2.1. 개선된 변형삼각간섭계
변형삼각간섭계에서 렌즈를 제거하고, 1/2파장판을 추가한 시스템은 Fig. 1과 같다.
Fig. 1에서 Linear polarizer는 선형편광기, HWP는 1/2 파장판, 그리고 QWP(Quarter-wave plate)는 1/4 파장판을 나타내며,
PBS(Polarizing Beam Splitter)는 편광 광분할기를 나타낸다. 그림에서 는 특수파동(extraordinary wave)의 편광방향,
는 보통파동(ordinary wave)의 편광방향을 나타낸다. 제안된 시스템에서 1/2 파장판은 특수파동과 보통파동간에 위상차를 발생시키고, 1/4
파장판은 편광을 변화시키는 용도로 활용한다.
Fig. 1. Improvement of modified triangular interferometer
개선된 변형삼각간섭계에서 수직방향의 편광을 가진 시계방향의 파동과 수평방향의 편광을 가진 반시계방향으로 진행하는 파동이 1/2 파장판을 통과하게 되면
위상차가 발생하게 된다. 위상차가 발생한 두 파동을 출력면 쪽에 위치한 1/4 파장판과 선형편광기를 이용하여 두 파동의 상대적인 위상차를 조절함으로써
출력면에서 4가지의 빛의 세기를 얻을 수 있다. 이러한 빛의 세기들을 전자적으로(electronically) 결합함으로써 바이어스와 쌍둥이 영상이
제거된 복소홀로그램을 얻을 수 있다.
2.2. 바이어스와 쌍둥이영상의 제거
Fig. 1에서 좌표가 $(x_{0},\: y_{0},\: 0)$인 점광원의 파장을 $\lambda$라고 하자. 시계방향과 반시계방향으로 진행한 파동은 기하학적인
진행경로가 동일하므로 1/2파장판 전면에서의 두 파동의 위상은 동일하다.
두 파동이 1/2 파장판을 통과할 때 특수파동은 빠른 축(fast axis)를 통과하고, 보통파동은 느린 축(slow axis)을 통과한다. 파장판에서
빠른 축을 따라 진행하는 파동의 속도가 느린 축을 따라 진행하는 파동보다 빠르므로, 파장판을 통과한 후에는 두 파동간에는 위상차가 발생하며, 식 (1)과 같이 표현할 수 있다[10].
여기서, $\Gamma =k(n_{o}-n_{e})d$, $d$는 파장판의 두께, $n_{eff}=\dfrac{1}{n_{o}^{2}}\left(\dfrac{n_{o}}{n_{e}}-\dfrac{n_{e}+n_{o}}{n_{e}}\cos^{2}\phi\right)$,
그리고 $n_{o}$와 $n_{e}$는 각각 보통파동과 특수파동의 굴절률이다. 그리고 $\theta$는 Fig. 2에서 보는 바와 같이 입사하는 파동과 $z$축사이의 각도이며, $\phi$는 입사하는 파동이 파장판에 투영된 선과 광축(optic axis)과의 각도이다.
Fig. 2. The angle between the incident wave and the z-axis, and the angle between
the incident wave projected onto the interface and the optic axis in Half-wave plates
입사하는 파동과 $z$축사이의 각이 크지 않다면 $\sin\theta\approx\theta$로 생각할 수 있다. Fig. 1의 원점 O에서 출력면까지의 거리를 $r$이라고 하면 $\theta$를 다음과 같이 표현할 수 있다.
식 (2)를 식 (1)에 대입하면 위상차는 다음과 같이 표현된다.
그리고, Fig. 1의 O에서 출발한 파동이 1/2 파장판과 1/4 파장판, 그리고 선형편광기를 통과한 후 출력면에 도달했을 때의 파동은 다음과 같이 표현할 수 있다.
여기서, $E_{i}$은 1/2 파장판을 통과한 후의 파동을 나타내며, $A(\varphi_{2})$와 $W(\varphi_{1})$는 각각 선형편광기와
1/4파장판의 Jones 행렬을 나타낸다. $E_{i}$과 편광소자들의 Jones 행렬들은 다음과 같이 표현된다[11].
여기서, $P_{o}$와 $P_{e}$는 보통파동과 특수파동의 복소진폭을 나타낸다. $\varphi_{1}$과 $\varphi_{2}$는 각각 파장판과
선형편광기의 방위각을 나타낸다.
식 (5)-(7)로부터 선형편광기와 1/4 파장판의 방위각 조합을 이용하여 Table 1과 같은 출력면에서의 빛의 세기(intensity)를 구할 수 있다. 이 때 선형편광기와 파장판의 느린 축(slow axis)에 대한 방위각은 Fig. 1의 양의 $x$축을 기준으로 하여 양이나 음의 방향으로 회전한 것을 의미한다.
Table 1에서 $I_{2}$, $I_{3}$를 이용하여 실수부를 구하고, 허수부는 $I_{1}$, $I_{4}$를 이용하여 구할 수 있다. 실수부와 허수부를
결합함으로써 식 (8)과 같은 점광원에 대한 복소홀로그램을 얻을 수 있다.
Table 1. Intensity patterns by combination of a linear polarizer and a wave plate
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선형편광기의 방위각
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파장판의 위상지연
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Intensity
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45도
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$\Gamma =0$
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$I_{1}=\dfrac{1}{2}a^{2}+\dfrac{1}{2}b^{2}-ab\sin\triangle\psi$
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$\Gamma =\dfrac{\pi}{2}$
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$I_{2}=\dfrac{1}{2}a^{2}+\dfrac{1}{2}b^{2}+ab\cos\triangle\psi$
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$\Gamma =-\dfrac{\pi}{2}$
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$I_{3}=\dfrac{1}{2}a^{2}+\dfrac{1}{2}b^{2}-ab\cos\triangle\psi$
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-45도
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$\Gamma =0$
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$I_{4}=\dfrac{1}{2}a^{2}+\dfrac{1}{2}b^{2}+ab\sin\triangle\psi$
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2.3. 복소홀로그램의 해상도
평면파를 식 (8)의 복소홀로그램에 비추어 주면 Fresnel 회절에 의해 복소진폭은 다음과 같이 표현된다.
식 (9)에 식 (3)을 대입하면, 식 (10)과 같이 표현할 수 있다.
여기서, $z_{1}$은 Fig. 1의 O에서 출력면까지의 거리를 나타낸다.
계산의 편의를 위해서 복원영상의 위치를 $z=z_{1}^{2}/\triangle l$이라고 하면 복소진폭은 식 (11)과 같이 표현할 수 있다.
여기서, $\triangle l=(n_{o}-n_{e})dn_{eff}$이다. 식 (11)을 극좌표형식으로 변환하면 다음과 같다.
여기서, $r=\sqrt{\xi^{2}+\eta^{2}}$, 그리고 $\rho =\sqrt{x^{2}+y^{2}}$이며, $R$은 복소홀로그램의 반지름이다.
Bessel 함수 정의[12]를 이용하여, 식 (12)에서 $\theta'$에 대한 적분을 구하면 다음과 같다.
$r'=\dfrac{k\rho r\triangle l}{z_{1}^{2}}$의 변수변환에 의해 식 (13)은 다음과 같이 표현된다.
$\int_{0}^{x}\xi J_{0}(\xi)d\xi =x J_{1}(x)$의 관계를 이용하여 식 (14)를 다음과 같이 표현할 수 있다.
여기서, $J_{1}(\bullet)$은 1차 1종 베셀함수이고, $A=k R\triangle l/z_{1}^{2}$이다. 따라서, 복소홀로그램을
이용하여 복원한 점광원에 대한 빛의 세기는 다음과 같이 표현된다.
복소홀로그램에 대한 복원영상의 빛의 세기는 베셀함수로 표현되며, 식 (16)으로부터 복소홀로그램의 반지름이 클수록 해상도가 좋아질 것이라는 것을 예상할 수 있다.
Fig. 3은 식 (16)에 $z_{1}=0.5$m, $R=0.05$m, $\lambda =632.8$nm, $n_{o}$=1.658, $n_{e}$=1.486, $d$=1.84mm의
값을 대입하여 복원한 입사파와 광축과의 각도에 따른 빛의 세기를 나타낸다.
Fig. 3. Intensity of the reconstructed image from circular and rectangular complex
holograms
Fig. 3에서 입사파와 광축과의 각도가 커지면 복원영상의 해상도가 조금 나빠지지만 그 차이는 크지 않은 것으로 나타났다. 따라서 광축과의 각도는 해상도에 거의
영향을 미치지 않는 것으로 볼 수 있다.
Fig. 4는 식 (16)에 $z_{1}=0.5$m, $R=0.05$m, $\lambda =632.8$nm, $n_{o}$=1.658, $n_{e}$=1.486, $\phi
=0$°의 값을 대입하여 복원한 파장판의 두께에 따른 빛의 세기를 나타낸다.
Fig. 4. Intensity of the reconstructed image from circular and rectangular complex
holograms
Fig. 4에서 파장판의 두께가 두꺼울수록 복원영상의 해상도가 좋아짐을 알 수 있다. 따라서 제안된 시스템에서 복원영상의 해상도에 가장 큰 영향을 미치는 것은
파장판의 두께라고 할 수 있다.