1. 서 론

2. 권선 배치별 쇄교자속 및 인덕턴스

3. 하나의 3상 권선으로 구동시의 수학적 모델

앞서 살펴 본 이중 권선 전동기에서 권선 배치에 따라 다르게 나타나는 상호 인덕턴스에 의한 전동기 특성을 검토하기 위해, 두 3상 권선간 상호 인덕턴스가 존재한다고 가정하면 두 권선간 인덕턴스는 식 (6)과 같이 표현할 수 있다.

여기서,

$L_{dq11}$ , $L_{dq22}$: 두 권선의 dq 인덕턴스,

$L_{dq12}$ , $L_{dq21}$: 두 dq축간 상호 인덕턴스,

$L_{abc11}$ , $L_{abc22}$: 두 3상의 인덕턴스,

$L_{abc12}$ , $L_{abc21}$: 두 3상간 상호 인덕턴스,

$C_{dq}^{abc}$ , $C_{abc}^{dq}$ : 좌표변환행렬과 역변환행렬로써 각각 아래와 같다^{[10, 11]}.

이때 두 번째 3상 권선(a2, b, c2)의 전원이 차단되어 첫 번째 3상 권선(a1, b1, c1)으로만 구동시에는 식 (6)에서 첫 번째 권선에 대한 인덕턴스 성분인 $L_{dq11}$만 존재하게 되어 식 (9)와 같이 나타낼 수 있다.

그리고 각 dq인덕턴스를 구하면 식 (10)에서 부터 (13)까지 나타낼 수 있다.

상호 인덕턴스(M1, M2, M3)의 크기가 서로 다른 경우 각각 식 (10)의 Ldd와 식 (13)의 Lqq의 3번째 항이 0이 되지 않아 d축과 q축 인덕턴스의 크기가 서로 달라지며 일정하지 않은 형태가 된다. 마찬가지로, 상호 인덕턴스의 크기가 서로 다른 경우 식 (11)과 식 (12)로부터 Ldq와 Lqd도 0이 되지 않아 d축과 q축간의 상호 인덕턴스항이 존재하게 된다. 이는 앞서 2.2절에서 살펴본 바와 같이 권선 배치 방식에 따라 상호 인덕턴스의 크기가 서로 다른 경우(winding case1과 winding case2)가 존재하므로 dq축 인덕턴스가 회전자 위치에 따라 일정하지 않는 특성을 가질 수 있다는 것을 의미한다.

하나의 3상 권선으로만 구동시의 전압방정식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

여기서,

$V_{d}$, $V_{q}$ : d축과 q축 전압,

$i_{d}$, $i_{q}$ : d축과 q축 전류,

$R_{a}$ : 권선 저항, $p$ : 미분연산자, $\omega_{e}$ : 전기각속도,

$\lambda_{d}$, $\lambda_{q}$ : d축과 q축 쇄교 자속으로 각각 아래와 같다.

여기서,

$L_{dd}$, $L_{qq}$ : d축과 q축 인덕턴스,

$L_{dq}$, $L_{qd}$ : d축과 q축 상호 인덕턴스,

$\lambda_{m}$ : 영구자석에 의한 쇄교자속

식 (15)을 이용하여 식 (14)의 전압방정식에 대입하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

그리고 이 전압방정식을 이용하여 전력식으로 전개하면 다음과 같다.

여기서, 각 인덕턴스의 위치에 대한 함수로 표현된 아래 4개항은 다음과 같이 정의한다.

그리고 식 (17)의 우변의 두 번째 항인 자기 에너지의 시간적 변화율은 다음과 같다.

식 (17)의 세 번째와 네 번째 항을 이용하여 출력 토크를 계산하면 다음과 같다.

식 (20)에서 q축 전류($i_{q}$)만 고려시 토크식은 다음과 같이 간략히 나타낼 수 있다.

여기서 첫 번째 항은 평균 토크를 나타내며 두 번째 항은 토크 리플로 작용하는 성분이다. 이로부터 토크 리플은 dq축 상호 인덕턴스에 의해 영향을 받는 것을 알 수 있으며 식 (18)을 대입하여 토크 리플을 표현하면 다음과 같다.

여기서,

식 (22)와 식 (23)로부터 상호인덕턴스의 불균일성이 존재할 때 전기각 2차 성분의 토크 리플이 발생되고, 상호 인덕턴스의 불균일성이 클수록 토크 리플도 증가한다는 것을 알 수 있다. 그리고 앞서 계산된 4가지 winding case별 인덕턴스의 결과를 식 (23)에 대입하게 되면 Table 1과 같이 토크 리플에 비례하는 M의 크기를 계산 할 수 있다.

수학적 모델에 의한 계산결과 상호 인덕턴스의 불균일성이 가장 큰 winding case2에서 가장 큰 토크 리플이 발생되고 winding case1이 다음으로 높은 경향을 보인다. 그리고 상호 인덕턴스의 크기가 같은 winding case3과 winding case4에서는 토크 리플이 나타나지 않게 된다.

4. 유한 요소 해석 통한 검증

수학적 모델에 의한 계산 결과를 검증하기 위해 2차원 유한요소해석을 수행하였으며 Table 2와 Fig. 9는 해석모델에 대한 제원 및 형상을 나타낸다.

하나의 3상 전원으로만 구동되는 조건에서 각 권선 배치별 전동기의 특성 해석 결과는 Fig. 10과 Fig. 11과 같다. 두 그림에 표현된 토크의 크기는 2개의 3상 권선으로 구동되는 정상상태의 토크를 기준으로 비교한 것이며 4가지 winding case 모두 정상 대비 50% 수준으로 저감되어 나타나게 된다. 그러나 토크 리플은 Fig. 11과 같이 각 winding case별로 큰 차이가 발생된다. 여기서 토크 리플의 크기도 두 3상 권선에 의한 정상적인 운전시 발생되는 토크 리플을 기준으로 비교한 것으로 winding case2에서 가장 크게 나타난다. 그리고 각각의 토크 리플을 차수 분석을 한 결과는 Fig. 12와 같다. 그림의 x축에 표현된 1부터 6까지는 토크 리플의 전기각 차수 성분을 의미하며 아래의 네 줄의 각 값은 각 winding case별 토크 리플 차수 성분의 크기를 나타낸다.

Fig. 12에서 전기각 2차 성분의 토크 리플 결과를 Table 1의 수학적 모델에 의한 계산 결과와 비교하기 위해 토크 리플이 가장 큰 winding case2의 값을 기준으로 Table 3과 같이 두 계산 결과의 값의 거의 일치함을 확인 할 수 있다. 여기서 발생된 미소한 차이에 대한 원인은 수학적 모델 검토시 기본파 성분의 자속과 전류만 존재하는 것으로 가정하였기 때문인 것으로 사료된다.

5. 결 론

본 논문에서는 이중 권선의 전동기에서 하나의 3상 권선으로만 구동시 권선 배치에 따른 자속의 분포로부터 인덕턴스를 정의하였고, 상호 인덕턴스의 크기가 불균일한 조건의 권선 배치가 존재한다는 것을 확인했다. 그리고 하나의 3상 권선으로만 운전되는 경우의 전압방정식을 이용하여 토크식까지 도출하여 수학적 모델을 설계하였으며 각 권선 배치별 정의된 인덕턴스를 이용하여 전동기의 토크를 계산하였다. 상호 인덕턴스이 불균일성이 존재하는 권선 배치 방식에서는 전기각 2차 성분의 토크 리플이 발생하게 되며, 상호 인덕턴스의 불균형이 클수록 전기각 2차 성분의 토크 리플도 증가한다는 것을 수학적 모델 통해 계산하였다. 이 결과는 유한 요소 해석에 의한 결과와 일치함을 확인했으며 본 논문에서 제시한 수학적 모델의 타당성을 검증하였다.

이중 권선 전동기에서 하나의 3상 전동기로만 운전되는 경우 토크 리플 최소화하기 위해서는 본 논문에서 제시한 바와 같이 상호 인덕턴스의 불균형성이 존재하지 않는 이중 권선 배치로 선정해야 한다. 또한 본 논문에서는 8극 12슬롯 전동기를 대상으로 연구를 수행하였으나 다양한 극-슬롯 조합의 전동기에서도 동일한 방법으로 토크 리플 최소화 할 수 있는 이중 권선 조합을 선정할 수 있을 것이다.