1.1 연구의 배경

직류전동기는 자동차, 로봇 및 군사용 무기체계 등 다양한 분야에서 사용되고 있다. 이와 같이 직류전동기가 많은 시스템에 폭넓게 적용되고 있어 제어기술자들이 시스템에 원하는 속도를 인가하였을 때 요구속도에 따라 시스템이 제어되어야 하는 문제는 중요하다.

PID제어기는 비교적 구조가 단순하고 응답특성도 양호하여 산업용품과 군사용 무기체계 제어용으로 많이 사용되고 있다.

PID제어기의 계수를 적절히 동조하여 직류전동기의 응답특성을 개선할 수 있으나 제어기술자들의 경험적 또는 해석적인 방법으로 PID제어계수를 설정하는 것은 어려운 문제이다. 또한 현대제어이론인 LQR 제어나 지능제어이론인 Fuzzy 알고리즘을 바탕으로 한 제어방법을 적용하여 PID제어기를 설계하고 있으나^(2-4), 이는 복잡한 수학적 연산이나 많은 학습시간이 요구된다.

최근에는 자연 환경내에서의 진화과정을 기반으로 한 메타휴리스틱 알고리즘인 유전 알고리즘(GA : Genetic Algorithm) ^(5-6)과 새나 물고기 무리 등의 사회적 행동양식에 대한 규칙성을 증명하는 것에 착안하여 개발된 입자 군집 최적화(PSO :　Particle Swarm Optimization) 알고리즘^(6-8) 등과 같은 최적화 방법을 기반으로 한 PID제어계수를 동조하는 방법이 개발되어 제어기술자들의 연구가 활발하게 진행되고 있다.

따라서 본 논문에서는 직류전동기 속도제어를 위해 메타휴리스틱 알고리즘의 일종인 최신의 공생적 유기체 탐색(SOS : Symbiotic Organisms Search) 알고리즘^(9-10)을 이용한 PID제어기 설계 방법을 제안하고자 한다.

1.2 연구의 목적 및 방법

본 논문에서는 우선 직류전동기 속도제어를 위한 기존의 메타휴리스틱 알고리즘에 비해 강력하고 최적의 해(Solutions)를 탐색하는 수렴속도가 빠른 SOS 알고리즘 기반의 PID제어기 설계 방법을 제안한다.

그 다음으로 제안한 방법과 기존의 GA, PSO 알고리즘 기반의 PID제어기를 직류전동기의 폐루프 속도제어 시스템에 적용하여 MATLAB 모의실험을 통해 응답특성과 알고리즘의 성능을 비교하고자 한다.

2.1 직류전동기의 동적 모델링

직류전동기는 회전자가 일정한 방향으로 회전하도록 회전자의 영구자석의 위치에 따라 전류를 흘려서 자속을 발생시킬 고정자 권선을 바꾸어 주어 회전자에 힘이 연속적으로 발생하게 하는 것이다.

이는 Fig. 1과 같이 전기자 회로와 기계적 부하 운동의 모델로 나타낼 수 있다⁽¹⁾.

Fig. 2와 같이 직류전동기의 블록선도의 부하토크 $\tau_{l}= 0$ 이라 가정하면, 직류전동기의 속도제어를 위해 입력전압 $v_{a}(s)$ 대비 회전 각속도 $w_{m}(s)$ 출력에 관한 전달함수를 식 (1)과 같이 유도할 수 있다.

여기서 $i_{a}$ : 전기자 권선의 전류

$R_{a}$ : 전기자 권선의 저항

$L_{a}$ : 전기자 권선의 인덕턴스

$w_{m}$ : 모터의 각속도

$k_{e}$ : 역기전력 상수

$\tau_{m}$ : 전동기의 토크

$k_{\tau}$ : 토크상수

$J$ : 관성모멘트

$B$ : 마찰계수

$\tau_{l}$ : 부하토크

2.2 SOS 알고리즘

SOS 알고리즘은 2014년에 Min-Yuan Cheng과 Doddy Prayogo에 의해 제안되었으며, 생태계에서 유기체들끼리 생존하기 위해 상호작용하는 거동을 모방한 알고리즘이다.

유기체는 생명을 유지하면서 균등한 생존을 위해 서로 의존하기 때문에 고립된 채로 살지 않는다. 이러한 의존관계를 공생이라고 하며, 자연 환경속에서 유기체는 변화에 적응하기 위해 공생관계를 발전시킨다. 이와 같이 생태계에서 주어진 문제에 대해 유기체라는 각각의 후보자 해(Solutions)들을 생물학적 상호작용을 통해 공생관계 각 단계별 자연적 패턴속에서 생존하는 최적의 유기체를 향해 탐색해 나아가다가 종료 조건이 될 때까지 반복하는 것이 바로 SOS 알고리즘이다⁽⁹⁾.

2.2.1 상리공생 단계

상리공생은 산호초와 갑각류에서 보듯이 산호초는 주로 갑각류들에게 서식처와 먹이를 제공하고, 서식하는 갑각류들은 산호초를 다른 포식자로부터로 보호한다. 이와 같이 이들은 서로 이익을 주고 받으면서 살아가는 상리공생의 관계(Mutualism)이다.

생태계에서 산호초와 같은 $X_{i}$ 유기체는 무작위로 선택된 갑각류와 같은 $X_{j}$ 유기체와 상리공생의 관계로 상호작용을 하면서 발전시켜 나아간다. 이들 유기체들이 이전의 상호작용한 적합도보다 새로운 적합도가 진보된다면 갱신해야 한다. 이에 대한 관계식은 식 (2)과 (3)과 같이 나타낼 수 있다.

식 (2)와 (3)의 ${rand}(0,\:1)$는 무작위 수의 벡터이다. $BF_{1}$과 $BF_{2}$는 서로 다른 유기체가 상호작용하면서 그 중 하나의 유기체에 무작위로 ${rand}(1,\:2)$를 적용하여 더 많은 이익을 주는 역할을 한다.

$M utual V ector$는 유기체 $X_{i}$ 와 $X_{j}$ 간의 관계 특성을 나타내며, $X_{best}$는 두 유기체중에서 최적의 해로 진보해 나아가는 가장 뛰어난 유기체이다.

2.2.2 편리공생 단계

편리공생은 빨판상어와 상어의 관계에서 보듯이 빨판상어의 등지러미가 상어의 몸에 딱 들러붙어 있지만 상어는 아무런 불편을 느끼지 않는다. 상어가 먹이를 먹을 때 빨판상어는 상어가 먹다 남은 음식 부스러기를 주워 먹으면서 살아간다. 이와 같이 이들은 한쪽만 이익을 받고, 다른쪽은 이익이나 불이익을 받지 않는 편리공생(Commensalism) 관계이다.

빨판상어와 같은 $X_{j}$ 유기체는 $X_{i}$ 유기체와 상호작용하기 위해 생태계 내에서 무작위로 선택된다. $X_{i}$ 유기체에 새롭게 선택될 해(Solutions)는 $X_{i}$ 와 $X_{j}$ 유기체간에 서로 영향을 미치지 않으면서 한쪽에 일방적으로 이득을 얻는 관계로서 식 (5)와 같이 나타낼 수 있다. 유기체 $X_{i}$가 이전의 상호작용 적합도보다 새로운 적합도가 진보된다면 갱신해야 한다.

$(X_{best}- X_{j})$는 생태계에서 $X_{i}$의 생존 우위를 더욱 최고 수준으로 끌어올리는데 도움을 주기 위해 $X_{j}$가 제공하는 이득이 반영된다는 것을 의미한다.

2.2.3 기생 단계

말라리아 모기가 사람의 피를 빨아먹을 때 말라리아 병원체가 인간의 몸으로 들어온 뒤 간으로 이동하여 기생하다가 대량 증식한 다음 병원체가 온몸으로 퍼지게 되면 결국 인간은 고통을 받으면서 죽게 된다. 이와 같은 관계는 한쪽은 이익을 보지만 한쪽이 손해를 보는 기생관계(Parasitism)라 할 수 있다.

$X_{i}$ 유기체는 말라리아 모기와 같은 역할을 하는 유기체를 복사해가면서 탐색공간 내에서 인공 기생 벡터를 만들어낸다. 인공 기생 벡터가 적합도에 의해 진보된다면 생태계에서 무작위로 $X_{j}$를 선택해서 없앨 것이다. 만약 인공 기생 벡터로부터 면역력이 생겨 $X_{j}$ 적합도가 진보된다면, 인공 기생 벡터는 더 이상 버티지 못하고 생태계에서 사라질 것이다.

2.3 SOS-PID제어기 설계

2.3.1 적합도 함수

적합도 함수(Fitness Function)는 시스템에 있어서 적합한 유기체인가를 평가할 수 있는 함수이다. 사용한 적합도 함수는 시스템의 오차를 최소화하는 것을 목적으로 한다. 이에 따라 식 (6)과 같이 평균제곱오차(M.S.E. : Mean Square Error)를 적합도 함수로 사용하였다.

2.3.2 SOS-PID제어기 자동 동조

Fig. 3은 SOS-PID제어기가 적용된 직류전동기 폐루프 속도제어 시스템의 블록선도를 나타낸다. 직류전동기의 전류를 제어하기 위한 전류제어기와 PWM 증폭기의 전력 증폭 이득은 생략하였고, 시스템 파라미터의 변동이나 외란에 대한 강인성이 우수한 속도제어 PID제어기를 적용하였다.

2.2에서 언급한 것과 같이 공생관계 단계별 수식에 따라 Fig. 3의 시스템의 오차를 최소화하기 위해 식 (6)의 적합도 함수값과 유기체인 $K_{p},\: K_{i},\: K_{d}$의 계수를 진보된 값으로 갱신하여 종료 조건이 될 때까지 반복한다. 아래의 각 단계별 설명과 Fig. 4는 최적의 SOS-PID제어계수의 자동 동조 과정을 나타낸다.

[1단계] 생태계 초기화 단계에서 유기체인 PID제어계수의 하한값과 상한값 범위를 설정하고, 최대 유기체수, 최대 반복수, 적합도 함수값 초기화 및 유기체 무작위 초기화

[2단계] 적합도 함수 카운트 ‘1’ 증가

[3단계] 최적의 해로 진보해 나아가는 적합도 함수값과 PID제어계수로 갱신

[4단계] $X_{i}$ 유기체와 다른 $X_{j}$ 유기체를 무작위로 선택한 다음 상리공생 벡터, $BF_{1}$, $BF_{2}$를 무작위로 생성한 후 식 (4)를 계산하고 상리공생 단계에서 식 (2), (3)의 새로운 해(Solutions)를 계산하여 진보된 적합도 함수값으로 갱신

[5단계] $X_{i}$유기체와 다른 $X_{j}$ 유기체를 무작위로 선택한 다음 편리공생 단계에서 식 (5)의 새로운 해를 계산하여 진보된 적합도 함수값으로 갱신

[6단계] $X_{i}$ 유기체와 다른 $X_{j}$ 유기체를 무작위로 선택한 다음 인공 기생 벡터 생성한 후 적합도 함수값을 계산하고 적합도 함수값이 인공 기생 벡터보다 작다면 $X_{j}$ 유기체를 기생 벡터로 대체

[7단계] 최대 유기체수 조건 충족시 [8단계]로 이동하고, 조건 미충족시 적합도 함수 카운트 ‘1’ 증가 후 [3단계]로 이동

[8단계] 최대 반복수 조건 충족시 [9단계]로 이동하고, 조건 미충족시 [2단계]로 이동

[9단계] 최적화된 PID제어계수 결정

3.1 직류전동기의 전달함수

Table 1에 직류전동기의 파라미터의 값을 식 (1)에 대입하여 식 (7)의 전달함수와 같이 나타낼 수 있다.

3.2 제안한 방법과 기존 방법의 비교

본 모의실험에서는 식 (7)에 GA-PID, PSO-PID 및 SOS-PID제어기를 적용하여 Fig. 3의 폐루프 제어시스템의 스텝 응답특성을 비교하였다. 비교의 일관성을 위해 아래와 같이 기존의 알고리즘과 동일한 조건으로 제어 입력 파라미터를 적용하여 모의실험을 진행하였다.

∙ 유기체수(=개체수) : 50

∙ 최대 반복수 : 50

∙ $K_{p},\: K_{i},\: K_{d}$계수 : 하한값 [0 0 0], 상한값 [3 3 3]

SOS 알고리즘은 GA와 PSO 알고리즘과 달리 앞서 언급한 파라미터 외에 알고리즘 작동에 필요한 교배 확률, 돌연변이 확률, 관성하중, 가중치 등의 특정 제어 입력 파라미터가 불필요하여 구현하기가 쉽다.

Table 2와 Fig. 5는 Fig. 3의 제어시스템에 기준입력을 2500RPM의 속도로 인가하였을 때 출력되는 응답특성을 나타내며, SOS-PID제어기가 GA-PID와 PSO-PID제어기의 응답특성과 유사하다는 것을 확인할 수 있다.

오버슈트를 보면 SOS-PID제어기가 기존의 제어기보다 0.0247%를 상회하는 응답특성을 보이지만, Table 3에서 보듯이 SOS-PID제어기는 최적의 PID제어계수를 탐색하는 시간이 12.711sec로서 다른 제어기보다 약 9배 이상 빠르고, 시스템 오차를 최소화하는 적합도 함수값은 차이가 없음을 알 수 있다. 이와 같이 빠른 속도로 SOS알고리즘에 의해 자동 동조하여 최적화된 PID제어계수를 결정한다는 것은 SOS-PID제어기 설계 방법의 장점이라 할 수 있다.

Fig. 6은 SOS-PID제어계수의 자동 동조간 진보해 나아가는 적합도 함수값으로 갱신하면서 수렴되는 과정을 보여준다.