1.1 연구의 배경

유도전동기는 저렴한 제작비용, 제작의 편의성, 높은 안전성을 가진 기기로 오랫동안 다양한 산업계에서 사용되고 있다. 전동기가 국내 전력소비량의 54%를 차지하는데, 이 중에서 91%가 유도전동기이다. 이러한 상황으로 인해 우리나라에서는 고효율 유도전동기의 생산 및 판매를 의무화하는 법이 단계적으로 시행되고, 유도전동기의 성능 향상에 관해 많은 연구가 진행되고 있다.

유도전동기의 경우 효율을 높이기 위해 다른 종류의 전동기에 비해 공극을 작게 설계하는 방법을 사용하는데, 이로 인해 전동기에서 전자계적 고조파의 성분이 더 크게 발생한다^[1]. 공극에서의 전자계적 성분에 의한 힘은 회전하는 방향으로 발생하는 접선력과 공극에서 자속이 쇄교되는 방향으로 발생하는 방사력으로 구분된다. 접선력의 고조파 성분은 토크 및 토크 리플과 직결되기 때문에^[2] 고정자와 회전자의 슬롯조합을 검토함으로써 토크 성능에 유리한 슬롯수를 선택하는 것은 매우 중요하다^[3-7]. 하지만 좋은 토크 특성뿐만 아니라 응용분야에 따라 진동 특성을 병행하여 검토해야 하는 경우가 있다. 선행 연구 중에서 접선력과 방사력에 의한 고정자의 진동을 고찰한^[8]의 결과에 의하면 차수가 낮은 접선력이 고정자 진동에서 중요하게 작용됨을 증명하였다. 유도전동기에서 진동을 저감하기 위한 설계 인자로서 슬롯 피치 및 인버터의 PWM에 따른 방사력의 변화를 고찰하는 사례도 있다^[9,10]. 또한, 슬롯조합은 진동 특성에 매우 민감하므로 진동이 중요한 분야에서는 고정자와 회전자 슬롯의 상세 설계 전에 슬롯의 수를 먼저 결정하는 것이 우선순위에 맞다. 그리고 유도전동기의 슬롯수 조합과 토크, 진동에 관한 연구도 오랫동안 수행되었지만 기기의 진동 실험결과 또는 방사력에 대한 계산 결과만 보여주고 슬롯에 의한 고조파와 진동의 직접적인 상관관계를 명확하게 규명하지 않았다^[11,12].

본 논문에서는 고정자가 36개와 24개의 슬롯을 갖는 두 종류의 4극 유도전동기를 대상으로 하고, 회전자의 슬롯수를 가변할 경우 발생되는 방사 방향 힘의 변화를 관찰한다. 이때 힘의 고조파 성분을 시간과 공간의 관점에서 분석함으로써 고정자와 회전자의 슬롯조합에 따른 고조파와 진동 특성을 함께 비교하여 고찰한다.

3.1 회전자 슬롯수에 따른 방사력 밀도

진동 해석의 첫 단계는 전동기에서 발생하는 방사 방향과 접선 방향의 자속밀도를 이용하여 방사 방향으로 발생하는 힘의 밀도를 계산하는 것이다. 여기서 두 방향의 자속밀도는 유한요소해석을 통해 얻은 공극 자속밀도의 합성 벡터를 분해하여 얻고, 식 (1)을 통해 방사 방향의 힘 밀도를 계산한다. 이후 연구부터는 방사 방향의 힘 밀도를 방사력 밀도라고 한다.

여기서 $F_{r}$, $B_{r}$, $B_{t}$, $\mu_{0}$는 각각 방사력 밀도, 방사 방향 자속밀도, 접선 방향 자속밀도, 공기의 투자율이다.

본 논문에서는 고조파의 차수별 진동 특성을 살펴보기 위해 방사력 밀도의 고조파를 계산할 때 시간과 공간에 대해 구분하여 FFT(Fast Fourier Transform)를 수행한다^[14]. Fig. 3은 11개 모델의 FFT 결과를 보여주며, x축, y축, z축은 각각 시간 고조파 차수(n), 공간 고조파 차수(m), 방사력 밀도를 나타낸다.

Fig. 3에서 제공하는 11개 모델의 결과에서 검은색으로 표시된 4곳의 위치는 회전자의 슬롯수에 무관하게 모두 동일한 시공간 차수에서 발생하는 방사력 밀도이다. 시간 고조파(n)의 0차에서 공간 고조파(m)의 36차와 시간 고조파의 4차에서 공간 고조파의 4차, 32차, 40차로서 총 4개의 방사력 밀도가 동일하게 발생하며, 각 위치에서 발생되는 방사력 밀도의 크기는 모델에 관계없이 거의 비슷하다. 고정자가 36 슬롯을 가지는 4극 전동기이기 때문에 두 숫자의 합과 차에 의해서 만들어진 4곳의 방사력 밀도가 11개 모델에서 공통으로 발생한다. 부연하면 4극 전동기는 회전자가 한 바퀴 회전하는 동안 공극에서의 자속밀도는 N극과 S극으로 총 2번 변하며, 식 (1)과 같이 자속밀도의 제곱으로 계산되기 때문에 시간 고조파의 4차가 발생한다. 그리고 고정자 36 슬롯에 의해 자속밀도가 분포되기 때문에 32차와 40차의 공간 고조파 차수가 만들어진다. 파란색으로 표시된 위치들을 살펴보면 모두 회전자 슬롯수에 따라 고조파의 차수가 변화하는 것을 알 수 있고, 일부 차수들은 회전자 슬롯수가 26에서 48까지 증가하는 폭만큼 비례해서 차수가 변한다. 시간과 공간의 고조파 차수 관점에서 더 자세히 살펴보기 위해 Fig. 3(b)의 회전자 28 슬롯을 가지는 기준 모델의 FFT 결과를 Fig. 4에서 2차원으로 시각화했다.

Fig. 4(a)는 Fig. 3과 동일한 범위의 차수까지 나타낸 것이고, Fig. 4(b)에서는 차수의 범위를 더욱 넓혀서 보여준다. 파란 실선과 빨간 점선은 각각 회전자 슬롯수의 변화에 따라 나타나는 주요 차수와 대각 차수의 경로를 표시한 것이고, 검은 일점 쇄선은 극수를 나타내는 선이다. Fig. 4(b)에서 보면 주요 차수와 대각 차수는 모두 일정한 시간 고조파 차수(n)에서 발생하는데 이것을 수직으로 연결하면 회색 점선으로 표시되며, 3개의 회색 점선들이 모여서 등간격으로 배치됨을 알 수 있다. 방금 설명한 내용을 수식적으로 나타내면 아래와 같이 4개의 식으로 표현된다.

주요 차수의 이동경로 (파란 실선) :

대각 차수의 이동경로 (빨간 점선) :

극수 차수의 이동경로 (검은 일점 쇄선) :

주요 및 대각 차수의 결정곡선 (회색 점선) :

여기서 $N_{s}$, $N_{r}$, $p$, $k$는 각각 고정자 슬롯수, 회전자 슬롯수, 극수, 양의 정수이다. Fig. 4(b)에서 파란색으로 표시된 인접한 점 3개는 회전자 슬롯수($N_{r}$)에 의해 결정되는 차수로서 식 (2)와 (5)의 교점에 의한 것이다. 파란색 점들의 이동을 통해 회전자 슬롯수에 따라 움직이는 주요 차수들의 경로를 알 수 있다. 그리고 식 (3)과 (5)를 연립하면 검은색 점들로 표시된 대각 차수의 위치를 결정할 수 있다.

방사력 밀도의 시간과 공간에 대한 고조파 차수는 0차부터 시작하여 높은 차수까지 존재하지만, 낮은 차수가 진동에 더 큰 영향을 미치기 때문에 이후부터 36차 미만의 주요 차수와 대각 차수에 집중한다. Table 3은 시공간을 기준으로 60차 미만에서 발생하는 주요 차수와 대각 차수를 회전자 슬롯수에 따라 구분하여 정리한 것이다. 좌측부터 극수, 고정자와 회전자의 슬롯수($N_{s}$, $N_{r}$), 주요 차수, 대각 차수, 주요 차수에 매칭된 진동 주파수를 나타낸다. 다음 절에서 11개 모델의 진동 특성을 비교하고, 이를 Table 3에서 제시된 주요 및 대각 차수의 관점에서 분석코자 한다.

Fig. 1. The cross-sectional view of base model

Fig. 2. Eleven models with a different number of rotor bars in case of, (a) 26, 28, 30, 32, 34, and 38 Table 1. Base model at a rated pointslots, (b) 40, 42, 44, 46, and 48 slots

Fig. 3. FFT results of eleven models in case of, (a) 26 slots, (b) 28 slots, (c) 30 slots, (d) 32 slots, (e) 34 slots, (f) 38 slots, (g) 40 slots, (h) 42 slots, (i) 44 slots, (j) 46 slots, (k) 48 slots

Fig. 4. Temporal and spatial harmonic orders in 28-slot rotor (a) up to the 60th order,(b) the zoomed-out version of (a)

3.2 회전자 슬롯수에 따른 진동 가속도

대상 유도전동기의 진동을 분석하기 위해서는 먼저 진동 변위($A_{m}$)를 계산해야 한다. 진동 변위의 정의는 식 (6)에서 제시하고 있고, 주어진 식은 선행 연구^[15-20]에서 참조하였다. 본 논문에서는 전동기의 하우징까지 포함한 조건에서 고유 진동수를 이용하여 전동기의 진동을 예측한다.

여기서 $F_{m}$, $M_{m}$, $\omega_{m}$, $\omega_{r}$, $\xi_{m}$은 각각 힘, 전동기의 질량, 공진 각주파수, 진동 모드의 각주파수, 모달 댐핑계수를 나타낸다. 공진 주파수를 확인하기 위해 유한요소해석을 이용하였고, 그 결과는 Fig. 5와 같다. 유한요소해석에서 얻은 두 방향의 공극 자속밀도를 통해 방사력 밀도를 구한다. Fig. 5와 같이 모달 해석을 통해 얻은 공진 주파수를 식 (6)에 대입하여 진동 변위를 계산한다.

Fig. 6은 진동 변위를 이용하여 계산한 진동 가속도($A_{cm}$)이며, x축은 시간 고조파 차수에 의한 주파수이다. Fig. 3의 FFT에서 각 시간 고조파 차수(n)에서 발생하는 모든 공간 고조파 차수(m)에 대한 방사력 밀도를 식 (6)에 의해 계산한 후 이를 합산하여 나타낸다. 이때, 계산된 진동 변위($A_{m}$)를 이용하여 순차적으로 진동 속도와 진동 가속도를 구할 수 있는데 Fig. 6은 주파수에 대한 진동 가속도($A_{cm}$)이다.

회전자 슬롯수에 관계없이 3700Hz 주변에서 소폭으로 증가하는 진동 가속도의 변화를 확인할 수 있는데 이것은 Fig. 5의 4차 모드에서 발생하는 고유 진동수에 의한 것이다. 회전자 슬롯수가 30, 34, 38, 42개인 경우 낮은 주파수 대역에서 진동 가속도의 뚜렷한 증가를 보인다. 특히, 주파수 1020Hz에서 높은 진동 가속도를 보이는 경우는 30, 34, 38 슬롯의 회전자이고, 34, 38, 42 슬롯의 회전자는 주파수 1140Hz에서 높은 진동 가속도를 가짐을 확인할 수 있다. 이는 Table 3의 결과와 정확히 일치하는데 회색 음영으로 표시된 2차의 대각 차수를 갖는 회전자 슬롯수에서 발생되는 진동 주파수는 1020Hz와 1140Hz이고, 이는 앞서 Fig. 6에서 언급했던 두 주파수와 동일하다. 또한, 1020Hz와 1140Hz의 주파수가 모두 존재하는 경우는 34 슬롯과 38 슬롯이고, 1020Hz와 1140Hz의 주파수가 하나씩 존재하는 경우는 각각 30 슬롯과 42 슬롯인 사실도 Table 3과 Fig. 6에서 모두 일치함을 알 수 있다. 결과적으로 2차의 대각 차수를 갖는 회전자 슬롯수에서 상대적으로 높은 진동 가속도가 발생됨을 확인하였고, 이를 통해 간단한 연산으로 회전자 슬롯수에 따른 진동 특성의 우열을 쉽게 판단할 수 있다. Table 3에서 제시된 대각 차수를 계산할 수 있도록 식 (7)과 같이 정리하였다. 이 식을 통해 고정자와 회전자의 슬롯수가 주어지면 대각 차수를 계산할 수 있다. 또한, 식 (8)은 주요 차수의 식으로서 회전자 슬롯수를 이용하여 주요 차수를 계산하고, 정격속도를 이용하여 진동 주파수를 계산할 수 있다. 지금부터 2차의 대각 고조파와 진동 특성의 관계를 다른 고정자 슬롯수에 적용하여 검토함으로써 2차 대각 차수의 일반화가 가능한지를 확인하겠다.

Fig. 5. Natural frequency results through FEA

Fig. 6. Acceleration of vibration with respect to a rotor slot number in 36-slot stator

3.3 대각 차수와 진동 특성 관계의 검증

2장에서 비교 모델을 선정한 것과 동일한 방법으로 고정자 24 슬롯의 4극 유도전동기에서 많이 사용되는 회전자 슬롯수 조합을 선택하여 Table 4에서 제시한다. 6개의 모델은 Table 1에서 제시된 정격 성능에 준해서 설계되었으며, 이때 고정자 및 회전자의 최외곽 직경은 기준 모델과 모두 같다.

앞 절에서 제공된 식 (7)과 (8)을 이용하여 회전자 슬롯에 따른 주요 차수와 대각 차수를 계산한다. 주요 차수에 정격속도를 이용하여 진동 주파수를 구하고, 그 결과는 Table 5에서 상세히 제공된다. 대각 차수가 2차인 회전자 모델은 총 3개로서 22 슬롯, 26 슬롯, 30 슬롯이다. 이때, 2차 대각 차수가 발생하는 지점의 진동 주파수는 660Hz와 780Hz인데 이를 진동 가속도의 결과와 비교함으로써 2차 대각 차수와 진동의 관계를 입증코자 한다. Fig. 7은 고정자 36 슬롯과 동일한 방법으로 구한 고정자 24 슬롯의 진동 가속도이다. 총 6개 중에서 3개의 모델에서 눈에 띄는 진동 가속도가 발생하는데, 이들은 22 슬롯, 26 슬롯, 30 슬롯의 회전자이다. 세 모델에서 진동 가속도가 증가하는 위치는 660Hz와 780Hz의 주파수인데 이는 앞서 제공된 Table 5와 완벽하게 일치한다. 본 논문의 결과를 요약하면 간단한 식을 통해 유도전동기에서 고정자와 회전자의 슬롯조합에 따른 진동 특성의 우열을 가릴 수 있다는 것이다.

Fig. 7. Acceleration of vibration with respect to a rotor slot number in 24-slot stator