2.1 유도기의 등가회로도와 운전방정식

유도기는 동기속도 근처에서 전동기나 발전기로 운전이 가능하다. 그림 1은 유도기가 전동기나 발전기로 운전시의 등가회로도를 나타낸 것이다^(5-8).

여기서 $L_{m}$은 상당 자화인덕턴스, $L_{l}$은 상당 누설 리액턴스, $r_{s},\: r_{r}$은 고정자와 회전자의 상당 저항, $w$,$w_{r}$은 각각 동기각속도와 회전자의 각속도, $s$는 고정자측을 의미하는 첨자, $r$은 고정자측을 기준으로 변환한 회전자 양, $\lambda$는 자속, $d,\: q$는 각각 직축 및 횡축에 해당되는 첨자이다.

전동기 및 발전기에서 발생하는 토크는 그림 1과 같은 등가회로도에 나타낸 자속과 전류의 곱으로부터 식 (1)과 같이 나타낼 수 있다^(6,7,9).

여기서 $p$는 극수, $\lambda$는 쇄교자속, $i$는 전류이고, 첨자 $d,\:q$는 각각 직축과 횡축을 의미한다.

유도전동기의 회전자에 연결되는 부하나 발전기의 경우 축에 기계적인 토크($T_{shaft}$)를 제공하여 회전자를 동기속도 이상으로 운전하여 고정자에 전력을 공급하기 위한 수차의 토크($T_{eng\in e}$)의 크기는 서로 같다고 할 경우 다음과 같이 기계적인 방정식으로 표현할 수 있다.

여기서, $A_{0}$는 초기값이고, $A_{1}$는 부하의 특성에 따라 정해지는 값이며, $w_{r}$ 은 회전자 각속도이다.

유도기가 전동기와 발전기로 운전할 경우 운동방정식은 다음과 같다⁽¹⁰⁾.

여기서 $J$ 는 관성모멘트, $T_{mot}$ 와 $T_{g en}$의 각각 전동기와 발전기의 전기적 토크, $T_{shaft},\: T_{eng\in e}$은 각각 전동기의 부하토크와 발전기의 엔진 토크이며, $D$ 는 회전 및 마찰손실의 제동성분이다.

2.2 유도기의 기동시간

유도기는 기동 후 정상속도에 도달하기 까지 수초에서 수분이 소요된다. 이때 기동시간이 길어질수록 기동전류에 의해 전압강하가 발생하는 시간은 증가하게 된다. 유도기는 전동기나 발전기로 사용하여 정격토크에 도달할 때 부하의 토크 방향이 서로 다르기 때문에 정격속도에 도달하는 시간이 다르므로 전압강하의 지속시간이 다르게 된다. 이에 대한 수학적인 분석을 위해서는 유도기 속도특성곡선을 분석하여 가속시간에 대한 해석이 필요하다.

전동기로 동작하거나 발전기로 동작하기 위해 가속에 사용되는 토크는 관성과 부하를 모두 극복해야한다. 처음 속도가 0 에서 정격운전 속도까지 가속하는 데 필요한 시간 $t_{acc}$ 는 다음과 같다^(9-11).

여기서 $n_{r}$ 은 유도기 운전속도, $T_{M}$은 유도기의 평균 토크, $T_{L}$은 축에 연결되는 토크, $J_{M}$, $J_{L}$는 각각 유도기와 부하의 관성모멘트이다.

유도기의 평균토크는 속도-토크 특성곡선에서 최대토크($T_{\max}$)와 기동토크($T_{s tart\in g}$)로부터 다음과 같이 근사화하여 구하면 된다.

여기서 기동토크와 최대토크의 값은 제작사로부터 제출받은 값을 적용하면 된다.

가속시간은 유도기와 부하토크와 관성모멘트의 함수를 정확하게 알고 있으면 쉽게 계산할 수 있지만, 복잡하기 때문에 다음과 같은 근사화할 수 있다.

여기서 $w_{r}$은 각속도, $T_{eff}$는 유효 가속 토크이다.

유효 가속 토크는 유도기의 최대 토크와 초기 토크의 평균값에서 부하의 특성을 고려하여 다음과 같이 구하면 된다.

여기서 $k_{L}$은 토크 부하율이고, $T_{L}$은 전동기 축이나 발전기 축에 연결되는 토크이다. 전동기와 발전기의 운전시 부호가 서로 반대이므로 유효토크의 값도 달라진다. 이는 유효토크의 값에 차이가 나기 때문에 전동기와 발전기의 기동에서 정격속도에 도달하는 가속시간이 차이가 나는 원인이 된다.

3.1 해석 조건

본 연구에서는 펌프-수차용으로 사용되는 유도기를 전동기와 발전기로 운전할 경우 기동전류와 전압강하의 크기를 같은 부하 조건에서 분석하였다. 운전에서 차이를 확인하기 위해 전동기와 발전기로 운전하는 것을 동기속도를 기준으로 그리고 토크는 서로 반대가 되게 나타내었다. 전동기나 발전기로 정상적인 속도에 도달할 때까지는 변화를 분석하기 위해 전자계과도해석 프로그램(EMTP)을 이용하였다⁽¹²⁾.

표 1은 본 해석에 적용한 저압 3상 유도기의 사양을 나타낸 것이다. 실제로 표와 같은 내용은 전동기 제작사에서 제시하는 사양서를 참조해도 된다.

그림 2는 표 1에서 제시한 정격의 유도기를 전동기로 운전시 회전속도에 따른 전기적인 토크와 부하토크의 크기를 나타낸 것이다. 기동토크와 정격토크의 크기는 같은 값이고, 최대 토크는 2.2pu에 해당되는 값을 나타내고 있다. 축에 연결되는 부하는 유도전동기의 경우 펌프이고, 발전기로 운전할 경우 축에는 수차에 해당되는 것으로 설정하였다.

그림 2와 같은 특성을 가진 유도기를 펌프-수차의 부하특성을 가진 곳에 전동기 또는 발전기로 운전시 가속시간의 변화에 따라 토크, 전력 및 역률과 회전속도의 변화 그리고 기동전류와 전압강하의 크기와 지속시간에 대해 분석하였다.

그림 3은 전동기와 발전기 운전시 토크의 크기를 비교한 결과이다. 기동에서 정격속도에 도달할 때까지 토크는 전동기나 발전기 모두 같은 값(-의 값)을 유지하지만, 동기속도 전후에서 전동기(◯)와 발전기(□)로 운전이 될 때는 부호가 서로 반대가 된다. 전자계과도해석 프로그램에서 전동기의 토크는 부(-), 발전기의 토크는 양(+)로 표시된다⁽¹²⁾. 즉 전동기는 기동에서 정격속도로 운전할 때 같은 부호(부[-]영역)로 전개되지만, 발전기는 토크가 부(-)의 영역인 전동기 영역에서 반전되어 양(+)의 영역으로 전개된다. 정격속도로 운전시 전동기의 정격토크는 –400Nm이고, 발전기 운전시의 정격토크는 412Nm 이다. 전동기와 발전기로 운전시 토크의 부호가 반대가 되기 때문에 가속시간의 계산시 유효토크의 크기에서 부하토크의 부호가 달라 정격값에 도달하는 시간에 차이가 존재한다. 기동초기의 토크와 최대토크의 크기는 전동기와 발전기로 운전시 거의 같으나 최대토크와 정격토크에 도달하는 시간은 서로 다르다. 전동기로 운전하는 경우가 발전기로 운전하는 경우에 비해 더 빨리 정격토크에 도달한다.

그림 4는 전동기(◯)와 발전기(□)로 운전시 정격속도에 도달하는 시간에 대해 분석한 결과이다. 전동기로 운전시 정격속도는 1,737rpm이고, 발전기로 운전시 정격속도는 1,848rpm이다. 두개의 운전에서 발전기로 운전하는 것이 전동기로 운전하는 것에 비해 정격속도에 도달하는 시간이 더 짧은 것을 알 수 있다.

그림 4에서 알 수 있듯이 전동기로 운전할 경우 정격속도에 도달하는 시간은 4.2초 정도이지만, 발전기로 운전하여 동기속도 이상에 도달하는 시간은 2.8초 정도이다. 이 시간은 유도기가 전동운전과 발전운전으로 전개되는 동안 경과해야 할 시간으로서 기동전류의 발생시간에 해당되는 시간이다.

다음 그림 5는 전동기(◯)와 발전기(□)로 운전시 전류의 변화를 분석한 결과이다. 기동초기는 둘 다 같은 전류값을 가지지만, 정격속도에 도달한 경우에 전동기 전류는 116A이고, 발전기 전류는 108A이다. 두 운전방법에서 발전기로 운전시 정격전류에 도달하는 시간이 더 짧은 것을 알 수 있다. 발전기 운전시 전류가 약 2.6초 근처에서 순간적으로 떨어지는데 이는 토크가 반전되는 순간에 발생하는 현상이다.

그림 6은 전동기(◯)와 발전기(□)로 운전시 전압강하의 변화를 분석한 결과이다. 기동초기는 둘 다 같은 값(223V)의 전압강하를 나타내지만, 정격속도에 도달한 경우에 전동기의 전압은 255V이고, 발전기의 전압은 270V이다. 전동기로 운전시 전압강하는 12.5%이지만, 발전기로 운전시 전압강하는 17.4%로 약 5%의 전압강하에 차이가 존재함을 알 수 있다. 또한 두 운전방법에서 발전기로 운전한 경우가 전동기로 운전하는 경우에 비해 정격전압에 도달하는 시간이 더 짧은 것을 알 수 있다. 발전기로 운전시의 전압이 전동기의 전압보다 높은 것은 전원을 계통에 전력을 공급하기 위해서는 더 높아야 한다.

그림 7은 같은 크기의 축 토크를 사용하여 전동기 및 발전기로 운전시의 유효전력(P:◯), 무효전력(Q:□), 피상전력(S:△) 및 역률(pf:×)의 변화를 시뮬레이션한 결과이다. 전동기나 발전기로 운전시 무효전력은 일정하게 필요하며, 유효전력의 크기가 서로 반대가 되기 때문에 역률의 부호는 반대가 된다. 같은 크기의 토크에 대해 기동이후 정격속도에 도달하는 시간은 전동기로 발전기로 운전하는 경우가 전동기로 운전하는 경우보다 빠르고, 유효전력의 경우 전동기와 발전기의 부호가 다르기 때문에 전력의 공급과 수수가 달라짐을 확인할 수 있다.

표 2는 표 1에 제시된 사양의 유도기를 가지고서 전동 및 발전영역에서 정격속도로 운전시 전력 및 역률의 크기를 나타낸 것으로서 유효전력은 서로 반대가 되므로 동기속도 전후에 전력의 흐름이 반전되어 역률에 그대로 반영됨을 알 수 있다.