.(22)
특수파동과 특수광선사이의 분산각(dispersion angle) $\alpha$는 식(3)에서 구할 수 있으며, 다음과 같다.
이제 보통광선과 특수광선간의 위상차를 구하기 위해서는 먼저 단축결정내에서 보통광선과 특수광선의 광경로를 알아야 한다. Fig. 2에서 단축결정에서 각 광선의 광경로는 식(4)-(6)을 고려하여 다음과 같이 표현할 수 있다.
여기에서, $l_{o}$와 $l_{e}$는 각각 보통광선과 특수광선의 단축결정내의 광경로이며, $L$은 단축결정의 길이이다. 특수광선의 경우 물리적
길이는 $\hat S$를 따르지만, 이에 대응하는 위상은 $\hat k$방향의 위상에 따라 증가한다. 따라서, 특수광선의 광경로에는 특수파동방향에
대한 특수광선의 길이 성분을 구하기 위한 $\cos\alpha$가 포함되었다.
식(7)을 포함하여 Fig. 1의 점 O에서부터 기록면까지의 광경로를 구하면 다음과 같이 표현할 수 있다.
식(8)로부터 보통광선과 특수광선의 광경로차는 다음과 같다. 근축 근사(paraxial approximation)의 경우에는 $\theta_{e}$와 $\theta_{o}$는
작은 값을 갖기 때문에, 식(9)의 유도과정에서 3차 이상의 $\theta_{e}$와 $\theta_{o}$는 무시하였다.
식(4)와 (9)를 이용하여 $n_{o}=1.658$, $n_{e}=1.486$, $L=1$cm일 때, 입사각에 따른 보통광선과 특수광선의 광경로차는 Fig. 3과 같다. 이 때, 입사각이 커질수록 광경로차가 커지다가 90도일 때 최대 광경로차가 발생한다. 이 때, 최대 광경로차는 약 0.95mm로 계산되었다.
근축근사의 경우에 $\theta_{e}$는 다음과 같이 표현할 수 있다.
Fig. 3. Optical path difference with incidence angle
식(10)을 식(9)에 대입하여 정리하면, 두 광선의 광경로차는 다음과 같이 표현된다.
여기서, $p=n_{o}(1-\dfrac{n_{o}^{2}}{n_{e}^{2}})L$이고, $q=\alpha n_{o}L$이다. 그리고, $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$이다.
그러면 두 광선간의 위상차는 식(11)을 이용하여 다음 식과 같이 표현할 수 있다.
따라서, 식(12)의 위상차를 고려한 점광원에 대한 복소홀로그램은 다음과 같이 표현된다.(14)
식(12)를 식(13)에 대입하여 정리하면 복소홀로그램은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
2.2 해상도
평면파를 식(14)의 복소홀로그램에 비추어 주면 Fresnel 회절이론에 의해 복소진폭은 다음과 같이 표현된다.
식(15)에 식(14)를 대입하여 정리하면 복소진폭은 다음과 같이 표현할 수 있다.
여기서, $z_{1}$은 Fig. 1의 O에서 R까지의 거리이며, 홀로그램을 생성할 때 점광원에서 기록면까지의 거리를 나타낸다.
계산의 편의를 위해서 복원영상의 위치를 $z=z_{1}^{2}/p$로 설정하면 복소진폭은 식(17)과 같이 표현할 수 있다.
식(17)의 적분인자는 대칭함수이므로 근사화하여 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
복소홀로그램의 반경이 $R$이라고 가정하여 식(18)을 극좌표형식으로 변환하면 다음과 같다.
여기서, $J_{0}(\bullet)$은 0차 1종 베셀함수이고, $r=\sqrt{\xi^{2}+\eta^{2}}$이다. $\rho =\sqrt{x^{2}+y^{2}}$이고,
$A=\dfrac{kp\rho}{z_{1}^{2}}$이다. 그러면 식(19)는 퓨리에 베셀 변환(Fourier-Bessel Transform) 또는 헹켈 변환(Hankel Transform)이라고 불리는 형태가 된다.
식(19)를 적분하면 다음과 같은 결과가 나온다.
여기서, $J_{1}(\bullet)$과 $J_{2}(\bullet)$는 1차 및 2차 1종 베셀함수를 나타낸다. 그러면, 복굴절을 고려한 점광원
빛의 세기는 다음과 같이 구할 수 있다.
위 식을 이용하여 $y=0$일 때, $z_{1}=0.3$m, $\lambda =632.8$nm, $L=1$cm, $n_{i}=1$, $\theta_{i}=1.8^{\circ}$인
경우에 홀로그램의 반경크기에 따른 횡축방향 빛의 세기는 Fig. 4와 같다. 그림으로부터 홀로그램의 크기가 커질수록 해상도가 좋아지는 것을 알 수 있다.
Fig. 4. Nomalized intensity of reconstructed image of a point-source hologram in the lateral direction with hologram size
단축결정에서 빛의 입사각에 따른 영향을 살펴보기 위해서 $z_{1}=0.3$m, $R=5$cm, $\lambda =632.8$nm, $L=1$cm,
$n_{i}=1$으로 고정하고 입사각을 $\theta_{i}=0.1\pi ,\: 0.2\pi ,\: 0.3\pi ,\: 0.4\pi$로 변화시키면서
횡축방향의 빛의 세기를 구한 결과는 Fig. 5와 같다.
Fig. 5. Nomalized intensity of reconstructed image of a point-source hologram in the lateral direction with incidence angle
Fig. 5의 정규화시킨 그래프에서는 입사각에 따른 횡축방향 해상도의 변화는 보이지 않는다. 그러나, 빛의 세기를 절대값으로 표현한 Fig. 6의 그래프에서는 입사각에 따른 해상도의 변화를 볼 수 있다.
그러나, 이 경우에도 Rayleigh 기준(Rayleigh criterion)에 따르면 모든 입사각에 따른 해상도의 변화는 없지만 반치전폭(FWHM)
관점에서는 입사각이 커질수록 반치전폭이 작아지므로 해상도가 좋아지는 것으로 볼 수 있다. 그러나, 다른 변수들과 비교하면 해상도에 미치는 영향이 그리
크지 않은 것으로 보인다.
Fig. 6. Absolute value intensity of reconstructed image of a point-source hologram in the lateral direction with incidence angle
Fig. 7. Nomalized intensity of reconstructed image of a point-source hologram in the lateral direction with wavelength
$z_{1}=0.3$m, $R=5$cm, $L=1$cm, $n_{i}=1$, $\theta_{i}=1.8^{\circ}$인 경우에 파장의 변화에 따른
횡축방향 빛의 세기는 Fig. 7과 같다. 여파장이 길어질수록 복원영상의 해상도가 나빠진다. 따라서, 동일조건에서 해상도를 좋게 하려면 짧은 파장의 광원을 활용하면 된다. Fig. 7의 경우에 빛의 파장에 따른 굴절률의 분산은 고려가 되지 않은 결과이다.
$z_{1}=0.3$m, $R=5$cm, $\lambda =632.8$nm, $n_{i}=1$, $\theta_{i}=1.8^{\circ}$인 경우에
단축결정의 크기를 변화시켜가면서 구한 횡축방향 빛의 세기는 Fig. 8과 같다. 단축결정의 길이가 커질수록 해상도가 좋아진다는 것을 알 수 있다.
Fig. 8. Nomalized intensity of reconstructed image of a point-source hologram in the lateral direction with crystal length
Rayleigh 기준에 의하면, Fig. 4, 7, 8에서 중앙의 극대값과 첫 번째 극소값 사이의 거리가 두 점이 분해가능한 최소한의 거리가 된다. 이것의 역수를 취해주면 횡축방향의 해상도가 된다.
따라서, 복원영상의 횡축방향 해상도는 홀로그램 및 단축결정의 크기에 비례하여 좋아진다. 그리고, 파장의 경우에는 파장이 짧을수록 좋아진다는 것을 알
수 있다.
그리고, 입사각에 따른 보통광선과 특수광선의 광경로차는 미미하기 때문에 해상도에 거의 영향을 주지 않는 것을 알 수 있다.