1. 서 론

일반적으로 대부분의 전력전자변환기는 고정된 스위칭 주파수 PWM기법에 의하여 동작된다. 이 기법은 스위칭 주파수의 정수배의 주파수의 잡음 전력을 주기적으로 발생시켜서 전기자기간섭(EMI)^[1]이나 가청 스위칭 노이즈^[2]와 진동^[3]를 유발하고 있다. 이와 같은 정수배의 주파수의 잡음 전력을 분산시키기 위하여 Random PWM^[4-6]이 제시되었다. 이 기법은 삼각파 캐리어의 주파수^{[3, 6]}나 PWM펄스의 위치^{[7, 8]}를 소프트웨어적인 방법으로 랜덤하게 변경시킬 수 있으며, 기존의 시스템에도 쉽게 적용 가능하다.

랜덤 PWM기법을 위한 랜덤 수 발생기는 정보공학에서 소스 코딩과 정보 압축과 관련하여 중요하며 수학적으로 쉽게 구현 가능하다. 수학적 방법 중에서 선형일치발생기(LCG)^{[2, 9]}가 보편적으로 사용되고 있다. LCG는 랜덤 수를 빠르게 발생할 수 있으나 초기치들 사이에 서로의 제약 조건이 존재하며, 초기치를 부적절하게 선택되는 경우에는 주기성을 갖는 랜덤 수가 발생하기 때문에 초기치 선정에 매우 신중해야 하는 단점이 있다^{[2, 11]}.

따라서 또 다른 랜덤 수 획득법에 대한 필요성이 요구되고 있으며, 카오스(Chaos)현상^{[10, 13-15]}을 이용한 방법이 이에 적합하다 할 수 있다. 카오스란 용어는 1975년 제임스 요크^[13]가 처음으로 사용한 이래로 현재까지 다양한 분야에 적용되고 있다.

본 연구에서는 전력전자변환기에 적용한 카오스 PWM기법과 종전의 LCG에 의한 Random PWM기법의 스펙트럼 확산 효과를 다루고 있다. 스펙트럼의 확산 효과는 일반적으로 고조파확산지수(HSF)^[2]에 의해 평가되는데, HSF가 0에 가까울수록 백색잡음과 유사한 분포를 갖는다. 본 연구에서 다루는 카오스 사상은 로지스틱 사상(Logistic map)^[10], 텐트 사상(Tenet map)^[11], 2중 텐트 사상(Double tenet map)^[12]이며, 이를 이용하여 카오스 수(Chaotic numbers)를 발생한 후, 카오스 PWM기법을 구현하며, 이 결과들을 LCG에 의한 Random PWM과 비교한다.

본 연구의 타당성 검증을 위하여 DSP기반의 1.5kW급 3상 유도전동기 구동장치를 제작한다. 카오스 수 발생은 DSP가 담당하고 카오스 수에 의하여 MAX038 주파수 변조기는 카오스 주파수를 갖는 삼각파 캐리어를 실시간적으로 발생한다. 삼각파 캐리어 주파수=3kHz±1kHz, 기본 주파수 f=60Hz, 2.5A부하 조건에서, 각 기법들의 삼각파 캐리어 및 전력전자변환기의 출력 전압 스펙트럼의 광대역 확산 효과를 변조지수 M에 따른 HSF로 비교 평가하고자 한다.

2. 카오스 사상

카오스는 아주 단순한 수식에 의하여 기상현상과 유체현상 등 복잡한 자연계 현상을 설명할 수 있는 이론이다. 본 연구에서는 로지스틱 사상, 텐트사상, 2중 텐트 사상 등 3가지 카오스 이론을 펄스폭 변조기법에 적용하여 전력전자변환기의 스펙트럼을 확산하는 방법에 대하여 살펴본다.

2.1. 로지스틱 사상(Logistic Map)

기본적인 카오스 현상은 인구 증가를 나타내는 (1)과 같은 간단한 차분방정식에서 나타난다. 일반적으로 이 (1)을 로지스틱 사상이라 하며, 페어훌스트에 의하여 도입되었다. 이 방정식은 개체 증가에 영향을 미치는 모든 다른 환경인자들의 효과를 간단하게 포함시켜 해석하는 비선형 방정식으로 알려져 있다^[10].

(1)

$x_{n+1}= ax_{n}(1-x_{n})$

초기치 $x_{0}$에서 제어변수 a를 증가시키며 시계열의 정상상태의 $x_{n}$을 그리면 Fig. 1이 얻어진다. 제어변수 a가 1과 3사이에서는 안정한 한 점의 상태를 가지지만 3이상에서는 분기과정을 계속한다. 즉 a가 증가함에 따라서 $x_{n}$과 1-$x_{n}$의 항이 수축과 팽창의 과정을 계속하면서 안정한 주기상태에서 분기과정을 계속하여 무한대의 주기성을 갖는 카오스 상태로 변화한다. 이 분기트리에서 0과 1사이에서 모두 카오스 수가 나타나는 경우는 제어변수 a=4.0인 카오스 영역이다.

Fig. 1. Bifurcation tree of the logistic map (2.8<a<4.0)

Fig. 2는 이때의 로지스틱 사상을 카오스 분기에 따른 발생되는 카오스 수의 분포를 주기 별로 나타낸 것이다. Fig. 1의 제어변수 a=4.0인 카오스 영역은 Fig. 2(b)에서 “Chaotic state”로 표시된 부분이다. 이 상태를 2차원 평면상으로 나타내면 Fig. 2(a)의 원으로 나타낸 평면 속에 무수히 많은 카오스 수가 있음을 알 수 있다. 로지스틱 사상은 Fig. 2(a)의 a=4.0의 카오스 수를 사용한다.

Fig. 2. Distribution gragh of the generated chaos number according to the periods (a)Generated chaos number (b)Bifurcation process

2.2. 텐트 사상(Tent Map)

카오스의 보편적인 진화의 양상 중의 하나인 주기배가(Period Doubling)효과는 Fig. 3-4의 분기트리 내에서 (2)-(4)의 일반적인 텐트 사상 구조로 설명된다. 텐트 사상은 0과 1사이의 값을 갖는 초기$|$치 $x_{0}$ (0≤$x_{0}$≤1)와 비선형성 조절변수 λ (0≤λ≤1)에 의하여 $x_{n+1}$이 발생하며 이때 $x_{n+1}$과 $x_{n}$는 (2)과 같은 비선형적인 관계로 나타내진다^[11].

(2)

$X_{n+1}=\lambda(1-2 |X_{n}-\dfrac{1}{2}|)$

여기서 (2)은 $x_{n}$=0.5에서 $x_{n+1}$=1인 한 개의 텐트를 가지며 이는 (3), (4)와 같이 표현된다.

(3)

$X_{n+1}=2\lambda X_{n}$ if 0<$x_{n}$<0.5

(4)

$X_{n+1}=2\lambda(1-X_{n})$ if 0.5≤$x_{n}$<1

Fig. 3. Bifurcation tree of the tent map with different λ

Fig. 4. Tent map with different λ

식(3), (4)의 일반적인 텐트사상은 λ=0.5의 초기상태로부터 λ=λc=0.71까지 주기배가 현상이 나타나며, 주기배가 현상을 넘어선 카오스 현상은 λ=λc=0.71의 임계상태부터 λ=0.99구간사이에서 발생되는 진화과정을 보인다. λ가 0.71부터 0.99로 접근함에 따라서 $x_{n}$의 값은 점점 0과 1사이의 범위로 확대되어지며 마침내 λ가 0.99가 되면 $x_{n}$은 0과 1사이의 전 구간에서 카오스 분포를 나타낸다. 그러나 이 사상은 λ가 자신의 전 구간에 대하여 71%가 되어야 그때부터 $x_{n}$은 카오스 영역으로 접어드는 완만한 카오스 전이과정을 보이는 문제점이 있다.

2.3. 2중 텐트 사상(Double Tent Map)

식(2)로 나타낸 일반적 텐트사상이 갖는 완만한 카오스 진화양상은 (5), (6)의 카오스 2중 텐트 사상^[12]에 의하여 매우 빠른 진화양상으로 개선된다.

(5)

$X_{n+1}=\lambda(1-4 vert X_{n}-\dfrac{1}{4}vert)$(0<$x_{n}$<0.5)

(6)

$X_{n+1}=\lambda(1-4 vert X_{n}-\dfrac{3}{4}vert)$(0.5≤$x_{n}$<1)

(5), (6)를 살펴보면 $x_{n}$=0.25와 $x_{n}$=0.75에서 $x_{n+1}$이 각각 1의 값을 갖는 2개의 텐트를 가지며 이는 (7)-(10)과 같이 구간별로 표현된다.

(7)

$X_{n+1}=4\lambda X_{n}$ if 0<$x_{n}$<0.25

(8)

$X_{n+1}=4\lambda(0.5-X_{n})$ if 0.25≤$x_{n}$<0.5

(9)

$X_{n+1}=4\lambda(X_{n}-0.5)$ if 0.5≤$x_{n}$<0.75

(10)

$X_{n+1}=4\lambda(1-X_{n})$ if 0.75≤$x_{n}$<1

Fig. 5는 2중 텐트 사상의 분기트리를 나타내고 있다. 초기상태 λ=0.25로부터, 카오스가 발생하기 시작하는 임계상태 λ=λc=0.35, 그리고 $x_{n}$이 0과 1사이에서 모두 카오스가 나타나는 λ=0.99까지의 진화과정을 잘 나타내고 있다. Fig. 5를 살펴보면 2중 텐트 사상은 매우 빠른 카오스 전이 과정을 보임을 알 수 있다.

Fig. 5. Bifurcation tree of the double tent map with different λ

Fig. 6은 (5), (6)에 의한 카오스 2중 텐트 사상의 $x_{n+1}$과 $x_{n}$의 관계를 나타내고 있다. λ=0.25인 한 점의 상태는 λ=0.27인 두 점의 상태로 전환되고 있으며 이는 또한 4개의 띠로 나타내어지는 λ=0.29인 상태로, 그리고 하나의 커다란 일차원 사상의 모습을 보이기 시작하는 λ=0.35인 상태로 바뀜을 알 수 있다. λ=0.5이 되면 $x_{n}$=0.5를 중심으로 좌측 텐트이 완벽하게 생성되며, λ=0.5이상으로 진전하면서 우측 텐트가 생성되기 시작하여 λ=0.99가 되면 완벽한 2중 텐트가 생성된다.

2중 텐트 사상은 λ의 변화에 따라서 처음에는 안정한 고정점이 나타나다가, λ가 커지면 카오스 상태로 진화한다. Fig. 6에서 보는 바와 같이 초기 상태로부터 0과 1 범위 내에서 카오스가 발생되는 양상이 텐트가 2개 있는 모습과 동일하기 때문에 2중 텐트 사상이라 한다.

Fig. 6. Double Tent map with different $x_{n+1}$ and $x_{n}$

3. 발생된 카오스 수의 비교

Fig. 7은 (a)로지스틱 사상(a=4.0), (b)텐트 사상과 (c)2중 텐트(λ=0.99)에서의 분기 트리를 이용하여 반복 횟수에 따른 카오스 수와 (d)LCG에 의한 Random 수 나타낸 결과이다. Fig. 8은 Fig. 7의 결과를 막대 그래프로 카오스 수와 LCG에 의한 Random 수의 분포를 나타낸 것이다. 여기서 $R_{1}$은 발생된 0.0～0.1사이의 카오스 수 또는 Random 수이며, $R_{10}$은 0.9～1.0사이에서 발생된 카오스 수 또는 Random 수를 나타낸다.

Fig. 7. Generated chaotic numbers

Fig. 7(a)와 Fig. 8(a)는 로지스틱 사상(a=4.0)으로 발생된 0과 1사이의 카오스 수인데, 0.5 부근보다는 0과 1쪽에 더 많이 분포하고 있다. Fig. 7(b)와 Fig. 8(b)는 텐트 사상에 의한 카오스 수 발생 결과를 나타낸다. 로지스틱 사상에 비하여 카오스 수는 0과 1사이에 고루 분포되나, $R_{1}$와 $R_{7}$에서 평탄하지 못하다. 즉 로지스틱 사상과 카오스 텐트 사상에 의해 발생된 카오스 수는 0과 1사이에서 불균일한 분포 특성을 보인다. Fig. 7(c)와 Fig. 8(c)는 진보된 카오스 2중 텐트 사상에 의한 카오스 수 발생 결과를 나타내는 데 0과 1사이에 매우 고른 분포 특성을 보인다.

Fig. 7(d)와 Fig. 8(d)는 종전의 Random PWM에서 사용되는 LCG의 랜덤 수 발생 결과인데, 진보된 카오스 2중 텐트 사상과 유사한 랜덤 수 분포를 보인다. 그러나 카오스 2중 텐트 사상은 랜덤 수 발생이 매우 간단하고 안정적인 초기치를 갖기 때문에 발산의 우려가 전혀 없다. 또한 종전의 LCG에 비하여 1개의 초기치 및 제어변수에 따른 다양한 형태를 갖는 카오스 랜덤 수 발생기로서 사용될 수 있다. 특히 LCG는 특정 수식에 의하여 상한과 하한이 결정되지만, 카오스 수 발생 방법은 쉽게 0 ∼ 1 사이의 카오스 수 획득이 가능하다는 장점이 있다.

Fig. 8. Chaotic number distribution [R1(0–0.1), R2(0.1–0.2), R3(0.2–0.3), R4(0.3–0.4), R5(0.4–0.5), R6(0.5–0.6), R7(0.6–0.7), R8(0.7–0.8), R9(0.8–0.9), and R10(0.9–1.0)]

4. 실험 시스템

Fig. 9는 본 연구에서 사용된 카오스 주파수 캐리어 발생기를 나타낸 것이다. DSP(TMS320F28335)제어기는 매 스위칭마다 삼각파 캐리어의 주파수를 결정하기 위해 Fig. 7에서 제시된 카오스 수를 발생시킨다.

DSP는 150MHz의 고속 연산과 32bit 부동 소수점 연산이 가능하며, 주변회로 (ePWM, HRPWM, eCAP, eQEP등)와 6CH의 PWM, 12bit 16CH의 ADC 등이 내장되어 있다.

Fig. 9. Chaos frequency carrier generator

DSP로 연산된 카오스 수는 D/A변환기로 출력되며 0～27(0～127)의 범위 내에 카오스 수가 존재한다. D/A변환기에서 발생된 카오스 수는 샘플 홀더로 작용하는 D래치, MAX038 주파수 변조기 및 비교기에 의하여 카오스 주파수를 갖는 삼각파 캐리어의 경사도가 실시간적으로 구해진다.

Fig. 10은 본 연구의 타당성을 입증하기 위한 전력전자변환기 시스템을 보여주고 있으며, Table 1은 실험 사양을 나타낸다. 전력전자변환기는 1.5kW급 3상 농형 유도전동기, 전압형 인버터와 DSP (TMS320 F28335)제어기, 그리고 ECB(Eddy Current Brake) 부하로 구성되어 있다.

Fig. 10. Proposed experiment system

DSP제어기는 3상 유도전동기의 속도 지령치와 매 스위칭마다 카오스 주파수를 갖는 삼각파 캐리어를 발생하며 이 두 신호를 비교하여 카오스 PWM패턴을 생성한다. 전력전자변환기의 스위칭 디바이스로는 IGBT모듈이 사용되고 게이트 드라이버는 IR2118을 사용하였다.

본 실험은 기본 주파수 f=60Hz, 2.5A부하, 스위칭 주파수=3kHz±1kHz조건으로 변조지수 M(0.1∼1.0)에 따라서 수행하였으며, 3가지의 카오스 기법은 고정 주파수 기법과 LCG를 적용한 종전의 Random 기법의 결과와 비교하였다.

5. 실험 및 고찰

Fig. 11은 본 연구에서 다룬 3가지 카오스 삼각파 캐리어(3kHz±1kHz)를 3kHz 고정 주파수 캐리어와 종전의 LCG를 이용한 Random 캐리어(3kHz±1kHz)와 비교한 것이다. 우선 Fig. 11(a)의 고정 주파수 삼각파 캐리어는 3kHz의 일정한 주기를 가지고 있다. 반면에 Fig. 11(b)-(d)의 카오스 주파수 삼각파 캐리어와 Fig. 11(e)의 LCG에 의한 Random 주파수 삼각파 캐리어는 3kHz±1kHz내의 가변적인 주파수 형태를 보인다. Fig. 7∼8의 결과에 의하여 카오스 2중 텐트 캐리어와 LCG에 의한 캐리어의 특성은 서로 유사할 것으로 예측된다. Fig. 12는 각 기법의 삼각파 캐리어 스펙트럼을 나타내고 있다. (a)고정 주파수 기법은 3kHz 스위칭 주파수와 그 정수배 (6kHz, 9kHz)에 집중된 고조파 스펙트럼을 보이나, (b)-(d)카오스 기법과 (e)Random 기법은 3kHz의 중심 주파수에 대해 ±1kHz의 카오스 대역 또는 Random 대역에 분포하고 있다. 특정 주파수에 집중된 캐리어는 관련 시스템에 EMI와 가청 스위칭 소음의 발생과 진동의 원인이 된다. 한편 (b)로지스틱사상과 (c)텐트사상에서는 어느 정도 고조파 확산이 이루어지나, 아직 3kHz와 4klHz의 주파수 성분은 강하게 남아있다. 이에 반해 (d)2중 텐트사상과 (e)LCG에 의한 Random 기법은 고정 스위칭 주파수 기법에서 존재한 3kHz와 9kHz 성분을 광대역으로 확산시키고 있다.

Fig. 11. Triangular carrier waveforms (X-axis: 400us/div.,Y-axis: 2V/div.)

Fig. 12. Spectrum of the triangular carrier (M=0.95)(X-axis: 1kHz/div.,Y-axis: 200mV/div.)

Fig. 13은 3상 인버터의 A상 출력전압과 전류파형으로서,(b)-(d)카오스 기법이나 (e)Random 기법의 전압 및 전류 파형은 (a)고정 주파수 스위칭 PWM기법과 유사하다. Fig. 14는 3상 인버터의 A상 출력전압의 고조파 스펙트럼을 나타낸다. 출력전압과 전류의 고조파 스펙트럼은 서로 유사하므로 전압 스펙트럼 분석 결과만 살펴보도록 한다. (a)고정 주파수 기법은 3kHz 스위칭 주파수와 그 정수배 (6kHz, 9kHz)주파수에 고조파 스펙트럼이 분포되고 있다. (b)로지스틱사상과 (c)텐트사상은 Fig. 12(b)-(c)의 삼각파 캐리어 스펙트럼과 유사하게 3kHz와 4kHz에서 강한 고조파 분포를 보인다. 반면에 (d)2중 텐트사상과 (e)LCG에 의한 Random기법의 출력전압 스펙트럼은 광대역으로 확산되고 있다. 이와 같은 광대역 확산 스펙트럼은 전동기에서 발산되는 날카로운 가청스위칭 소음이나 진동을 매우 완화시킬 수 있다.

Fig. 13. Outrput voltage and curret waveforms(M=0.95)(Voltage:250V/div.,Current:5A/div.)

Fig. 14. Spectrum of the output voltage(M=0.95)(X-axis: 1kHz/div.Y-axis: 200mV/div.)

Table 2는 각 기법의 인버터 출력전압의 %총고조파왜형률(%THD)을 나타낸다. 변조지수 M이 증가됨에 따라 각 기법의 %THD는 감소되는데, 이는 기본파 성분(60Hz)에 대한 고조파 성분이 상대적으로 낮아짐을 의미한다. 또한 동일한 M에서는 고정 주파수 스위칭기법으로 동작하는 전력전자변환기에 대하여 카오스 기법 또는 Random기법을 적용하여도 %THD에는 큰 차이가 없다. 그러나 다른 기법보다 넓은 스펙트럼 분포로 인하여 고정 주파수 스위칭 기법과 비교하여 볼때 %THD에 미소한 증가가 있다. Table 3은 출력전압에 대한 각 기법의 고조파확산지수(HSF)^[2]를 나타낸다. HSF는 고조파 스펙트럼 확산 효과를 평가하기 위한 확률이론의 표준편차 개념으로서 HSF가 0에 가까울수록 백색잡음 분포에 가깝게 된다.

고정 주파수 스위칭 기법을 제외하고는 로지스틱 사상과 텐트사상의 HSF는 서로 비슷하며, HSF가 우수한 LCG는 2중 텐트사상의 HSF와 거의 비슷하다. M의 증가에 대해 HSF는 약간 증가하다가 M=0.8부터는 감소된다.

Fig. 15는 변조지수 M에 상응하는 각 방법별 인버터의 출력전압을 나타낸 것이다. 고정 주파수 및 카오스 기법 그리고 Random기법 모두 M의 변화에 따라 동일한 출력전압이 측정되었다. 이는 카오스 기법 또는 Random 기법을 고정 주파수 스위칭 기법의 전력전자변환기에 적용하여도 출력 전압에 영향을 주지 않음을 의미한다. 끝으로 본 연구는 스위칭 주파수 3kHz±1kHz 범위에서 가변하므로 고정주파수 PWM과 비교하여 스위칭 손실의 변화는 없으며, 특히 최근에 보편화된 SiC나 GaN계열의 스위칭 소자를 사용하면 보다 고효율의 가변 스위칭 동작이 가능하다.

Fig. 15. Output voltage of each method according to the modulation index M

6. 결 론

본 연구에서는 카오스 로지스틱 사상, 텐트 사상 및 2중 텐트 사상을 고찰하고 이러한 카오스 특성을 갖는 PWM기법과 LCG를 사용한 Random PWM기법의 스펙트럼을 고정주파수 스위칭 PWM기법과 비교하였다. Random기법은 LCG를 사용하여 Random 수를 발생하였고, 카오스 수 발생은 각 카오스 사상을 활용하여 0과 1범위에서 완전한 카오스 상태가 존재하는 a=4.0과 λ=0.99조건의 분기 트리를 이용하였다.

본 연구의 타당성을 입증하기 위해 DSP기반 3상 유도전동기 구동 전력전자변환기 시스템을 제작하였다. Random 수 및 카오스 수는 DSP제어기가 전담하고 있으며, DSP로부터 발생된 Random수 및 카오스 수에 의하여 MAX038로부터 Random 및 카오스 주파수의 삼각파 캐리어를 발생하였다.

그 결과, 3kHz 고정 주파수 기법의 삼각파 캐리어 및 출력 전압 스펙트럼에 있던 3kHz의 정수배 주파수의 스펙트럼을 3kHz±1kHz의 카오스 기법과 Random 기법에 의하여 광대역으로 확산시킬 수 있었다. 카오스 로지스틱 사상과 텐트사상은 전력전자변환기의 파워 스펙트럼의 광대역 확산에는 제한적으로는 효과가 있었다. 그러나 진보된 카오스 2중 텐트사상은 LCG에 의한 Random PWM기법의 우수한 스펙트럼 확산 성능과 비슷하였다.

변조지수 증가에 따른 각 기법의 출력전압의 %THD와 HSF가 측정되었으며, 타 방법에 비하여 카오스 2중 텐트사상과 Random 기법은 %THD의 경우에는 오차 범위에서 미소하게 불리하나, HSF의 관점에서는 매우 유리하였다. 추후 본 연구를 전철 및 KTX과 같은 대용량 견인 시스템에 적용하게 되면, 견인 모터에서 발생되는 날카로운 스위칭 소음이 효과적으로 저감될 것이라 생각된다.