2.1 7상 BLDCM의 여유 전압 분석

그림. 1(a)는 이상적인 7상 BLDCM의 상 전압과 역기전력 파형을 나타내고, 식 (1)은 BLDCM의 전압 방정식을 나타낸다. 여기서, $V _{dc}$는 직류단 전압이고, $R _{s}$은 저항, $L _{ij}$은 인덕턴스 그리고 $i _{x}$는 상전류이고 $e _{x}$는 상 역기전력이다.

식 (1)에서 BLDCM의 상전류는 인가 전압과 역기전력의 차에 의해 결정이 되고, 인덕턴스의 전압 강하 성분은 역기전력의 증가를 억제할 수 있으며 속도가 증가함에 따라 역기전력 상승으로 인해 전압 여유가 부족해진다^[4,5].

부족한 전압 여유는 진상각 제어를 통하여 해결할 수 있는데, 그림. 1(b)는 진상각을 인가한 경우 획득한 전압 여유를 나타낸다. 진상각 제어를 통해 획득할 수 있는 전압 여유는 삼각형 면적과 동일하며, 전압 부족으로 인해 발생한 안티 와인드업 출력 전압을 전압 여유로 보상하여, 역기전력의 위상에 대해 상전류를 진상으로 제어하여 고속 운전 영역 제어가 가능하다.

진상각 인가 시, 획득 가능한 전압은 식 (2)와 같이 나타낼 수 있다. 여기서, $V _{eff}$는 전압 여유를 의미하며 $E$는 역기전력의 최댓값을 의미한다^[6].

2.2 안티 와인드업 출력 전압 분석

그림. 2는 안티 와인드업 제어기를 포함한 PI 전류 제어기의 블록다이어그램이다. 전류 제어기에서 지령 전압을 출력하고, 이를 전력 변환 장치에서 공급한다. 하지만 전원 공급 단에서 이용 가능한 전원 전압의 크기 제한으로 인해 전력 변환 장치에서 출력할 수 있는 전압 값에는 제한이 존재한다. 안티 와인드업은 PI 전류 제어기의 적분기 누적 오차 방지를 위해 전압 지령과 인버터 한계 전압의 차로 적분기 누적을 억제하게 된다. 안티 와인드업 출력 전압은 PI 전류 제어기의 출력인 전압 지령과 인버터 한계 전압의 차로 식 (3)와 같이 나타낼 수 있다^[7].

안티 와인드업 출력 신호는 PI 전류 제어기의 출력이 인버터의 전압 한계 보다 클 때 생성되며. 생성된 안티 와인드업 출력 전압은 저역 통과 필터(Low pass filter)를 거쳐 일정한 출력 전압을 갖게 되고, 이를 진상각 제어기 입력으로 사용하게 된다.

2.3 기존의 자동 진상각 방법의 문제점

그림. 3은 안티 와인드업 출력 전압과 전압 여유를 나타낸다. 속도 증가에 따라 전압 여유는 감소하고, 안티 와인드업 출력은 증가하여 전압 여유와 안티 와인드업 출력이 만나는 지점에서 진상각이 인가된다. 하지만 갑작스런 부하 변동과 DC단 전압 변동 시에 과도한 안티 와인드업 출력 전압이 발생하여 $V _{vanti _{-} 1}$과 같이 과도한 진상각이 인가되고, 전류가 발산하는 문제가 발생한다. 따라서 전동기의 안정적인 제어를 위해서 인가 진상각 제한이 요구된다.

3.1 7상 BLDCM의 인가 전류 해석

7상 브러시리스 전동기의 권선은 각 상의 저항과 인덕턴스, 그리고 역기전력을 포함한 전기적 등가회로로 표현이 가능하다. 권선의 저항과 인덕턴스 회로는 전형적인 저역 통과 필터(Low pass filter) 형태로 해석가능하며, 전동기 회전속도 증가에 따라 상 리액턴스 성분의 증가로 전류 지연 현상이 발생한다^[8].

브러시리스 전동기의 저항과 인덕턴스를 등가회로 해석을 통해 그림. 4와 같이 구형파 형태로 인가되는 전류를 과도 응답과 정상상태 응답으로 해석하여, 저항과 인덕턴스 회로의 완전응답은 식 (4)와 같이 표현할 수 있고, 영역을 구분하여 각 영역별 인가되는 전류의 기울기와 크기를 계산할 수 있게 된다.

영역 1 $\left[0 \leq t \leq \frac{a_{1}}{w}\right]$은 전류 상승 구간으로 회전자의 위치에 맞춰 전압이 인가되는 시점부터 정상상태 응답 전까지의 구간으로 과도 응답 상태를 나타낸다. 영역 2가 시작되는 최종 값은 시간에 대해 미분하고 정리하면 식 (5)와 같이 나타낼 수 있으며, 이때 상수 $A_{1}=\frac{0.5 V_{d c}-E}{R}$이고 $I_{0}=0$이다.

영역 2 $\left[\frac{a_{1}}{w} \leq t \leq \frac{6 \pi}{7 w}\right]$는 전류 정상 상태 구간으로 영역 3이 시작되는 최종 값은 식 (6)과 같이 나타낼 수 있으며, 이때 상수 $A_{2}=\frac{0.5 V_{d c}-E}{R}$이다.

영역 3 $\left[\frac{6 \pi}{7 w} \leq t \leq \frac{6 \pi}{7 w}+\frac{\beta}{w}\right]$은 전류 하강 구간으로 최종 값은 ‘0’이므로 식 (7)과 같다. 식 (7)을 지연각 $\beta$에 대해 정리하게 되면 식 (8)과 같고, 지연각 $\beta$ 계산을 위해 정상상태 전류 $I_{2}$는 전류 제어가 정상 동작하고 있다는 가정 하에 제어기의 전류 지령 값을 사용하고 전동기의 파라미터 값을 통하여 지연각 $\beta$를 알 수 있다. 여기서 상수 $A_{3}=\frac{-E}{R}+\frac{14 E w L}{\pi R^{2}}$, 전기각 속도 $w=2 \pi f$, 시정수 $\tau=\frac{L}{R}$ 그리고 $I_{2}=I_{\text { ref }}$이다.

3.2 안정영역 운전을 위한 진상각 제한 방법

안티 와인드업 출력 전압을 이용한 자동 진상각 제어기는 갑작스런 부하 변동과 DC단 전압 변동 시에 과도한 진상각이 인가될 수 있다. 전동기의 안정적인 동작을 위해서는 인가 진상각 제한이 요구된다.

7상 브러시리스 전동기의 6상 도통 운전 시, 전압이 인가되는 구간은 $6 \pi / 7$이며 비 도통 구간은 양 구간에 $\pi / 14$로 존재한다. 전동기 구동을 위한 출력은 각 상 전류와 역기전력의 곱한 것의 합으로 최대 출력을 갖기 위해서는 역기전력과 전류가 같은 부호의 값을 가지는 경우이다. 따라서 최대 출력이 가능한 지점을 그림. 5와 같이 역기전력과 전류의 값이 동일한 부호를 갖는 지점까지로 정의하며, 식 (9)와 같이 전류 지연각 $\beta$와 비 도통 구간 $\pi / 14$의 합을 통해 인가 진상각 영역을 제한할 수 있다.

그림. 6은 제안한 자동 진상각 제어 알고리즘 블록 다이어그램을 나타낸다. 제안한 자동 진상각 제어 방식은 유효전압 부족 시, 전류 제어기에서 발생되는 안티 와인드업 출력 전압을 인가 진상각으로 획득 가능한 전압 여유와 비교하여 피드백 제어를 하였다. 또한 최대 출력 운전 및 과도한 진상각 인가를 제한하기 위하여 전압 방정식으로부터 유도된 진상각 리미터를 제안하였다. 제안한 진상각 리미터는 고속 영역에서 전동기 제어가 불안정하게 되는 것을 방지한다.