1. 서 론

Fig. 1은 2모선 단거리 송전선이다. 선로 임피던스를 $R+j X$ 라 하고, 선로전류의 크기와 부하역률(lagging)을 각각 I 및 cosθ 라 하면, 송전단 전압 $E$ 가 주어졌을 때 수전단 전압 $V$를 구하는 방법을 검토해 본다.

송전단 전압 $E$ 와 수전단 전압 $V$ 사이에 Ohm 의 법칙을 적용하여, 전압강하를 포함하는 식을 세우면:

를 얻는다. Ohmic calculation은 Nodal equation과 더불어 완벽한 해를 얻을 수 있는 고전적인 방법이지만^{[1, 2]}, 복소수를 포함하는 복잡한 계산이 필요하다.

대규모 전력 계통의 컴퓨터 연산이 가능한 조류계산(Power flow)은 정확한 해를 도출하는 검증된 tool이다^[3].

그러나, 어드미턴스 행렬 구성, parameter 값의 p.u. 변환, 초기치 지정 등 전력 계통과 프로그램에 대한 많은 전문지식이 요구된다.

최근 발표된 Voltage-Power equation은^[4] 모선 전압 $E ,\: V$와 부하전력 $P ,\: Q$ 및 선로 어드미턴스$\dot{Y}=G-j B$ 사이의 아래 관계식으로 송수전단 전압을 계산할 수 있지만, 4차 방정식을 풀어야 하는 어려움이 있다.

Voltage-Power equation은 계산 결과가 정확한 장점은 있지만 부하 점이 두 개 이상의 경우 부하점 사이의 전력손실이 포함되어 계산이 복잡해지는 단점이 있는데, 이 전력손실을 수식에서 배제시킨 Simplified Voltage-Power equation을 사용하여, 계산량을 줄이는 방법도 개발되었다^[5].

Ajjarapu는 무손실 2모선 계통을 가정하여 아래와 같은 약식을 발표하였다.

그러나 이 식은 선로 저항이 무시되어 있으므로 송전계통의 전압안정도를 분석하기 위한 $P-V$ curve를 얻는데 사용되고, 저항 성분을 무시할 수 없는 배전계통에 적용될 경우 오차가 발생한다^[6].

전선로와 부하의 신규 설치 또는 증설시 선로의 전압강하를 계산하는 일이 필수적이나, 배전선로의 긍장이나 자재선택 등이 아직 확정되지 않은 설계단계에서의 계산값은 대략값에 불과하고 정확한 계산값이 큰 의미가 없으므로, 산업현장의 실무자들은 복잡한 수식과 어려운 프로그램보다는 간단한 수식을 공학용 계산기로 손쉽게 푸는 방법을 선호한다. 따라서, 다음에서 설명하는 ‘등가저항법’을 널리 사용해 왔다.

Fig. 2의 Vector diagram으로부터, 식 (5)와 같은 근사식을 얻는다.[Appendix A]

3상 회로의 경우,

가 된다. 여기서,

항을 ‘등가저항’ 이라 부른다^[7-11].

등가저항법에 따른 전압계산 방법은 부하가 정전류로 주어지고 해가 근사해라는 점과, 식 (7)의 $R\cos\theta +X\sin\theta$ 항이 영의 값을 가지는 특수한 경우 solution을 신뢰할 수 없는 문제점이 있지만^[12],

- 수식이 1차 함수로 간단하게 표현되며

- 근사식임에도 불구하고 solution이 실용상 지장이 없는 정확도를 가지는 점

- 공학용 계산기로 쉽게 현장 계산이 가능한 점 등 많은 장점이 있다. 공학용 계산기를 이용하여 부하점의 전압과 선로의 전압강하를 계산하는 배전 실무현장에서는 등가저항법이 널리 쓰여 왔다. 기술사 문제로도 빈번히 출제되고 있고^{[7, 8]}, IEC 60364도 전압강하 계산에 등가저항법 공식 (5), (6)을 제시하고 있다^{[13, 14]}.

Fig. 1은 부하가 하나밖에 없는 2모선 시스템이므로 전류 I 는 선로전류인 동시에 부하전류이며, cosθ 또한 부하역률인 동시에 선로전류의 역률이다. 따라서, Fig. 1의 경우에는 주어지는 부하전류 I 와 부하역률 $\cos\theta$ 및 $\sin\theta$ 값을 그대로 공식에 대입하면 쉽게 부하점 전압 V를 얻을 수 있다.

그러나, 부하 점이 두개 이상인 경우, 식 (5), (6)의 I 는 특정한 부하 점에 주어진 부하전류가 아니라 각각의 부하를 실수부 및 허수부로 나누어 복소수 합산한 선로전류의 절대값(=선로전류의 크기, 피상전류)이며, $\theta$ 또한 이 합성전류의 역률각을 의미함을 유의하여야 한다. 이처럼 기존의 등가저항법에 따른 공식을 이용하는 데 있어서는, 선로전류의 크기와 선로전류의 $\cos\theta$, $\sin\theta$ 값을 올바로 계산하는 것이 중요하다.

그러나, 오랫동안 실무현장에서 당연한 것으로 여겨 왔던 기존의 등가저항법 공식 (5), (6)을 저자들이 재검토한 결과, $\cos\theta$, $\sin\theta$ 값을 계산하는 과정에서 선로전류 값 I 가 또 다시 인용(引用)되고 있음을 발견하였다.

본 논문은 기존의 등가저항법 공식에서 선로전류의 크기 I 가 $\cos\theta$ 및 $\sin\theta$ 의 분모와 중복되고 있는 점에 착안하여, 약분을 통하여 기존 공식의 $\cos\theta$ 및 $\sin\theta$ 항을 소거시킨 수정된 공식을 제시하고, 여러 개의 부하 점을 가진 배전계통에 적용하여 기존 공식을 사용한 계산 결과와 비교함으로써, 제시된 공식의 효용성을 검증하고자 한다.

2. 기존의 등가저항법 공식을 이용한 배전선로의 전압계산 예제

Fig. 3과 같이 S 점에서 두 부하점 A, B에 E=22.9 kV 3상 전압을 공급하는 배전 선로를 가정하고 A, B 점의 전압 VA, VB 를 구해 본다. ISA는 S점과 A점 사이의 선로전류이며, IAB 는 A점과 B점 사이의 선로전류이다. A점의 부하는 15 A(역률 1.0)이며, B점의 부하는 34-j36 A 이다^{[15, 16]}.

기존의 등가저항법 공식 (6)을 이용하여 전압 VA, VB 를 계산해 본다. 식 (6)에 대입할 데이터를 Table 1에 정리하였다^[4]. $I_{Re}$ 및 $I_{i m}$은 각 전류의 유효분 및 무효분이다.

Table 1의 데이터를 기존 공식 (6)에 대입하여 A점의 전압 VA를 구하면:

식 (8)에는 다음과 같이 계산된 세 개의 데이터 $I_{SA},\: \cos\theta_{SA},\: \sin\theta_{SA}$ 가 Table 1의 $I_{SA}$ column에서(bold 체) 인용되었음을 볼 수 있다.

기존 공식 (8)에 인용된 Table 1과 식 (9)의 데이터는 다음과 같은 세 단계를 거쳐 만들어진다.

단계 1 : 선로전류의 유효분 및 무효분 계산

IA, IB 의 실수부 및 허수부를 합산하여 선로전류 ISA의 유효분 49 및 무효분 36을 구한다.

단계 2: 선로전류의 크기(피상전류) 계산

Table 2의 ISA의 유효분 49 및 무효분 36으로 ISA의 크기(피상전류) 60.8을 구한다.

단계 3: 선로전류의 $bold\cos\theta$ 값 및 $bold\sin\theta$ 값 계산

ISA의 유효분 49를 단계 2에서 구한 ISA의 크기(피상전류) 60.8로 나누어 역률 $\cos\theta_{SA}=$ .806을 구한다.

ISA의 무효분 36을 단계 2에서 구한 ISA의 크기 60.8로 나누어 $\sin\theta_{SA}=.592$를 구한다.

같은 방법으로 B점의 전압 VB를 구하면:

를 얻는다.

식 (10)에는 세 개의 데이터 $I_{AB},\: \cos\theta_{AB},\: \sin\theta_{AB}$가 Table 1의 $I_{AB}$ column 에서(bold 고딕체) 인용되었음을 볼 수 있다. 이들 데이터 또한 식 (9-1), (9-2) 및 (9-3)과 같은 세 단계의 작업을 거쳐 만들어진 것이다.

3. θ항이 없는 수정된 등가저항법 공식

Fig. 1과 같은 2모선 시스템에서 전류 I 는 선로전류인 동시에 부하전류이며, cosθ 또한 부하역률인 동시에 선로전류의 역률이기도 하다.

그러나, Fig. 3과 Table 1 및 식 (8)에서 보는 바와 같이, 부하 점이 둘 이상일 경우, 식 (8)의 ISA는 각 부하의 복소수 계산으로 합성된 선로전류이며, $\cos\theta_{SA}$ 또한 특정한 부하에 주어진 역률값이 아니라 합성 선로전류의 역률임을 유의하여야 한다.

Table 1에서 보는 바와 같이, 기존의 등가저항법은 VA를 구하는 식 (8)에 대입되는 데이터를 만들기 위해 A, B점 부하전류의 복소수 합산을 통하여 선로전류의 유효분 $I_{Re}$= 49 및 무효분 $I_{i m}$= 36을 구하고, 식 (9)에서 보는 바와 같이 $I_{Re}$ 및 $I_{i m}$ 값으로 선로의 피상전류 ISA와 $\cos\theta_{SA}$ 및 $\sin\theta_{SA}$ 값을 계산하였다.

그런데, 식 (9)를 살펴보면,

로서 피상전류 $I_{SA}=\sqrt{I_{Re}^{2}+I_{i m}^{2}}$가 $\cos\theta_{SA}$ 와 $\sin\theta_{SA}$ 의 분모에도 똑같이 나타나고 있음을 볼 수 있다.

즉, 식 (11)의 관계를 식 (8)에 대입하면,

가 되는데, 식 (12) 괄호 밖의 $\sqrt{I_{Re}^{2}+I_{i m}^{2}}$ 항이 괄호 안의 분모에도 똑같이 나타나고 있다.

cosθ 및 sinθ 항의 소거 :

식 (12)에서 괄호 밖의 $(I_{SA}=)\sqrt{I_{Re}^{2}+I_{i m}^{2}}$ 을 괄호 안으로 삽입하면

로 약분된 식을 얻게 된다. 그런데, 식 (13)을 보면 기존의 공식 (8),(12)에 있던 $\cos\theta_{SA}$ 및 $\sin\theta_{SA}$ 항과 선로의 피상전류 $I_{SA}$항이 사라지고 없다.

즉, 수정된 식 (13)은 선로전류의 유효분 $I_{Re}$와 무효분 $I_{i m}$값만 식에 대입하면, 피상전류 $I_{SA}$와 $\cos\theta_{SA}$ 및 $\sin\theta_{SA}$값을 따로 계산하지 않아도 VA를 바로 구할 수 있음을 의미한다.

그리고, $I_{Re}$ 및 $I_{i m}$ 은 Table 1과 Table 2에 나타난 바와 같이, 기존 공식 (6)을 사용하는 경우에도 피상전류를 구하기 위하여 만들어져야 하는 데이터이며, (2의 단계1) 식 (13)에서 새롭게 등장한 변수가 아니다.

따라서, 기존의 등가저항법 공식 (5), (6)은 다음과 같이 cosθ 및 sinθ 항이 없는 간단한 공식으로 수정될 수 있다.

단상회로의 경우:

3상 회로의 경우,

여기서,

항은 두 모선 사이의 전압강하로 해석될 수 있다.

4.수정된 등가저항법 공식을 이용한 전압계산

수정된 공식 (15)를 이용하여 Fig. 3 배전선로의 전압 VA, VB 를 다시 계산해 본다. 식 (15)에 대입할 데이터를 Table 5에 정리하였다.

Table 5는 Table 1의 첫째 및 둘째 행($I_{Re}유효분$, $I_{i m}무효분$)과 완전히 동일하며, 단계 1의 Table 2와 유사하다.

Table 5의 데이터를 수정된 공식 (15)에 대입하여 A점의 전압 VA를 구하면:

식 (16)에는 Table 5, ISA column의 두 개의 데이터가 (bold 고딕체) 인용되고 있다.

B점의 전압 VB는:

가 된다.

식 (17)에는 Table 5, IAB column의 두 개의 데이터가 (bold 고딕체) 인용되고 있다.

수정된 공식 (15)에 의한 solution 식 (16), (17)이 기존의 공식 (6)에 의한 연산결과 (8), (10)과 정확하게 일치하고 있다.

기존 공식 (6)은 선로전류의 유효분 $I_{Re}$ 및 무효분 $I_{i m}$ 로부터 세 개의 추가 데이터, 즉, Table 3 및 Table 4의 피상전류 I 및 cosθ, sinθ 값을 추가로 계산하는 세 단계의 데이터 생성작업이 필요한 반면, 본 논문에서 제시된 수정된 공식 (15)를 이용하면, 식 (16), (17)에 나타난 바와 같이, 선로전류의 유효분 $I_{Re}$ 및 무효분 $I_{i m}$ 데이터 만을 대입하여 동일한 solution 을 간단하게 얻을 수 있다. 피상전류 I 와 cosθ, sinθ를 계산하는 2의 단계 2와 단계 3의 과정이 필요 없다.

특히, $\cos\theta$ 및 $\sin\theta$ 값 계산은, 수정된 공식을 사용할 경우 전혀 필요치 않은 작업이다. Appendix B 에 도시된 3개 부하 점의 경우를 보면^{[15, 16]}, 기존의 공식과 수정된 공식의 차이가 더욱 분명해진다.

5. 조류계산 프로그램을 이용한 두 부하점의 전압계산 결과 비교^[16]

Fig. 3 계통을 조류계산으로 풀고자 할 경우,

와 같은 여섯 개의 수식을 세우게 된다. 여기서, PS 및 QS는 slack 모선(급전점 S)에 유입되는 유무효 전력을 의미하며 $\theta_{S}$,$\theta_{A}$,$\theta_{B}$는 급전점 S 및 부하점 A, B의 위상각을 나타낸다.

등가저항법에서 부하의 크기는 P,Q 값이 아닌 정전류 값으로 주어지므로, k 부하모선의 전류를 $\dot{I_{k}}=$$I_{k_{Re}}+ j I_{k_{im}}$라 하면, 부하모선의 전류와 전력 $P_{k},\: Q_{k}$ 사이에는

의 관계가 있다. (18),(19)로 연산을 실행하면 미지의 부하전압 $V_{k}$를 얻을 수 있다^[17].

주어진 부하전류 $I_{A}=15+j0$ 및 $I_{B}=34+j36$을 대입하고 초기치 θS=0, VS=1.0 pu로 조류 계산을 수행한 결과

의 해를 얻었다^{[16, 17]}.

Table 6에 등가저항법 공식 (6), 본 논문에서 제시된 수정된 등가저항법 공식 (15) 및 조류계산에 의한 계산 결과 (20)을 정리하였다.

등가저항법에 의한 계산 결과가 조류 계산 결과에 비해 0.0003% 정도의 오차를 보이고 있다.

6. 결 론

본 논문은 선로의 피상전류 값이, 선로전류의 $\cos\theta$ 및 $\sin\theta$ 의 분모에도 똑같이 나타나고 있는 점에 착안하여, 약분을 통하여 기존 등가저항법 공식의 $\cos\theta$ 및 $\sin\theta$ 항을 소거시킨 수정된 공식을 제안하였다.

기존의 등가저항법 공식은 선로전류의 실수부 및 허수부를 복소수 계산한 다음, 이들 값으로부터 선로전류의 크기와 cosθ 및 sinθ 값을 따로 생성하는 작업이 필요하지만, 본 논문에서 제안된 수정된 공식은 선로전류의 실수부 및 허수부 값 자체만을 대입하여 동일한 solution을 얻을 수 있다.

즉, 본 논문에서 제시된 수정된 등가저항법 공식은 선로의 피상전류 계산이 필요 없고 역률각 cosθ 및 sinθ 계산이 필요 없으므로 수식이 더 간단해지고 수식의 개수가 크게 줄어듦으로써 solution을 얻기 위한 계산 시간과 계산과정의 Human error를 줄일 수 있다.

두 부하 점의 전압계산 결과, 수정된 공식을 적용하여 얻은 solution이 기존 공식으로 얻은 solution과 정확하게 일치하였다.

세 부하 점을 가진 배전선로의 사례연구를 통하여, 기존의 공식을 사용할 경우 solution을 얻기 위하여 12개의 수식이 필요한 반면, 수정된 공식의 경우 세 개의 수식만으로 동일한 solution을 얻을 수 있음을 확인하였다.

Appendix A : Vector diagram

Fig. 2 의 vector diagram 으로부터,

를 얻는다. 일반적으로,

의 관계에 있으므로 식 (A1)은 다음과 같이 근사화 될 수 있다.

가 된다. $I(R\cos\theta +X\sin\theta)$ 항은 두 모선사이의 전압강하로 볼 수 있다.

Appendix B : 3개의 부하점을 가진 배전선의 전압계산 수식 비교^[15]

Fig A1 과 같이 세 개의 부하점 A, B, C 에 $V_{S}=24$V 를 공급하는 단상 배전선로에서, 전압 $V_{A},\: V_{B},\: V_{C}$ 를 구하기 위하여

기존의 등가저항법 공식 (5)에 의한 방법 수정된 공식 (14)에 의한 방법으로 각각 수식을 세워본다.

1. 기존의 등가저항법 공식 (5)를 사용한 수식 세우기

단,

단,

단,

2. 수정된 공식 (14)를 이용한 수식 세우기

기존의 등가저항법 (5)를 사용할 경우, Fig. A1 에 주어진 Raw data $(I_{A}=)I_{A_{Re}}+j I_{A_{i m}}$, $(I_{B}=)I_{B_{Re}}+j I_{B_{i m}}$ 및 $(I_{C}=)I_{C_{Re}}+j I_{C_{i m}}$ 로부터 피상전류, $\cos\theta$ 및 $\sin\theta$ 값을 얻기 위하여 식 (A4-1), (A5-1), (A6-1)을 이용한 아홉 개의 데이터 생성작업이 추가로 필요하며, 식 (A4), (A5), (A6) 와 더불어 총 12개 line의 복잡한 수식연산을 필요로 한다.

그러나, 수정된 등가저항법 공식 (14)를 이용하면 Fig. A1에 주어진 Raw data $(I_{A}=)I_{A_{Re}}+j I_{A_{i m}}$, $(I_{B}=)I_{B_{Re}}+j I_{B_{i m}}$ 및 $(I_{C}=)I_{C_{Re}}+j I_{C_{i m}}$ 을 (A7), (A8), (A9) 의 세 개의 간단한 수식에 대입하는 것만으로 동일한 solution을 얻을 수 있다.