2.1 교류 부하조류 기법

뉴턴-랩슨 기반 교류 부하조류 기법은 비선형 연립 방정식을 반복 계산법으로 해결한다. 이 기법은 선형화 단계에서 변화량의 계수로 구성된 자코비안 행렬을 사용하고 자코비안 역행렬과의 계산을 통해 모든 변수값을 수정할 수 있는 특징이 있다^[3].

2.2 직류 부하조류 기법

뉴턴-랩슨 기반의 직류 부하조류 기법은 교류 부하조류 기법과 유사하지만, 양극형 직류 전력 네트워크, 연계용 컨버터 및 DC/DC 컨버터 등 직류 전력 네트워크의 요소들이 고려한다. 즉, 저항분만 고려한 선로 데이터를 통해 인덕턴스 행렬을 산정하고, 무효 전력과 위상각을 무시한다^[5].

3.1 모선의 종류

기존의 교류 부하조류 기법에서는 모선이 Slack, AC Load, 및 AC Gen으로 3개만 존재하였지만, 제안된 기법은 Slack, AC Load, AC Gen, AC Converter, DC Gen, DC Load 및 DC Converter 등, 하이브리드 전력 네트워크에 존재할 수 있는 7가지의 모선을 고려하였다^[11].

3.2 선로 연결 유형별 전력 방정식

Fig. 1은 제안된 기법의 5가지 선로 연결 유형을 나타낸다. 해당 모선들과 선로의 컨버터 종류 및 유무에 따라 총 5가지의 선로 연결 유형으로 확대하여 부하조류 기법을 설계하였다.

Fig. 1. Line connection type of the proposed technique

유형 1의 유효전력 및 무효전력은 일반적인 교류 전력방정식과 같으며 식 (1)과 같이 계산된다.

여기서, $P_{nm}$은 교류 선로에서의 $n$과 $m$ 모선 사이의 유효전력, $Q_{nm}$은 교류 선로에서의 $n$과 $m$ 모선 사이의 무효전력, $V_{n}$은 $n$ 모선에서의 전압 크기, $V_{m}$은 $m$ 모선에서의 전압 크기, $g_{nm}$은 $n$과 $m$ 모선 사이의 컨덕턴스, $b_{nm}$은 $n$과 $m$ 모선 사이의 서셉턴스, 및 $\theta_{nm}$은 $n$과 $m$ 모선 사이의 전압 위상 차이를 의미한다.

유형 2의 유효전력은 전력변환기의 영향을 받아 전압에 변환효율 M을 반영하며, 직류 선로이므로 저항분만 고려하여 식 (2)와 같이 계산된다.

여기서, $P_{nm}^{DC}$는 직류 선로에서의 $n$과 $m$ 모선 사이의 유효전력, $M_{nm}^{-1}$은 $n$과 $m$ 모선 사이에 연결된 전력변환기의 변환 지수의 역수를 의미한다.

유형 3과 유형 4의 유효전력은 전력변환기의 영향을 받아 전압에 변환효율 M을 반영하여 식 (3) 및 식 (4)와 같이 계산된다.

유형 5의 유효전력은 두 직류 모선이 직류 선로를 통해 연결되었으므로, 선로의 저항분만 고려하여 식 (5)와 같이 계산된다.

3.3 미지값 벡터 및 전력 불일치 벡터

미지값 벡터 $x$는 식 (6)과 같이 열벡터로 계산된다. 이는 각 모선의 미지값인 위상각 $\theta$, 모선 전압의 크기 $V$, 컨버터의 변환 지수 $M$, 및 듀티비 $D$를 모선의 번호에 따라 차례로 나열된다. 그런데, DC Gen 모선은 미지값이 없고, Slack 모선의 미지값 유효전력과 무효전력은 전력 및 전력손실의 합계를 거쳐 계산된다.

여기서, $n,\: h,\: i,\: p,\: r$은 각 해당 모선의 번호를 의미한다.

전력 불일치 (Power mismatch) 벡터 F(x)는 식 (7)과 같이 열벡터로 계산된다.

식 (6)과 식 (7)을 이용하여 자코비안 행렬은 식 (8)과 같이 계산된다.

3.4 설계 및 구현

Fig. 2는 제안된 기법의 흐름도를 나타낸다. 제안된 하이브리드 부하조류 기법은 첫째, 교류, 직류 모선 및 선로 데이터를 읽는다. 둘째, 미지값들 (전압, 위상각, 변환지수, 듀티비)을 1로 모두 초기화하고, 허용오차 $\epsilon$, 총 반복횟수 $k$를 적절하게 설정한다. 셋째, 어드미턴스 행렬을 계산한다. 넷째, 각 모선의 유효전력 및 무효전력을 계산한다. 다섯째, 발전기의 한계값을 확인하여, 한계를 초과할 경우에는 발전기 전력값을 업데이트한다. 여섯째, 유효전력 및 무효전력 변화량을 계산한다. 일곱째, 계산된 유효 및 무효전력의 변화량을 벡터 형태로 변경하기 위하여, 전력 불일치 벡터 F(x)를 계산한다. 여덟째, 만약 전력 변화량의 최대값이 허용오차보다 클 경우, 자코비안 행렬을 계산한다. 자코비안 행렬을 위하여, 미지값들을 계산하고 업데이트한다. 유효 및 무효전력의 계산을 반복한다. 그렇지 않을 경우, 허용오차보다 작을 경우, 전력조류 값들과 전력 손실 등을 계산하여 출력하고 종료한다.

Fig. 2. Flow chart of the proposed technique

Fig. 3은 제안된 기법의 설계 블럭도를 나타낸다. 6개의 사용자 정의 함수로 계산된 데이터를 제안된 하이브리드 부하조류 기법을 통해서 대상의 조류해석을 위한 계산을 수행하게 된다. 제안된 기법은 MATLAB을 이용하여 구현하였다.

Fig. 3. Design block diagram of the proposed technique

4.1 사례연구

제안된 하이브리드 부하조류 기법은 IEEE의 AC 9 Bus, DC 5 Bus 및 하이브리드 13 Bus 모델을 대상으로 시뮬레이션을 수행하였다. 총 반복횟수는 100회, 허용오차는 10$e^{-7}$으로 동일하게 설정하였다.

Fig. 4는 AC 9 Bus 모델의 교류 부하조류 기법 결과를 나타낸다. 총 반복횟수는 4회, 실행시간은 0.080s, 유효전력 손실 4.641MW, 무효전력 손실 48.38MVar로 나타났다.

Fig. 4. Result of AC load flow technique in AC 9 Bus model

Fig. 5는 AC 9 Bus 모델의 제안된 부하조류 기법 결과를 나타낸다. 총 반복횟수는 4회, 허용오차는 6.86$e^{-7}$, 실행시간은 0.107s, 유효전력 손실 4.641MW, 무효전력 손실 58.33MVar로 나타났다.

Fig. 5. Result of Hybrid load flow technique in AC 9 Bus model

Fig. 6은 DC 5 Bus 모델의 직류 부하조류 기법 결과를 나타낸다. 총 반복횟수는 4회, 허용오차는 1.51$e^{-10}$, 실행시간은 0.021s, 유효전력 손실 4.517MW로 나타났다.

Fig. 6. Result of DC load flow technique in DC 5 Bus model

Fig. 7은 DC 5 Bus 모델의 제안된 부하조류 기법 결과를 나타낸다. 총 반복횟수는 4회, 허용오차는 1.74$e^{-11}$, 실행시간은 0.071s, 유효전력 손실 4.575MW로 나타났다.

Fig. 7. Result of Hybrid load flow technique in DC 5 Bus model

Fig. 8은 하이브리드 13 Bus 모델의 제안된 부하조류 기법 결과를 나타낸다. 총 반복횟수는 5회, 허용오차는 2.06$e^{-7}$, 실행시간은 0.11s, 유효전력 손실 1.843MW, 무효전력 손실 0.42MVar로 나타났다.

Fig. 8. Result of Hybrid load flow technique in Hybrid 13 Bus model

Fig. 9는 하이브리드 13 Bus 모델을 대상으로 제안된 하이브리드 부하조류 기법의 부하조류 결과를 나타낸다. 각 모선 사이에 흐르는 전력을 확인할 수 있다. 가장 큰 손실은 선로 6-13에서 1.1858MW이며, 손실이 가장 작은 선로는 선로 7-13의 경우 0.0003MW이다.

Fig. 9. Result of load flow in Hybrid 13 Bus model

4.2 성능 비교

제안된 하이브리드 부하조류 기법의 비교를 위한 정확도는 식 (8)과 같이 계산된다.

Table 1은 AC 9 Bus 모델에 대한 종래의 교류 부하조류 기법과 하이브리드 부하조류 기법의 결과의 비교를 나타낸다. 제안된 기법과 교류 부하조류 기법의 전압 및 위상이 모두 일치하여 100%의 정확도가 나타났다. 그러나 종래의 교류 부하조류 기법의 계산시간은 0.080s, 제안된 기법의 계산시간은 0.107s로 다소 길었다.

Table 2는 DC 5 Bus 모델에 대한 종래의 직류 부하조류 기법과 하이브리드 부하조류 기법의 결과의 비교를 나타낸다. 제안된 기법과 직류 부하조류 기법의 전압 및 위상이 모두 일치하여 100%의 정확도가 나타났다. 그러나 종래의 직류 부하조류 기법의 계산시간은 0.021s, 제안된 기법의 계산시간은 0.071s로 다소 길었다.

Table 3은 하이브리드 13 Bus 모델의 시간영역 해석 기법인 PSCAD와 페이저 영역 해석 기법인 본 하이브리드 부하조류 기법의 결과의 비교를 나타낸다. 전압은 최소 0.0004P.U.에서 최대 0.001P.U.의 차이, 위상은 최소 0.0165°에서 최대 0.4024°의 차이이다. 제안된 기법의 전압과 위상의 정확도 최소값은 각각 99.90%, 99.78%로 나타났다.