1. 서 론

배전실무현장에서는 부하점의 전압과 선로의 전압강하를 계산할 때, ‘등가저항법’이라고 불리우는 근사식이 주로 활용되어 왔다^[1-5]. ‘등가저항법’은 부하를 정전류로 표현하고 있는데. IEC 60364 도 이 근사식을 제시하고 있다^[6,7]. 그러나, 부하가 정전류나 정임피던스로 표현되면 부하전압이 바뀔 때 마다 소비전력이 달라지게 되므로, 산업현장에서는 대개 부하를 kVA 나 P,Q 형태의 정전력 부하로 표현하고 있다.

부하가 P,Q로 표현된 배전선로의 전압을 계산하는 공식이 최근 문헌에 발표되었다^[8,9].

Fig. 1은 P+jQ 부하를 가진 단거리 송전선이다.

Fig. 1. Short-length transmission line with a load P+jQ

E 와 $\theta_{E}$ 는 송전단 모선의 전압과 위상각의 크기, V 및 $\theta_{V}$ 는 부하단 모선의 전압과 위상각의 크기, $\dot{I}_{12}$ 는 admittance $\dot{Y}=Y\angle\theta_{Y}=G-j B$ 를 흐르는 선로전류이다.

Fig. 1로부터 2모선 시스템의 송수전단 전압 및 부하전력에 대한 아래의 관계식을 얻을 수 있다. ^[8,9,Appendix]

식 (1) 은 송수전단 전압과 부하전력을 변수로 가지는 수식이므로 ‘V-P formula’ (=Voltage-Power formula) 라 부르기로 하자^[8,9].

Fig. 2는 전압 E가 주어진 송전단 S와 두 개의 부하점 A, B를 가진 전선로이다. A 점과 B 점의 부하를 각각 $P_{A}+j Q_{A}$ 및 $P_{B}+j Q_{B}$ 라 가정한다.

Fig. 2. Two load points A, B

부하점 A의 전압 VA 와 부하점 B의 전압 VB 사이에 V-P formula (1)을 적용하면,

를 얻고, 또한 송전단 전압 E 와 VA 사이에 V-P formula (1)을 적용하면,

의 관계를 얻는다. 여기서 $P_{Loss}$ 는 A-B점 사이의 선로 유효전력손실, $Q_{Loss}$ 는 A-B점 사이의 선로 무효전력손실이다^[9]. 식 (3)과 같이 선로손실이 포함된 ‘V-P formula’를 이제부터 Original V-P formula 라 부르기로 한다.

식 (2), (3)을 연립으로 풀면 VA 와 VB 를 구할 수 있고 그 연산결과는 정확하며 조류계산과 일치한다. 그러나, $P_{Loss},\: Q_{Loss}$ 가 포함된 식 (3)은 매우 복잡한 수식이며, 더구나 식 (2), (3)을 연립으로 푸는 데는 상당한 연산상의 어려움이 따른다.

본 논문에서는,

- P-Q 부하가 주어진 배전선로에서

- 전기 엔지니어들이 실무현장에서 V-P formula 를 이용하여 쉽게 전압을 계산할 수 있도록

- 연산을 어렵고 복잡하게 만드는 선로전력손실 $P_{Loss},\: Q_{Loss}$를 수식으로 부터 배제시킨, Simplified V-P formula 를 제시하고

- 두 개의 P-Q 부하점을 가지는 배전선로의 전압을 구하는 사례연구를 통하여

- 그 계산결과를 Original V-P formula^[9], 조류계산^[10], 등가저항법^[1-5] 등 기존의 알고리즘에 의한 계산결과와 비교 검토해 보고자 한다.

2. V-P Formula 를 이용한 두 P-Q 부하점의 전압계산^[9]

최근 발표된 Reference ^[9]는 V-P Formula 를 이용하여 P-Q 부하로 표시된 두 부하점을 가진 배전선로의 전압을 계산하는 방법을 제시하고 있다.

내용을 간단히 review 해 보자.

Fig. 3은 급전점 S 에서 두 부하점 A, B에 전압 VS=24 V 를 공급하는 배전선로이다. A, B 점의 전압 VA 및 VB 를 구해보자.

S-A 점 사이의 선로 impedance를 $R_{SA}+j X_{SA}$$=2+j2\sqrt{3}\omega$, A-B 점 사이의 선로 impedance를 $R_{AB}+j X_{AB}=1+j\sqrt{3}\omega$ 이라 하고, S 점에서 A 점으로 흐르는 선로전류를 ISA, A 점에서 B 점으로 흐르는 선로전류를 IAB 라 한다.

A 점과 B 점의 부하를 각각 $P_{A}+j Q_{A}=9+j3\sqrt{3}$ 및 $P_{B}+j Q_{B}=6+j2\sqrt{3}$ 라 가정한다.

Fig. 3. Two load points A, B with VS=24V

Fig. 3에서 우선, 말단 B 부하점의 전압 VB 와 A 부하점의 전압 VA 사이에는 V-P formula (1) 으로부터 다음의 관계를 얻을 수 있다.

V-P formula (1)은 2모선에 대한 공식이므로, 급전점 S 의 전압 VS 와 부하점 A의 전압 VA 사이의 관계식을 얻으려면 부하점 A와 말단 부하점 B사이의 모든 소비전력을 A점에 집약시켜야 한다.

A점에 집약된 등가 유효전력 부하 및 등가 무효전력 부하를 $P^{\Sigma},\: Q^{\Sigma}$ 라 하자. $P^{\Sigma},\: Q^{\Sigma}$에는 A점의 부하 $P_{A}+j Q_{A}$ 와 B점의 부하 $P_{B}+j Q_{B}$ 가 포함되지만, 또한 A-B점 사이를 흐르는 전류 IAB 에 의한 선로의 유무효 전력손실 $P_{Loss}$ 및 $Q_{Loss}$ 도 고려해야 한다. 따라서, $P^{\Sigma},\: Q^{\Sigma}$ 는 아래 수식으로 표현될 수 있다.

식 (5),(6)을 감안한 S-A 점 사이의 2모선 개념도를 그리면 Fig. 4와 같다.

Fig. 4. Load $P^{\Sigma},\: Q^{\Sigma}$ aggregated at load point A

Fig. 4 개념도의 $P^{\Sigma},\: Q^{\Sigma}$ 를 공식 (1)에 적용하면:

의 관계를 얻는다. 단,

$P_{Loss}$ 및 $Q_{Loss}$ 는 아래의 수식으로부터 구할 수 있다.

(9),(10)의 관계를 (7)에 대입하면

를 얻을 수 있다. 주어진 데이터를 대입하고 식 (11) 및 (4)를 연립으로 풀면,

을 얻는다. 이 해는 조류계산 결과와 정확하게 일치한다^[9].

3.선로손실을 배제시킨 Simplified V-P Formula

Fig. 4에서 A점에 집약된 부하 $P^{\Sigma},\: Q^{\Sigma}$ 는 A-B점 사이의 선로전력손실 $P_{Loss},\: Q_{Loss}$를 포함하고 있다.

VA 및 VB의 정확한 연산결과를 얻으려면 $P_{Loss},\: Q_{Loss}$ 는 당연히 수식에 포함되어야 한다. 그러나 $P_{Loss},\: Q_{Loss}$ 가 포함되면, 식 (11)에서 보는 바와 같이 수식이 매우 복잡해진다.

일반적으로 전력계통의 선로전력손실은 부하전력을 모두 합한 수치에 비해 수 % 미만의 적은 양이다.

또 한가지 주목할 사항은, 식 (9),(10)의 $P_{Loss},\: Q_{Loss}$ 는 계통 전체의 손실이 아닌 부하점 A-B 사이의 선로전력손실이라는 점이다. 즉, $P_{Loss},\: Q_{Loss}$ 에는 가장 큰 전류 ISA 가 흐르는 S-A 선로의 전력손실은 포함되지 않는다. 따라서, $P_{Loss},\: Q_{Loss}$ 는 A, B 점의 부하전력을 합한 $P_{A}+P_{B}및 Q_{A}+Q_{B}$ 에 비해 매우 적은 양이 될 것이다.

Fig. 3 배전선로의 경우 $P_{Loss}$ 는 0.11466 이다. 이는 $P_{A}+P_{B}=15.0$ 의 0.76%에 불과하다. Fig. 3의 경우는 중부하 상태의 특수한 경우이므로, 정상 상태의 경우 $P_{Loss}$ 는 이에 훨씬 못 미치는 수치가 될 것이다.

따라서, 식 (7),(11) 로부터 선로 전력손실 $P_{Loss}$, $Q_{Loss}$ 항을 배제시키고 $V_{A},\: V_{B}$ 를 계산하더라도, 결과는 정확한 해와 크게 다르지 않을 것으로 기대할 수 있다.

그러면 여기서, 식 (7),(11)에서 $P_{Loss},\: Q_{Loss}$ 를 뺀 약식(略式)을 생각해 보자.

즉, 식 (11)의 경우

로 가정하면 식 (11)은

로 근사화 될 수 있다.

손실항을 제거시켜 간략화된 식 (14)를 ‘Simplified V-P formula’ 라 부르기로 하자. 한편 손실이 포함된 식 (3),(7),(11) 등은 ‘Original V-P formula’ 로 구분하기로 한다.

주어진 데이터를 대입하고 Simplified V-P formula (14)와 식(4)를 연립으로 풀면

의 근사해를 얻을 수 있다.

Original V-P formula (11)은 변수 VB 를 분모에 포함하는 복잡한 수식인 반면, Simplified V-P formula (14)는 근사화로 인해 변수 VB 가 소거되어 (11)에 비해 훨씬 간단한 형태를 가지게 된다.

Table 1에 Original V-P Formula 와 Simplified V-P Formula 의 특징을 요약하였다.

등가저항법 또한 ‘수전단전압≫선로전압강하’ 라는 가정 아래 간략화된 근사식을 쓰고 있다. 등가저항법은 수식과 계산이 매우 간단하지만, 부하가 정전류로 표현되는 특징이 있다^[1-5].

Simplified V-P formula 에 의한 계산결과와 등가저항법에 의한 결과를 다음 장에서 비교한다.

4.전압계산 결과 비교 및 해의 신뢰도 검토

Table 2에 Simplified V-P formula 에 의한 계산결과 (15)를 문헌 ^[9]에 나타난 기존의 알고리즘 – 조류계산, Original V-P formula 및 등가저항법 - 에 의한 계산결과와 비교해 보았다.

조류계산이나 Original V-P formula 에 의한 정확한 solution 과 비교할 때,

- Simplified V-P formula 에 의한 계산결과는 0.25% 정도의 오차를,

- 등가저항법에 의한 계산결과는 0.3% 이상의 오차를 보이고 있다.

Table 2는 계통전체 전력 손실률이 9%에 달하고, 공급전압 24volt 가 말단 부하점에서 20volt 정도까지 떨어지는 중부하 상태를 대상으로 simulation 한 결과이다. 현재 실무현장에서 통용되는 등가저항법 보다 오차가 더 적고, 중부하 상태에서 조류계산 결과에 비해 0.25% 이하 정도의 오차를 보인다면, Simplified V-P formula 로부터 얻은 해의 신뢰도는 실무현장에 적용하는데 무난한 것으로 사료된다.

5. 결 론

본 논문은

- P-Q 부하가 주어진 배전선로에서, 전기 엔지니어들이 실무현장에서 V-P formula 를 이용하여 부하점 전압을 쉽게 계산할 수 있도록

- 연산을 복잡하게 만드는 선로전력손실 항을 Original V-P Formula 로부터 배제시킨 Simplified V-P formula 를 제시하였다.

Simplified V-P formula 는

- 부하를 정전류로 표시하는 등가저항법과는 달리,

배전선로의 부하점에 정전력 P-Q로 주어진 부하 data를, 수식에 바로 대입하여 각 부하점 전압을 계산할 수 있는 공식이다.

- 조류계산이나 Original V-P formula 와 같은 정확한 해를 기대할 수는 없으나,

- Original V-P formula 에 비해 수식이 훨씬 간단하고, 적은 계산량으로 부하 전압의 근사치를 구할 수 있다.

중부하 상태의 2 부하점 배전선로의 사례연구 결과, Simplified V-P Formula 로부터 얻어진 해는 실무현장에서 널리 쓰여 온 등가저항법에 비해 신뢰도가 더 높은 것을 확인하였다. 또한 조류계산 결과에 비하여 0.25% 정도의 오차를 보였으며, 이는 실무현장에서 활용이 가능한 무난한 신뢰도인 것으로 사료된다.

Simplified V-P Formula 가 산업현장에 널리 쓰이기를 기대한다.