2.1 VFT 구성 및 원리

VFT 구조는 Fig. 1과 같이 회전형 변압기, 모터 드라이브, 콜렉터 시스템으로 이루어져 있다. 회전형 변압기는 전력교환에 사용되고, 모터 드라이브는 회전형 변압기에 기계적으로 연결되어 있어, 회전형 변압기에 토크를 인가하고, 고정자에 상대적 회전자 위치를 조정한다. 이를 통해 전력전송의 크기와 방향을 조절할 수 있다. 콜렉터 시스템은 회전자 권선과 연결된 모선 사이에 전류를 전도한다^[8].

Fig. 2는 VFT의 동작원리를 나타낸 그림이다. 전력계통 1이 스테이터 측에 연결된 상태에서 드라이브 모터를 $\omega_{m}$의 속도로 회전하여 로터 측에 연결된 전력계통 2의 주파수를 제어함으로써 비동기 계통연계가 가능하다. 로터 측에서 출력되는 전력은 스테이터 측 전력과 로터의 회전속도 및 회전방향에 상대적이다. 전력계통 1 및 전력계통 2의 주파수가 60Hz로 동일한 주파수이면, 드라이브 모터가 고정되어 변압기와 유사하게 동작한다. 전력계통 2의 주파수가 55Hz로 변동하게 되면, 드라이브 모터는 5Hz로 회전한다.

2.2 VFT 모델링

Fig. 3은 VFT를 통한 계통연계의 개념도로 Power System #1은 고정자, Power System #2는 회전자에 연결되어 두 개의 전력계통을 연결하게 된다.

VFT를 통한 출력전력은 회전자 및 고정자에서의 전력과 모터 드라이브로 표현할 수 있어, 식 (1)과 같이 나타낼 수 있다.

여기서, $P_{D}$는 모터 드라이브의 토크를 통한 기계력, $P_{s}$는 고정자 전력, $P_{r}$는 회전자 전력이다.

고정자와 회전자의 권선은 동일한 자속을 연결하지만, 주파수에 따라 전압도 동일한 비율로 변화하게 되며, 식 (2)-(4)로 표현할 수 있다.

여기서, $N_{s}$, $f_{s}$, $\psi_{a}$는 고정자 권선, 고정자 주파수, 에어갭 자속이며, $N_{r}$, $f_{r}$는 회전자 권선, 회전자 주파수이다. 회전자속도는 고정자와 회전자의 주파수 차이와 비례하여 회전한다.

여기서, $f_{m}$는 회전자 [Hz]속도, $\omega_{m}$는 회전자의 각속도, $P$는 VFT의 극수이다. 고정자에서 회전자로 전력을 전달될 때, 모터 드라이브의 구동전력은 식 (7)로 표현할 수 있다.

여기서, $I_{r}$은 회전자 전류 크기이다. 회전자 전력은 모터 드라이브 기계력과 비례하고, 고정자 및 회전자 주파수에 영향을 받게 된다. 따라서, 모터 드라이브의 구동 토크는 식 (8)로 표현할 수 있다.

송전을 위한 VFT의 경우, 거의 일정한 자속을 유지하며 동작하기 때문에, 구동 토크의 크기는 회전자 전류에만 비례한다.

3.1 전기적 거리 계산

분할 기법은 네트워크를 가중치 또는 비가중 네트워크로 구분한다. 가중치 네트워크에서 선로의 가중치는 모선 간의 유사성 또는 거리를 의미한다. 본 논문에서는 전압-무효전력 민감도 행렬을 이용하여 전기적 거리를 계산한다. 전압 민감도를 전기적 거리로 선정하며, 이를 통해 전압제어 지역으로 분할하는 것을 목표로 한다^[9].

전압제어 지역을 설정하기 위하여 쟈코비안 행렬에서 전압-무효전력 민감도를 사용한다. 쟈코비안 행렬은 식 (9)과 같이 표현할 수 있다.

여기서, $P,\: Q,\: \theta ,\: V$는 각각 유효전력, 무효전력, 위상각, 전압의 크기를 의미한다. 전압과 무효전력 간의 민감도는 식 (9)의 $J_{22}$으로 구할 수 있다. 따라서, $i$번째 모선과 $j$번째 모선 간의 전기적 거리는 식 (10)와 같이 표현할 수 있다.

송전선로의 임피던스가 매우 작을 때, 두 모선 간의 전기적 가중치는 일반적으로 매우 크게 되며, 이는 두 모선 간의 연결이 매우 가깝다는 것을 의미한다.

Table 1 및 2는 본 논문에서 이용한 IEEE 39 Bus system의 발전용량 및 부하에 관한 사양을 나타내며, Table 3은 모선과 모선 사이의 전기적 거리를 전압 민감도를 통하여 계산한 값이다.

3.2 스펙트럼 클러스터링을 통한 분할

전력계통 분할 방식은 주로 내부 구조적 연결을 무시하고 운영자의 경험을 기반으로 이루어져 있다. 따라서, 모선 간의 관계를 얻기 위해서 그래프 모델을 구축한다. 모선은 $v_{i}$, 모선 간의 사이의 송전선로를 $e_{ij}$으로 하며, 무방향 그래프 $G=(V,\: E)$로 단순화 한다. 여기서, $V$는 모선 $v_{i}$의 집합이고 $E$는 송전선로 $e_{ij}$의 집합이다. 그래프 인접행렬 $A$와 차수행렬 $D$의 요소는 식 (11), (12)로 나타낼 수 있다^{[10, 11]}.

여기서 $w_{ij}$는 인접행렬 $W$의 행렬 요소를 나타내고, $d_{ij}$는 차수행렬 $D$의 행렬 요소를 나타낸다. 무방향 그래프에서 인접행렬은 $w_{ij}=w_{ji}$이다. Fig. 4은 전력계통의 그래프 이론의 개념도를 나타낸다.

스펙트럼 클러스터링 알고리즘은 정규화되지 않은 클러스터링과 정규화된 스펙트럼 클러스터링의 두가지 유형으로 구분된다. 두 유형의 주요 차이점은 라플라시안 행렬이 어느 정도 정규화되었는지의 여부이다. 대칭 라플라시안 행렬을 기반으로 한 정규화된 라플라시안 클러스터링 알고리즘은 다음과 같다.

Input : $n$샘플 포인트 $X=\left\{x_{1},\: x_{2},\: ...,\: x_{n}\right\}$, 클러스터 수 $k$.

$n\times n$차 유사성 행렬 $S$를 계산한다.

차수 행렬 $D$를 계산한다.

정규화된 라플라시안 행렬$L_{sym}$을 계산한다.

$L_{sym}=D^{-1/2}LD^{-1/2}(D-S)D^{-1/2}$

$L_{sym}$의 고유값을 계산하고 행렬 $L_{rw}$의 초기 k개의 고유벡터를 열로 하는 행렬 $u_{1,\:}u_{2,\: ...,\: }u_{k}$로 가져온다.

위의 $k$개 열 벡터를 행렬 $U=\left\{u_{1},\: u_{2},\: ...,\: u_{k}\right\}$, $U\in R^{n\times k}$으로 구성한다.

$y_{i}\in R^{k}$는 $U$의 $i$번째 행에 있는 벡터를 나타낸다. $i=1,\: 2,\: ...,\: n$

$y_{i}\in R^{k}$를 $\left | y_{i}^{*}\right | =1$가 되도록 정규화 한다.

k-means 알고리즘을 사용하여 새 샘플 포인트 $Y^{*}=\left\{y_{1}^{*},\: y_{2}^{*},\: ...,\: y_{n}^{*}\right\}$를 클러스터 $C_{1},\: C_{2},\: ...,\: C_{k}$로 클러스터링 한다.

Output : 클러스터 $A_{1},\: A_{2},\: ...,\: A_{k}A_{i}=\left\{j vert y_{i}\in C_{i}\right\}$.

인접행렬에 전기적 거리를 가중치로 적용하여 유사성 $s_{ij}=s(v_{i},\: v_{j})$을 구할 수 있으며, 유사성 행렬 $S=(s_{ij})_{i,\: j=1,\: ...,\: n}$으로 나타낼 수 있다. 본 논문에서는 39개의 모선의 데이터를 사용하였기 때문에 39개의 샘플 포인트를 입력하였으며, $k$는 3으로 지정하였다. Table 4는 전압 민감도를 가중치로 하여 스펙트럼 클러스터링한 것으로 모선을 3개의 구역으로 분할하였다.

Fig. 5는 3개의 구역으로 분할한 IEEE 39 Bus system을 도식화한 것이다. 각 구역은 서로 연결된 선로가 있는 것을 확인할 수 있으며, 모선별 전력공급의 안전성을 확보하기 위하여 연결된 선로에 VFT를 설치하는 것이 타당하다. 따라서, 모선 3-4, 9-39, 14-15, 17-18, 17-27의 사이의 선로를 VFT 설치 위치로 선정하였으며, 시뮬레이션을 통하여 최적 위치를 선정하고자 한다.