2.3.1 선로 모델

국내 전력계통의 배전 방식은 3상 4선식 선로를 채택하여 대형 규모의 수용가에 직접 전력을 공급하거나 변전 과정을 거쳐 소규모 수용가에 공급한다. 3상 4선식 선로는 3개의 전력선과 1개의 중성선으로 구분되어있다. 이에 따라, 3상 4선식 선로는 단상 부하와 3상 부하가 혼합되어 사용될 수 있으나, 불평형 전류가 중성선에 흐를 수 있다는 단점이 있다. 본 연구에서는 3상 4선식 선로 모델을 주파수 및 시간 영역으로 모델링 하였고, Fig. 3은 주파수 영역에서의 3상 선로 모델을 나타낸다.

3상 선로 저항 $R_{3ph}$와 선로 리액턴스 $X_{3ph}$는 아래 식과 같이 나타내었으며, $X_{3ph}$는 상호 리액턴스를 포함한다.

다음으로, 3상 선로 임피던스 및 어드미턴스는 선로 임피던스 아래 식과 같이 나타낼 수 있다.

식(3)에서 $Z_{3ph}$는 선로 임피던스이며, 선로 저항과 선로 리액턴스의 합으로 나타낼 수 있다. 또한, 식(4)의 선로 어드미턴스 $Y_{3ph}$는 선로 임피던스 $Z_{3ph}$의 역행렬로 표현된다. 이에 따라, 3상 선로의 단자 전류를 선로 어드미턴스 행렬과 단자 전압의 곱으로 표현하면 식(6)과 같이 표현할 수 있다.

식(6)에서 $\widetilde I_{S}$와 $\widetilde V_{S}$는 각각 송전단 전류와 전압을 나타내며, $\widetilde I_{R}$와 $\widetilde V_{R}$는 각각 수전단 전류와 전압을 나타낸다. 또한, $Y_{C}$는 병렬 커패시턴스에 대한 어드미턴스 행렬을 나타낸다. 따라서, 주파수 영역에서의 단자전류 및 전압은 식(7)과 같이 나타낼 수 있다.

다음으로, Fig. 4는 시간 영역에서의 3상 선로 모델을 나타낸다.

시간 영역에서 3상 선로 저항 $R_{3ph}$와 선로 리액턴스 $X_{3ph}$는 앞서 주파수 영역에서 언급한 식과 동일하며, 3상 선로 인덕턴스와 커패시턴스를 표현하면 각각 식(8), 식(9)와 같다.

따라서, 시간 영역에서 단자 전류와 단자 전압의 관계를 표현하면 식(9)와 같이 표현할 수 있다.

식(9)에서 $i_{S}(t)$와 $v_{S}(t)$는 각각 송전단 전류와 전압을 나타내며, $i_{R}(t)$와 $v_{R}(t)$는 각각 수전단 전류와 전압을 나타낸다. 따라서, 시간 영역에서 단자 전류 및 전압은 식(10)과 같이 나타낼 수 있다.

다음으로, 식(7)에서 $B_{1}$과 $B_{2}$는 아래와 같이 표현할 수 있다.

여기서, $Y_{C}$는 병렬 커패시턴스를 나타내는 어드미턴스 행렬이며, $E$는 4$\times$4 단위행렬을 의미한다.

앞서 수행된 모델링에 따라, 주파수 영역 및 시간 영역에서 3상 4선식 선로의 수학적 모델을 확인할 수 있으며, 배전계통 모델링에 활용할 수 있다.

2.3.2 전압원 모델

전압원이란, 내부 임피던스가 없으며 부하의 크기와 상관없이 일정한 전압을 공급하는 전원을 의미한다. 본 연구에서는 전압원 모델을 주파수 및 시간 영역으로 모델링하였고 Fig. 5는 주파수 영역에서의 단상 전압원 모델을 나타낸다.

주파수 영역에서, 전압원의 어드미턴스를 $Y_{S}$라고 할 때, 어드미턴스 행렬 $Y$는 다음과 같다.

따라서, 주파수 영역에서의 단자 전류 및 전압의 관계는 아래 식과 같이 나타낼 수 있다.

여기서, $B$와 $E$는 각각 아래와 같이 표현할 수 있다.

다음으로, Fig. 6은 시간 영역에서의 단상 전압원 모델을 나타낸다.

시간 영역에서, 전압원의 전압을 $e(t)$, 저항을 $R$, 인덕턴스를 $L$ 이라고 할 때, 시간 영역에서의 단자 전류 및 전압의 관계는 아래 식과 같이 나타낼 수 있다.

여기서, $B_{1}$, $B_{2}$는 각각 아래와 같이 표현할 수 있다.

앞서 수행된 모델링에 따라, 주파수 영역 및 시간 영역에서 단상 전압원의 수학적 모델을 확인할 수 있으며, 3상 시스템에서의 전압원도 설계할 수 있다.

2.3.3 부하 모델

일반적으로 전력계통에서 사용되는 부하 모델은 정전력 부하, 정 임피던스 부하, 정전류 부하 등이 있지만, 본 연구에서는 조류계산 시 주로 사용되는 정전력 부하를 모델링하였다. 정전력 부하는 전압의 변동과 무관하게 항상 전력이 일정하며, 입력 전압의 크기와 상관없이 일정한 전력을 나타내는 부하이다. 본 연구에서는 단상 정전력 부하를 주파수 및 시간 영역으로 모델링하였고, Fig. 7은 주파수 영역에서의 단상 정전력 부하 모델이다.

주파수 영역에서, 정전력 부하의 어드미턴스를 $Y_{s}$라고 할 때, 어드미턴스 행렬 $Y$는 아래와 같이 나타낼 수 있다.

따라서, 주파수 영역에서 정전력 부하의 단자 전류 및 전압의 관계는 아래와 같이 나타낼 수 있다.

다음으로, $X,\: f_{1},\: f_{2}$는 각각 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서, $u_{1}$은 전압과 반비례하는 내부 변수이며, 유효전력에 관계된다. 다음으로, Fig. 8은 시간 영역에서의 단상 정전력 부하 모델을 나타낸다.

시간 영역에서 정전력 부하의 저항을 $R$, 인덕턴스 를 $L$이라고 할 때, 정전력 부하의 단자 전류 및 전압의 관계는 아래와 같이 나타낼 수 있다.

앞서 수행된 모델링에 따라, 주파수 영역 및 시간 영역에서 단상 정전력 부하의 수학적 모델을 확인할 수 있으며, 3상 시스템에서의 부하도 설계할 수 있다.

2.3.4 변압기 모델

전력계통에서 변압기는 발전소의 출력 전압과 수용가에서 사용하는 전압이 다를 때, 전압의 크기를 높이거나 낮추기 위하여 사용된다. 또한, 3상 변압기의 경우 변압기 결선 방식은 Y-Y, Y-△ 등의 다양한 결선 방식이 존재한다. 본 연구에서는 단상 변압기를 주파수 및 시간 영역으로 모델링하였고 Fig. 9는 주파수 영역에서의 단상 변압기 모델이다.

주파수 영역에서, 단상 변압기 1차 및 2차 권선의 어드미턴스는 각각 $Y_{1},\: Y_{2}$이고 변압기 권수비가 $1:t$일 때 변압기 어드미턴스 행렬 $Y$는 다음과 같다.

여기서, $Y_{m}$는 변압기 여자 어드미턴스이며, 1차 코일에 유기되는 기전력은 $E_{1}$으로 표현된다. 따라서, 주파수 영역에서 단상 변압기의 단자 전류 및 전압 관계는 아래와 같이 표현할 수 있다.

여기서, $\widetilde I ,\:\widetilde V$는 다음과 같이 표현된다.

다음으로, Fig. 10은 시간 영역에서의 단상 변압기 모델을 나타낸다.

시간 영역에서, 단상 변압기 1차 및 2차 권선의 저항은 각각 $R_{1},\: R_{2}$이고, 누설 인덕턴스는 각각 $L_{1},\: L_{2}$이다. 또한, 변압기 철손 저항은 $R_{m}$, 변압기 1차 코일에 유기되는 기전력은 $e_{1}(t)$ 이며, 변압기 권수비는 주파수 영역에서와 동일하다. 다음으로, 변압기 자속쇄교수 $λ(t)$는 아래와 같이 표현할 수 있다.

식(26)에서, $i_{m}(t)$은 여자전류, $L_{m}$은 자화 인덕턴스를 나타낸다. 다음으로, 단상 변압기의 단자 전류 및 전압의 관계는 다음과 같이 표현할 수 있다.

여기서, $i(t)$와 $v(t)$는 아래와 같이 나타낼 수 있다.

식(27)에서 행렬 $A_{1}$과 $A_{2}$는 다음과 같다.

식(27)에서 행렬 $B_{1}$과 $B_{2}$는 다음과 같다.

앞서 수행된 모델링에 따라, 주파수 영역 및 시간 영역에서 단상 변압기의 수학적 모델을 확인할 수 있으며, 3상 시스템에서의 변압기도 설계할 수 있다.

3.1.1 고장 유형에 따른 결과 분석

시뮬레이션을 위해 3번 모선을 고장 모선으로 선정하였으며, 1선 지락, 2선 지락, 3선 지락 사고에 따른 고장 모선에서의 고장 전압 및 고장 전류 결과를 도출하였다. 아래 Table 1에 고장 유형에 따른 결과를 나타내었으며, Fig. 12와 Fig. 13은 고장 유형에 따른 3상의 고장 전압과 고장 전류를 그래프로 나타내었다.

a상 1선 지락 사고 발생 시, 전류는 고장 임피던스를 통해 고장이 발생한 상으로 흐르기 때문에 b상 및 c상 전류는 0에 가까운 값을 갖게 된다. 또한, a상의 고장 전압은 고장 전류와 고장 임피던스의 곱으로 구할 수 있으며 이 또한 0에 가까운 값을 갖게 된다. 반면에, 중성점 이동 현상으로 인해 건전한 상의 전압은 평시 전압보다 상승하는 특징이 있다.

이러한 이론적 배경을 기반으로 시뮬레이션 결과를 검토하면 1선 지락 사고 시 나타나는 고장 해석 결과의 양상과 유사한 결과를 보였다. 2선 지락 사고와 3선 지락 사고의 경우 역시, 고장이 발생한 상으로 고장 전류가 크게 흐르는 것을 확인할 수 있었으며, 건전한 상의 전압은 상승함을 알 수 있다. 6 모선 시험 계통에서 검토한 배전계통 모델링을 바탕으로 다음 절에서는 37모선 시험 계통을 기반으로 주파수 영역 및 시간 영역에서의 모델링 검증을 수행한다.

3.2.1 주파수 영역 해석 결과

앞서 수행한 모델링 기반의 시뮬레이션 결과와 OpenDSS를 통해 시뮬레이션을 진행하여 도출된 결과를 비교하였다. 전체 모선에서의 전압과 위상각을 도출하였으며, 전체 오차율에 대한 산술평균을 검토하였다. 아래 Fig. 15는 특정 모선에서의 전압을 나타내며, Fig. 16은 특정 모선에서의 위상각을 나타낸다.

시뮬레이션 결과, 각 모선 전압의 크기 및 위상각에 대한 오차는 0에 가까우며, 전체 오차율에 대한 산술평균은 1.36% 수준임을 확인하였다. 따라서 본 논문에서 수행된 수학적 모델링의 정확성을 검증할 수 있으며, 이는 재생에너지가 연계된 배전계통 해석 시 활용될 수 있을 것으로 기대된다.

3.2.2 시간 영역 해석 결과과

앞서 수행한 수학적 모델을 기반으로 시간 영역 해석을 수행하였다. 아래 Fig. 17과 Fig. 18은 각 시간에 따른 전압원 전류와 부하 전류의 그래프를 나타낸다. 전원과 부하를 결합한 모델에서 총 0.1초의 시뮬레이션을 진행하였고 시간 영역 해석을 통해 구한 값을 plot 함수를 통해 나타내었다.

시뮬레이션 결과, 해당 모델은 3상 평형 전원과 부하로 구성되어 있으므로 3상이 위상만 다르고 같은 값을 가진 평형한 상태로 결과가 출력되는 것을 확인할 수 있다. 향후 동적 특성을 가진 전력 설비와 재생에너지원 등을 배전계통에 연계하여 안정도 해석에 활용할 계획이다.