2.1 측정데이터 기반 관성계수 추정

전력계통에 외란이 발생한 상황에서 발전기로부터 취득된 전력과 주파수의 시간 데이터를 이용하여 계통의 관성 계수를 추정하는 방안은 다음과 같다. 동기발전기의 동요방정식에 기반하여 i번째 시점에서의 측정 데이터로 추정되는 k번째 동기발전기의 관성 계수는 식 (1)과 같다 ^[1].

여기서

$\begin{matrix}H_{k,\: i}\end{matrix}$ : k번째 발전기의 i번째 시점에서의 관성정수

$\begin{matrix}df_{k,\: i}/dt\end{matrix}$ : 주파수 변화율(ROCOF)

$\begin{matrix}P_{m}\end{matrix}$ : 발전기의 기계적 입력

$\begin{matrix}P_{e}\end{matrix}$ : 발전기의 전기적 출력

$\begin{matrix}S_{B}\end{matrix}$ : 발전기 베이스 피상전력

시점 i에서의 추정된 발전기별 관성 계수들을 베이스 전력으로 가중 평균하면, 식 (2)와 같이 i번째 시점에서 계통 전체에 대한 관성 계수를 추정할 수 있다.

이를 통해 각 시점에서의 추정된 계통 관성 계수 값들의 대푯값으로 최종적인 관성 계수 의 추정값을 도출하게 된다^[8].

하지만 측정 데이터를 기반으로 관성 계수를 추정할 때에는 데이터에 유입되는 잡음과 진동으로 인해 수치 연산에서 문제점이 발생할 수 있다. 예를 들어 PMU와 같은 측정 장치에서 미세한 주파수 변동을 식별하지 못해 일부 구간에서 식 (1)의 $\dfrac{df}{dt}$가 0이 발생할 수 있다. 또한 PMU의 측정시간 단위가 작을 경우 미세한 오차나 잡음에 의해 $\dfrac{df}{dt}$값이 과도하게 변동하여 신뢰하기 어려운 관성 계수를 추정할 위험이 있다. 이러한 문제를 해결하기 위해서는 주파수 데이터를 평활화한 연속적인 곡선으로 피팅하는 전처리 과정이 필요하다. 잡음으로 인해 발생되는 추정값 오차를 최소화하고자 5차 다항식 근사법이 적절한 방안으로 제안되었다^[5].

2.2 B-spline 보간법을 이용한 주파수 데이터 평활화

B-spline 보간법은 전체 시간 구간을 여러 개의 노트(knot)로 구분되는 작은 구간별로 기저함수(Basis function)를 구한 뒤 이를 선형적으로 결합하여 피팅된 곡선을 도출하는 방안이다. B-spline은 기저함수의 차수(order) $m$과, 데이터 구간의 노트로 특징된다. 노트의 개수가 $n$일 경우, B-spline에서 기저함수의 개수는 $n-m-1$이 된다. k개의 기저함수로 구성된 B-spline은 다음과 같다.

여기서 $B_{i}^{m}(x)$는 기저함수로서, 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.

여기에서

이다^[8].

B-spline 보간법은 각 기저함수가 국부적인 데이터를 근사한다는 장점이 있다. 각 버스에서 관측된 주파수의 일부 구간에서 큰 변동이 발생될 경우에도, B-spline 보간법은 적절하게 평활화할 수 있으므로 강건한 추정에 장점이 있다.

Fig. 1은 5차 다항식 근사와 B-spline 보간법에 따른 주파수 평활화의 결과를 비교한다. 주어진 측정데이터에 B-spline 보간법을 이용하여 3차 기저함수, 10개의 노트 설정을 통해 피팅을 진행하였다. Fig. 1에서 보듯이 B-spline 보간법이 5차 다항식 근사 방안에 비해 주파수 데이터의 국부적인 변화를 적절히 포착한 평활화 곡선을 제공하고 있음을 확인할 수 있다.

Fig. 1. Comparison of interpolation results of frequency data using between the fifth order polynomial and the B-spline methods

2.3부트스트랩을 이용한 추정값 정밀성 분석

부트스트랩(Bootstrap) 방법은 주어진 데이터로부터 재 표집을 통해 모집단의 분포를 추정하는 몬테카를로 방법이다^[7]. 관성 계수를 구하는 방안에 부트스트랩을 적용할 경우, 전력계통 관성 계수의 점 추정값을 구하는 것을 넘어, 추정된 관성 계수의 신뢰구간도 평가할 수 있다. 부트스트랩 방법을 관성 계수 추정에 이용함으로써 다음과 같은 장점을 얻을 수 있다. 먼저 여러 관성 계수 추정 방법의 정확성을 비교할 수 있다. 즉, 신뢰할 수 있는 관성계수 추정 방법은 부트스트랩을 통해 얻은 $\hat{H}_{sys}$의 신뢰구간과 중위값이 실제 관성 계수 참값 $H_{sys}$과 매우 근접할 것이다. 따라서 이를 통해 사용된 추정 방안의 정확성을 평가할 수 있다.

둘째로 부트스트랩 방법을 통해 추정된 $\hat{H}_{sys}$값의 분산을 통해 추정 방안의 정밀성을 평가할 수 있다. 부트스트랩 방법을 통해 구한 $\hat{H}_{sys}$의 분포가 지나치게 꼬리가 긴 분포라면, 이는 관성 계수의 추정이 표본의 선택에 따라 크게 변동되는 불안정한 추정값을 의미한다. 반대로 꼬리가 좁은 분포를 나타낸다면 이는 관성 계수 추정이 안정적임을 나타낸다. 따라서 부트스트랩 신뢰구간의 길이를 통해 정밀성을 비교 및 평가할 수 있다. 또한 이를 기반으로 관성 계수 추정 결과의 정밀성을 개선하기 추가적인 데이터의 필요성에 대한 판단을 내릴 수 있다.

본 논문에서도 백분위수 부트스트랩 방법을 채택하여 다음 알고리즘에 따라 계통 관성 계수 $\hat{H}_{sys}$에 대한 분포를 추정하였다.

알고리즘

i. 미리 정한 부트스트랩 반복수에 대해 ii.∼ iv.의 절차를 반복한다.

ii. 측정구간에서 $T$ 개의 데이터로부터 $\left\{\left(t_{i},\: f_{i,\: 1},\: ...,\: f_{i,\: n},\: P_{e,\: i,\: 1},\: ....P_{e,\: i,\: n},\: P_{m,\: i,\: 1},\: ...P_{m,\: i,\: n}\right)\right\}_{i=1,\: ...T}$ 중복을 허용하여 T개의 데이터를 재표집한다.

iii. 재표집한 데이터를 B-spline 보간법을 이용하여 주파수 및 유효전력 데이터를 평활화한다.

iv. 식 (1)과 (2)를 이용하여 각 $i$시점 에 대한 계통 관성 계수를 추정하고, $b$번째 부트스트랩 샘플에 의한 계통 관성 계수 $H_{sys,\: b}$ 를 구한다.

v. 각 $b=1,\: ...B$ 에 구한 $H_{sys,\: b}$ 값들에 대한 분윗값들을 이용하여, 계통 관성계수에 대한 95% 신뢰구간, 99% 신뢰구간 등을 구한다.

3.1 잡음 없는 환경에서의 추정

주파수 데이터의 취득을 위해 WSCC 시스템의 버스 6에 연계된 부하의 크기가 1초에 20% 증가되는 상황을 고려하여 10초 동안 시뮬레이션을 수행하였다. 시뮬레이션으로부터 얻어진 발전기의 주파수($f$), 기계적 입력($\begin{matrix}P_{m}\end{matrix}$)과 전기적 출력($\begin{matrix}P_{e}\end{matrix}$)을 이용하여 (1) 20개의 동일 간격 노트를 적용한 B-spline 보간법, (2) 5차 다항식 근사화, (3) 25차 다항식 근사화 방안으로 각각 계통 관성 계수 추정을 수행하였다. 또한 부트스트랩 기법을 활용하여 신뢰구간을 파악함으로 각 평활화 방안별 추정값의 정밀성에 대해서 비교하였다. 각 방안별 관성 계수 추정값의 결과는 Table 2에 나타내고 있다.

Table 2와 Fig. 3에서 확인할 수 있듯이, B-spline 보간법을 활용한 방안이 계통 관성계수($H_{sys}$)을 가장 정확하게 추정하며 신뢰구간이 좁아 정확성과 정밀성이 모두 우수한 결과값을 보이고 있다. 이에 반해 전통적인 관성 계수 추정 논문에서 사용되었던 5차 다항식은 99% 신뢰구간에서도 $H_{sys}$를 포함하지 못하는 매우 낮은 정확성을 보여 주었다. 25차 다항식은 5차 다항식보다 정확성과 정밀성이 상당히 개선된 성능을 나타낸다. 하지만 B-spline 기법과 비교하여 25차 다항식 방안은 더 많은 파라미터를 사용함에도 정확도와 정밀성이 모두 낮은 수준을 보였다. 이는 비슷한 개수의 파라미터를 사용할 때, 국부적 변동을 보다 잘 포착하는 B-spline 기법이 우수하며 적절한 방안임을 잘 보여준다고 할 수 있다.

Fig. 3. Bootstrap distribution of estimated system inertia coefficients with B-spline(Blue) and 25th-order polynomial(Green) interpolations [Red dash line : True system inertia constant(16.142 sec)]

3.2 잡음 환경에서의 추정

두번째 사례연구에서는 주파수 데이터에 잡음이 섞인 상황에서 관성 계수를 추정하였다. 세 가지 종류의 다른 형태의 잡음이 추가된 데이터를 고려하여 추정을 진행하였다. 각각의 잡음은 서로 다른 첨도(kurtosis)를 가진다. 첨도는 분포의 뾰족한 정도를 나타낸 지표로서 식 (6)과 같이 정의된다^[10]. 작은 첨도 값은 평평한 확률밀도함수에, 큰 첨도 값은 뾰족한 확률밀도함수에 대응된다.

한편 세 종류의 잡음이 원래 데이터로부터 양 또는 음의 크기로 편향되지 않기 위해 평균값은 0으로 설정되었으며, 세 종류의 잡음에 대해 동일한 수준의 변동을 보장하기 위해 표준편차도 고정된 수치 0.0006Hz로 설정하였다.

동일한 평균과 표준편차를 가지지만 서로 다른 첨도를 보이는 잡음은 일반화된 정규분포에서 형상모수(shape parameter, $β$)를 구분하여 표현된다. 일반화된 정규분포에서 첨도는 형상모수인 $β$ 만의 함수로 $β$ 값이 클수록 첨도가 커지는 특성을 가진다. 따라서 잡음의 평균을 0으로 두고, 표준편차($σ$)를 0.0006Hz로 고정하고 첨도에 대응하는 $β$에 따라 세 개의($\beta =1,\: 2,\: 20$) 서로 다른 첨도를 보이는 잡음에 대한 확률분포를 이용하여 잡음을 추출하였다. 이를 통해 얻어진 잡음 히스토그램은 Fig. 4와 같다. 여기에서 $\beta =2$인 경우는 정규분포에 해당된다.

Fig. 4. Noise histogram with different Kurtosis values

Fig. 5는 1번 버스에 위치한 발전기의 주파수 데이터에 각각 서로 다른 첨도 값 $β$ = 1, 2, 20에 따른 잡음이 섞인 주파수 테이터를 보여주고 있다. 잡음의 평균값이 동일하지만 첨도와 $β$값이 큰 경우에 산발적으로 매우 큰 노이즈가 발생되고, 반대로 첨도 작을수록 노이즈 크기가 전반적으로 고르게 나타나고 있음을 Fig. 5에서 확인할 수 있다.

Fig. 5. Frequency data in time with different Kurtosis values in noisy environments

Table 3과 4 및 Fig. 6에 보인 것과 같이 세 종류의 잡음 케이스 모두에서 B-spline 보간법을 통해 추정된 관성 계수 값이 25차 다항식을 이용한 결과와 비교하여 참값에 근접한 결과를 보이고 있다. 정확도 측면에서 B-spline 보간법을 활용한 추정 케이스들은 모든 잡음에 대해 다항식 방안보다 참값에 매우 근접한 관성 계수를 추정하였다. 또한 정밀도 측면에서도 B-spline 보간법을 통한 추정값은 다항식으로 추정한 값들보다 좁은 신뢰구간의 폭으로 분포되어 더 정밀한 추정 방법이라고 평가할 수 있다.

Fig. 6. Bootstrap distribution of estimated system inertia coefficients with B-spline(Blue) and 25th-order polynomial(Green) interpolations in noisy environments[Red dash line : True system inertia constant(16.142 sec)]