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Journal of the Korean Institute of Illuminating and Electrical Installation Engineers

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  3. 2024-08 (Vol.38 No.4)
  4. 10.5207/JIEIE.2024.38.4.261
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Research article

]

Journal of the Korean Institute of Illuminating and Electrical Installation Engineers

KIIEE Vol. 38, No. 4, p.261-265

ISSN (print) :

1229-4691

ISSN (online) :

2287-5034

Received : 15 April 2024Revised : 5 July 2024Accepted : 6 August 2024

DOI :

http://doi.org/10.5207/JIEIE.2024.38.4.261

복소홀로그램의 형상에 따른 인코히어런트 삼각 홀로그래피의 이론적인 해상도

Theoretical Resolution of Incoherent Triangular Holography on the Shape of Complex Hologram

김수길 (Soo-Gil Kim) †iD

†Corresponding author: Professor, Department of System and Control, Hoseo University, Korea E-mail：sgkim@hoseo.edu

Copyright © The Korean Institute of Illuminating and Electrical Engineers(KIIEE)

License :

This work was supported by the Korean Federation of Science and Technology Societies(KOFST) Grant funded by the Korean Government.(www.kiiee.or.kr).

Abstract

The intensity of circular and rectangular complex holograms generated by incoherent triangular holography was derived. The light intensity of the reconstructed image using circular complex hologram is represented in the form of Bessel functions, while for rectangular complex holograms, it is represented in the form of sinc function. From the derived equations, it can be inferred that the resolution of the reconstructed image improves as the radius of circular complex hologram increases, and for rectangular complex holograms, as the length of the horizontal and vertical directions increases. Furthermore, when the radius of circular complex hologram and the lengths of the horizontal and vertical directions of rectangular complex hologram are the same, it was confirmed that the hologram’s area is larger for the rectangle, resulting in a better resolution of the reconstructed image.

Key words

Bessel function, Incoherent holography, Modified triangular holography, Resolution, Sinc function

1. 서 론

인코히어런트 삼각 홀로그래피는 자연광을 이용하여 홀로그램을 생성한다는 장점이 있지만 이 홀로그램이 복원될 때 쌍둥이 영상(twin image)이 동일한 축에 나타나게 되므로 잡음이 발생하는 문제가 있다[1-3].

Cochran[2]에 의해 제안된 인코히어런트 삼각 홀로그래피도 자연광을 이용하여 홀로그램을 생성할 수 있다는 장점을 가지고 있지만 두가지 큰 단점을 가지고 있다. 첫째, 물체가 복잡해질 수록 홀로그램이 생성되는 평면에서 신호 대 잡음비(SNR)가 급격히 감소한다. 둘째, 홀로그램을 복원하면 실상(real image)과 허상(imaginary image)이 동축상에 나타나므로 복원영상에 잡음이 포함된다. 이러한 바이어스와 쌍둥이 영상은 복원영상의 선명도를 저하시킨다.

인코히어런트 홀로그래피에서 잡음을 제거하기 위한 여러 방법들이 연구되었다[4-6]. 인코히어런트 삼각 홀로그래피에서의 잡음은 편광소자와 파장판을 사용하여 변형된 삼각간섭계에서 시계방향과 반시계방향으로 진행하는 두 빛의 상대적인 위상차를 조절함으로써 제거할 수 있다[7]. 복소홀로그램을 이용한 복원영상의 신호 대 잡음비는 쌍둥이 영상뿐만 아니라 실험에 사용되는 편광소자들에 의해서도 영향을 받는다. 변형 삼각 간섭계에 사용된 편광소자들로 인해 발생하는 위상오차 요인이 종축방향의 복원영상에 미치는 영향에 대한 연구도 이루어졌으며[8], 변형 삼각간섭계의 횡축방향의 해상도에 대한 연구결과도 제시되었다[9].

이러한 연구결과들은 거리를 측정하는 장치(rangefinder)나 홀로그래피의 가장 중요한 특징중 하나인 3차원 이미징(3D Imaging)이나 초고해상도 이미징(Super-Resolution Imaging), 미세한 시료를 3차원적으로 관찰할 수 있는 형광 현미경(3D Fluorescence microscopy)과 일반 현미경에 활용될 수 있다[10-12].

이런 연구결과들은 변형삼각 간섭계를 이용하여 생성한 복소홀로그램이 원형이라고 가정하고 구한 것이다. 그런데 홀로그램은 CCD 카메라의 직사각형 이미지센서의 일부 영역에서만 생성되거나 이미지센서 전체 영역에서 생성되는 두 가지 경우로 나누어 생각해야 한다.

인코히어런트 삼각 홀로그래피에서 이미지센서의 가운데 일부 영역에서 생성되는 홀로그램은 원 모양이며, 이미지 센서 전체영역에 걸쳐 생성되는 홀로그램은 직사각형이라고 생각할 수 있다.

본 논문에서는 인코히어런트 삼각홀로그래피에서 생성되는 복소홀로그램의 형태가 원형일 때와 직사각형일 때의 두가지 경우에 대한 해상도를 유도해 보고자 한다.

2. 본 론

2.1. 변형 삼각간섭계

변형 삼각 간섭계는 바이어스와 공액영상이 제거된 복소홀로그램을 얻을 수 있는 수동소자로 구성된 시스템이며 이를 Fig. 1에 나타내었다.

Fig. 1에서 Linear polarizer는 선형편광기를, 그리고 QWP는 1/4 파장판을 나타내며, L1과 L2는 초점거리가 각각 $f_{1}$과 $f_{2}$인 렌즈들이다. PBS(Polarizing Beam Splitter)는 편광 광분할기를 나타낸다. 그림에서 는 보통파동의 편광방향, 는 특수파동의 편광방향을 나타낸다.

Fig. 1. Modified triangular interferometer

../../Resources/kiiee/JIEIE.2024.38.4.261/fig1.png

변형 삼각간섭계에서 시계방향과 반시계방향으로 진행하는 빛이 출력면에서 더해지게 되는데, 출력면 쪽에 위치한 선형편광기와 1/4 파장판을 이용하여 두 빛의 상대적인 위상차를 조절함으로써 출력면에서 4가지의 빛의 세기를 얻을 수 있으며, 이를 전자적으로(electronically) 결합함으로써 바이어스와 공액영상이 제거된 복소홀로그램을 얻을 수 있다[7]. 복소홀로그램은 식 (1)과 같이 표현할 수 있다.

(1)
$H(x,\: y)=\exp\{-i\phi(x,\: y)\}$

여기서, $\phi(x,\: y)=\dfrac{k}{2z_{1}}\left\{(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}-(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})\right\}$, $k=2\pi /\lambda$,$x_{1}=x_{0}/(\alpha +\beta)$,$y_{1}=y_{0}/(\alpha +\beta)$,$z_{1}=z_{0}/(\alpha +\beta)$, $\alpha\equiv -f_{1}/f_{2}$, $\beta\equiv -f_{2}/f_{1}$, 그리고 $\alpha -\beta =1$이며 일정한 값을 가지는 상수는 생략되었다. ($x_{o},\: y_{o},\: z_{o}$)는 ($x_{1},\: y_{1},\: z_{1}$) 각각 입력면과 출력면에서의 좌표를 의미한다.

2.2. 원형 복소홀로그램의 해상도

평면파를 식 (1)의 복소홀로그램에 비추어 주면 Fresnel 회절이론에 의해 복소진폭은 다음과 같이 표현된다.

(2)
$\begin{align*} U(x,\: y,\: z)=-\dfrac{i}{\lambda z}\exp(ikz)\iint_{-\infty}^{\infty}H(\xi ,\: \eta)\\ \times\exp\left[i\dfrac{k}{2z}\left\{(x-\xi)^{2}+(y-\eta)^{2}\right\}\right]d\xi d\eta \end{align*}$

식 (2)에서 복소홀로그램이 원형이라고 가정하면, 복소진폭은 다음과 같이 표현된다.

(3)
$\begin{align*} U(x,\: y,\: z)=-\dfrac{i}{\lambda z}\exp(ikz)\iint_{\xi^{2}+\eta^{2}\le R^{2}}H(\xi ,\: \eta)\\ \times\exp\left[i\dfrac{k}{2z}\left\{(x-\xi)^{2}+(y-\eta)^{2}\right\}\right]d\xi d\eta \end{align*}$

식 (3)에 식 (1)을 대입하고, 홀로그램을 생성하는 점광원의 좌표가 $(x_{0},\: y_{0})$=$(0,\: 0)$이라고 가정하면 $(x_{1},\: y_{1})$도$(0,\: 0)$이 되므로 식 (4)와 같이 표현할 수 있다.

(4)
$\begin{align*} U(x,\: y,\: z)=-\dfrac{i}{\lambda z}\exp(ikz)\exp\left[i\dfrac{k}{2z}\left\{x^{2}+y^{2}\right\}\right]\\ \times\iint_{\xi^{2}+\eta^{2}\le R^{2}}\exp\left[-i\left\{\dfrac{k}{2z_{1}}(\xi^{2}+\eta^{2})\right\}\right]\\ \times\exp\left[i\dfrac{k}{2z}(\xi^{2}+\eta^{2})\right]\exp\left[-i\dfrac{k}{z}\{x\xi +y\eta\}\right]d\xi d\eta \end{align*}$

여기서, $z_{1}$은 Fig. 1의 O에서 출력면까지의 거리이며, 홀로그램을 생성할 때 입력면에서 출력면까지의 거리를 나타낸다.

계산의 편의를 위해서 복원영상의 위치를 $z=z_{1}$이라고 가정하면 복소진폭은 식 (5)와 같이 표현할 수 있다.

(5)
$\begin{align*} U(x,\: y,\: z_{1})=-\dfrac{i}{\lambda z_{1}}\exp(ikz_{1})\exp\left[i\dfrac{k}{2z_{1}}\left\{x^{2}+y^{2}\right\}\right]\\ \times\iint_{\xi^{2}+\eta^{2}\le R^{2}}\exp\left[-i\dfrac{k}{z_{1}}\{x\xi +y\eta\}\right]d\xi d\eta \\ \end{align*}$

식 (5)를 극좌표형식으로 변환하면 다음과 같다.

(6)
$\begin{align*} U(\rho ,\: z_{1})=-\dfrac{i}{\lambda z_{1}}\exp(ikz_{1})\exp\left[i\dfrac{k}{2z_{1}}\rho^{2}\right]\\ \times\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}\exp\left[-i\dfrac{k\rho r}{z_{1}}\cos(\theta -\phi)\right]rdrd\theta \\ \end{align*}$

여기서, $r=\sqrt{\xi^{2}+\eta^{2}}$, $\rho =\sqrt{x^{2}+y^{2}}$, $\theta =\tan^{-1}(\dfrac{\eta}{\xi})$, 그리고 $\phi =\tan^{-1}(\dfrac{y}{x})$이다. Bessel 함수 정의[13]를 이용하여, 식 (6)의 $\theta$에 대한 적분을 구하면 다음과 같다.

(7)
$\begin{align*} U(\rho ,\: z_{1})=-\dfrac{i}{\lambda z_{1}}\exp(ikz_{1})\exp\left[i\dfrac{k}{2z_{1}}\rho^{2}\right]\\ \times\int_{0}^{R}2\pi r J_{0}\left(\dfrac{2\pi\rho r}{\lambda z_{1}}\right)dr \\ \end{align*}$

$r'=\dfrac{2\pi\rho r}{\lambda z_{1}}$의 변수변환을 이용하여 식 (7)을 다음과 같이 표현할 수 있다.

(8)
$\begin{align*} U(\rho ,\: z_{1})=-\dfrac{i}{\lambda z_{1}}\exp(ikz_{1})\exp\left[i\dfrac{k}{2z_{1}}\rho^{2}\right]\\ \times\dfrac{(\lambda z_{1})^{2}}{2\pi\rho^{2}}\int_{0}^{\dfrac{2\pi\rho R}{\lambda z_{1}}}r'J_{0}(r')dr' \end{align*}$

$\int_{0}^{x}\xi J_{0}(\xi)d\xi =x J_{1}(x)$의 관계를 이용하여 식 (8)을 다음과 같이 표현할 수 있다.

(9)
$\begin{align*} U(\rho ,\: z_{1})=-\dfrac{i}{\lambda z_{1}}\exp(ikz_{1})\exp\left[i\dfrac{k}{2z_{1}}\rho^{2}\right]\\ \times\pi R^{2}\bullet 2\dfrac{J_{1}(\rho A)}{\rho A}\\ \end{align*}$

여기서, $J_{1}(\bullet)$은 1차 1종 베셀함수이고, $A=\dfrac{2\pi R}{\lambda z_{1}}$이다. 따라서, 복소홀로그램을 이용하여 복원한 점광원에 대한 빛의 세기는 다음과 같이 표현된다.

(10)
$I(\rho ,\: z_{1})=\left(\dfrac{k}{z_{1}}\right)^{2}\left(\dfrac{R^{2}J_{1}(\rho A)}{\rho A}\right)^{2}$

원형 복소홀로그램에 대한 복원영상의 빛의 세기는 베셀함수로 표현되며, 식 (10)으로부터 복소홀로그램의 반지름이 클수록 해상도가 좋아질 것이라는 것을 예상할 수 있다.

2.3. 직사각형 복소홀로그램의 해상도

인코히어런트 삼각홀로그래피에서 실상에 대한 점광원 복소홀로그램을 복원하기 위해 평면파를 비추어주면, Fresnel 회절에 의해 홀로그램으로부터 거리 $z$만큼 떨어진 곳에서의 복소진폭은 식 (2)와 같이 표현된다.

식 (2)에 식 (1)을 대입하고, 홀로그램을 생성하는 점광원의 좌표가 $(x_{0},\: y_{0})$=$(0,\: 0)$이라고 가정하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

(11)
$$ \begin{aligned} & U(x, y, z)=-\frac{i}{\lambda z} \exp (i k z) \\ & \times \iint_{-\infty}^{\infty} \exp \left[-i\left\{\frac{k}{2 z_1}\left(\xi^2+\eta^2\right)\right\}\right] \\ & \times \exp \left[i \frac{k}{2 z}\left\{(x-\xi)^2+(y-\eta)^2\right\}\right] d \xi d \eta \end{aligned} $$

식 (11)에서 계산의 편의를 위해서 복원영상의 위치를 $z=z_{1}$이라고 가정하면 복원영상의 복소진폭은 식 (12)와 같이 표현할 수 있다.

(12)
$\begin{align*} U(x,\: y,\: z_{1})=-\dfrac{i}{\lambda z_{1}}\exp(ikz_{1})\exp\left[i\dfrac{k}{2z_{1}}\left\{x^{2}+y^{2}\right\}\right]\\ \times\iint_{-\infty}^{\infty}\exp\left[-i\dfrac{2\pi}{\lambda z_{1}}\{x\xi +y\eta\}\right]d\xi d\eta \end{align*}$

식 (12)를 $\xi$와 $\eta$에 대해서 피적분함수를 분리하여 식 (13)과 같이 표현할 수 있다.

(13)
$\begin{align*} U(x,\: y,\: z_{1})=-\dfrac{i}{\lambda z_{1}}\exp(ikz_{1})\exp\left[i\dfrac{k}{2z_{1}}\left\{x^{2}+y^{2}\right\}\right]\\ \times\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left[-i\dfrac{2\pi}{\lambda z_{1}}x\xi\right]d\xi\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left[-i\dfrac{2\pi}{\lambda z_{1}}y\eta\right]d\eta \end{align*}$

여기서, 복소홀로그램의 모양이 가로 방향과 세로방향의 길이가 각각 $w$와 $w_{1}$인 직사각형이라고 가정하면 식 (13)은 다음과 같은 적분구간을 가진 복소진폭으로 표현할 수 있다.

(14)
$\begin{align*} U(x,\: y,\: z_{1})=-\dfrac{i}{\lambda z_{1}}\exp(ikz_{1})\exp\left[i\dfrac{k}{2z_{1}}\left\{x^{2}+y^{2}\right\}\right]\\ \times\int_{-w}^{w}\exp\left[-i\dfrac{2\pi}{\lambda z_{1}}x\xi\right]d\xi\int_{-w_{1}}^{w_{1}}\exp\left[-i\dfrac{2\pi}{\lambda z_{1}}y\eta\right]d\eta \end{align*}$

식 (14)의 적분결과는 다음과 같다.

(15)
$\begin{align*} U(x,\: y,\: z_{1})=-\dfrac{i}{\lambda z_{1}}\exp(ikz_{1})\exp\left[i\dfrac{k}{2z_{1}}\left\{x^{2}+y^{2}\right\}\right]\\ \times 4ww_{1}\sin c(\dfrac{2\pi}{\lambda z_{1}}wx)\sin c(\dfrac{2\pi}{\lambda z_{1}}wy) \end{align*}$

식 (15)의 복소진폭에 대한 빛의 세기는 다음 식으로 표현할 수 있다.

(16)
$I(x,\: y,\: z_{1})=\left(\dfrac{4ww_{1}}{\lambda z_{1}}\right)^{2}\left(\sin c(\dfrac{k}{z_{1}}wx)\right)^{2}\left(\sin c(\dfrac{k}{z_{1}}wy)\right)^{2}$

직사각형 복소홀로그램에 대한 복원영상의 빛의 세기는 싱크함수(sinc function)로 표현되며, 식 (16)으로부터 생성된 복소홀로그램의 가로방향과 세로방향의 길이가 커질수록 복원영상의 해상도가 좋아질 것이라는 것을 예상할 수 있다.

Fig. 2는 식 (10)과 (16)에 $z_{1}=0.3$m, $R=0.05$m, $w=w_{1}=0.05$m, $\lambda =632.8$nm 값을 대입하여 반경방향과 가로방향으로 복원된 점광원의 빛의 세기를 나타낸다. 가로방향으로 복소홀로그램을 복원할 때는 $y=0$으로 설정하여 빛의 세기를 구하였다.

Fig. 2. Intensity of the reconstructed image from circular and rectangular complex holograms

../../Resources/kiiee/JIEIE.2024.38.4.261/fig2.png

Rayleigh 기준(Rayleigh criterion)에 의하면, 두 물체 또는 광원의 중앙 극대부분이 다른 물체 또는 광원의 첫 번째 극소에 있을 경우, 이 물체나 광원은 분해될 수 있다고 이야기한다. 따라서, Fig. 2에서 중앙의 극대값과 첫 번째 극소값 사이의 거리가 두 점이 분해가능한 최소한의 거리가 된다. 이것의 역수를 취해주면 횡축방향의 해상도가 된다. 예를 들어, 식(10)과 (16)에서 $z_{1}=0.3$m, $R=0.05$m, $w=w_{1}=0.05$m, $\lambda =632.8$nm 값일 때, 원형과 직사각형 복소홀로그램의 빛의 세기가 첫 번째 극소인 지점의 위치는 각각 $2.315\times 10^{-6}$m와 $0.604\times 10^{-6}$m이다. 이 결과를 이용하여 원형과 직사각형 복소홀로그램의 해상도를 계산하면 각각 약 432 lines/mm와 1656 lines/mm이며, 직사각형 복소홀로그램의 해상도가 원형 복소홀로그램의 해상도보다 4배 좋은 결과를 보여주고 있다. 이러한 결과는 원형 복소홀로그램에 비해서 직사각형 복소홀로그램의 네 모서리 쪽에 고주파 성분들이 더 기록될 수 있기 때문이다. 따라서 직사각형 복소홀로그램의 복원시에 고주파 성분에 의해서 복원된 영상의 분해가능한 최소한의 거리가 작아지게 되는 것이다. 따라서, 직사각형 복소홀로그램의 가로방향의 해상도가 원형 복소홀로그램의 반경방향의 해상도보다 좋다는 것을 알 수가 있다.

원형 복소홀로그램의 반지름과 직사각형 복소홀로그램의 가로방향의 길이가 같다면 직사각형 복소홀로그램의 면적이 원형 복소홀로그램보다 크다. 따라서, 생성된 복소홀로그램의 면적이 넓을수록 물체에 대한 정보를 더 많이 저장할 수 있으므로 직사각형 복소홀로그램을 이용하여 복원한 영상의 해상도가 더 좋은 것이라고 해석할 수 있다.

3. 결 론

인코히어런트 삼각홀로그래피로 생성된 원형 및 직사각형 복소홀로그램에 대한 빛의 세기를 유도하였다. 원형 복소홀로그램을 이용하여 복원된 영상의 빛의 세기는 베셀 함수 형태로 나타나고, 직사각형 복소홀로그램의 경우에는 싱크함수 형태로 표현된다.

유도한 수식으로부터 원형 복소홀로그램은 반지름이 클수록, 그리고 직사각형 복소홀로그램의 경우에는 가로 및 세로 방향의 길이가 클수록 복원 영상의 해상도가 좋아진다는 것을 알 수 있다.

또한, 원형 복소홀로그램의 반지름과 직사각형 복소홀로그램의 가로방향 및 세로방향의 길이가 동일한 경우에는 직사각형 복소홀로그램의 면적이 원형보다 넓기 때문에 복원영상의 해상도가 더 좋다는 것을 확인할 수 있었다.

본 연구의 결과는 거리를 측정하는 장치(rangefinder)나 홀로그래피의 가장 중요한 특징중 하나인 3차원 이미징(3D Imaging)이나 초고해상도 이미징(Super-Resolution Imaging), 미세한 시료를 3차원적으로 관찰할 수 있는 형광 현미경(3D Fluorescence microscopy)과 일반 현미경에 활용될 수 있다.

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Biography

Soo-Gil Kim
../../Resources/kiiee/JIEIE.2024.38.4.261/au1.png

He received his B.S., M.S., and Ph.D. degrees in Electrical Engineering from Seoul National University in 1989, 1991, and 1997, respectively. He is now a professor at the Dept. of System and Control Engineering in Hoseo University. His research interests include Holography and Non-destructive testing.