1. 서 론

Fig. 1은 2모선 단거리 송전선이다. 송전단 전압 $E$, 수전단 전압 $V$, 선로전류와 부하역률을 I 및 cosθ 라 한다.

Fig. 1. Two-bus short-length transmission line

Fig. 2 는 Fig. 1의 Vector diagram이다.

Fig. 2. Vector diagram

Vector diagram으로부터 다음의 관계를 얻는다.

식 (1)로 부터 다음과 같이 근사화된 송-수전단 전압 관계식을 얻을 수 있다.

여기서

항을 ‘등가저항’ 이라 부른다^[1-4].

Fig. 3과 같이 급전점 S 에서 $V_{S}=220V$ 를 공급하는 방사상 배전선로에서, 부하점 A, B 의 전압 $V_{A},\: V_{B}$ 를 등가저항법을 이용하여 계산해 보자. A 및 B 점의 부하전류를 $I_{A}=1.2+j.5$A 및 $I_{B}=1.6+j1.2$A라 하고, S 점에서 A 점으로 흐르는 선로전류와 역률을 $I_{SA}$ 및 cosθSA, A 점에서 B 점으로 흐르는 선로전류와 역률을 $I_{AB}$ 및 cosθAB 라 한다.

Fig. 3. Two load points A, B with VS=220V

Table 1과 같이, 각 부하전류의 복소수 합으로 선로전류 $I_{SA},\: I_{AB}$ 및 cosθ, sinθ를 쉽게 구할 수 있다^[1].

식 (2)로 $V_{S}$ 와 $V_{A}$ 사이의 관계식을 세우면:

$V_{A}와 V_{B}$ 사이의 관계식을 세우면:

를 얻는다. Fig. 3과 Table 1에 주어진 data를 대입하고 식 (4), (5)의 연립방정식을 풀면 $V_{A},\: V_{B}$를 구할 수 있으나, 다음과 같은 Step-by-step 풀이도 가능하다.

Step-by-step 풀이 :

Step 1 : 송전단 전압

가 주어졌으므로 식 (4)에서:

Step 2 : Step 1에서 얻은 $V_{A}=208.51$ 을 식 (5)에 대입하면:

로써 $V_{A},\: V_{B}$를 차례로 구할 수 있다^[1].

이처럼 등가저항법에 의한 전압계산 수식 (2)는

- 수식이 간단하고,

- 계산 오차가 실용상 거의 문제가 없으며,

- 공학용 계산기로 손쉽게 현장 계산이 가능한 점 등의 장점이 있어, 배전 실무현장에서 부하 전압과 선로 전압강하를 계산할 때 널리 활용되어 왔다. IEC 60364 도 등가저항법에 의한 근사식을 제시하고 있다^[5-7]. 그러나, 실무현장에서는 대개 부하를 kVA 나 P,Q 형태로 표현하고 있다. 예를 들면, 신규 수용가 부하의 경우 계약 용량이 먼저 거론된다. 등가저항법과 같이 부하를 정전류로 표현하는 경우는 실무현장에서 거의 찾아보기 힘들다. 모선 부하를 P,Q 로 표현하고 회로를 해석하는 대표적인 tool로서 조류계산을 들 수 있다^[8]. 조류계산에 의한 전압계산은 정확한 해를 도출하지만,

- 모선마다 2개의 P-Q 방정식을 세우고,

- slack 모선, 발전기 모선 및 부하모선을 지정하고

특정 초기값을 대입해야 하며.

- 회로의 parameter 값을 pu 값으로 변환해야 하는 등, 프로그램을 이해하고 활용하는데 많은 전문지식이 요구되어, 실무현장의 엔지니어들이 활용하기에는 상당한 부담이 따른다.

P,Q 부하가 주어진 배전선로에서 V-P formula(=Voltage-Power formula)를 이용하여 부하전압을 계산하는 기법이 최근 발표되었다^[9]. 문헌 ^{[10, 11]}은 송수전단 전압과 P,Q 부하간의 관계식을 연립으로 풀어, 각 부하점의 전압을 구하는 예제를 보여 주고 있다. 그러나, 전기엔지니어들이 산업현장에서 주로 의존하는 도구는 공학용 계산기이며, 시판되는 계산기의 대부분은 조류계산이나 V-P formula로부터 세워진 연립방정식을 푸는 기능이 없다. 식 (7), (8)과 같은 Step-by-step 풀이는 매 step 마다 하나의 수식을 풀어 하나의 전압변수에 대한 해를 구하게 되므로 식 (4), (5)를 연립으로 풀지 않고도 공학용 계산기만으로 연산이 가능하다. 전문가용 PC 프로그램이 아닌 휴대용 계산기로 연산이 가능한 Step-by-step 풀이방법은 프로그램에 대한 전문성이 부족한 실무현장에서는 매우 유용한 tool 이라 할 수 있다. 본 논문에서는 P-Q 부하가 주어진 방사상 배전선로에서 Simplified V-P Formula를 이용하여^[11], 연방정식을 풀지 않고, Step-by-step으로 각 부하점의 전압을 계산하는 방법을 제안한다.

2. V-P Formula를 이용한 P-Q 부하점의 전압계산 방법 검토

최근 발표된 문헌 ^[9-11]의 내용에서 기술하고 있는 계산 방법을 검토한다.

2-1. Voltage-Power formula

Fig. 4는 P+jQ 부하를 가진 단거리 송전선이다^[9].

Fig. 4. Short-length transmission line with a load P+jQ

E 와 V 는 송전단 및 부하단 모선의 전압의 크기, $\dot{Y}=G-j B$ 는 두 모선을 연결하는 admittance이다.

Fig. 4로부터 아래의 관계식을 얻을 수 있다.^[9,Appendix]

(9)

$(P+GV^{2})^{2}+(Q+BV^{2})^{2}=(VYE)^{2}$

식 (9)는 송수전단 전압과 부하전력을 변수로 가지는 수식이므로 2모선 시스템의 Voltage-Power formula 또는 V-P formula라 부른다^[9-11].

2-2. V-P Formula 를 이용한 두 P, Q 부하점의 전압계산

Fig. 5는 급전점 S 에서 P, Q 부하를 가진 두 부하점 A, B에 전압 VS=24 V 를 공급하는 배전선로이다. A, B 점의 전압 VA 및 VB 를 구해보자^[10].

Fig. 5. Two load points A, B with VS=24 V

우선, 말단 B 부하점의 전압 VB 와 A 부하점의 전압 VA 사이에 V-P formula ^[9]를 적용하면 다음의 관계를 얻을 수 있다.

(10)

$(P_{B}+G_{AB}V_{B}^{2})^{2}+(Q_{B}+B_{AB}V_{B}^{2})^{2}=(V_{A}Y_{AB}V_{B})^{2}$

단, $Y_{AB},\: G_{AB},\: B_{AB}$, 는 $R_{AB}+j X_{AB}$ 의 admittance, conductance, susceptance 이다.

V-P formula는 2모선에 대한 수식이므로, 급전점 S의 전압 VS 와 부하점 A의 전압 VA 사이의 관계식을 얻으려면 부하점 A와 말단 부하점 B사이의 모든 소비전력을 A점에 집약시켜야 한다. A점에 집약된 등가 유효전력 부하 및 무효전력 부하 $P^{\Sigma},\: Q^{\Sigma}$ 는 아래와 같이 표현될 수 있다.

(11)

$P^{\Sigma}=P_{A}+P_{B}+P_{Loss}$

(12)

$Q^{\Sigma}=Q_{A}+Q_{B}+Q_{Loss}$

단, $P_{Loss}$ 및 $Q_{Loss}$ 는 A-B점 사이를 흐르는 전류 IAB 에 의한 선로의 유효 및 무효 전력손실이다.

식 (11), (12)를 감안한 S-A 점 사이의 2모선 개념도를 그리면 Fig. 6과 같다.

Fig. 6. Load $P^{\Sigma},\: Q^{\Sigma}$ aggregated at load point A

Fig. 6의 $P^{\Sigma},\: Q^{\Sigma}$ 를 V-P formula에 적용하면:

(13)

$\begin{array}{l} (P^{\Sigma}+G_{SA}V_{A}^{2})^{2}+(Q^{\Sigma}+B_{SA}V_{A}^{2})^{2}=(V_{S}Y_{SA}V_{A})^{2} \\ ⇒\\ \left[(P_{A}+P_{B}+P_{Loss})+G_{SA}V_{A}^{2}\right]^{2}+\\ \\ \left[(Q_{A}+Q_{B}+Q_{Loss})+B_{SA}V_{A}^{2}\right]^{2}=(V_{S}Y_{SA}V_{A})^{2} \end{array} $

의 관계를 얻는다. 단, $Y_{SA},\: G_{SA},\: B_{SA}$, 는 $R_{SA}+j X_{SA}$ 의 admittance, conductance, susceptance 이다.

$P_{Loss}$ 및 $Q_{Loss}$ 는 아래의 수식으로 구할 수 있다.

(14)

$P_{Loss}=I_{AB}^{2}\bullet R_{AB}=\dfrac{P_{B}^{2}+Q_{B}^{2}}{V_{B}^{2}}\bullet R_{AB}$

(15)

$Q_{Loss}=I_{AB}^{2}\bullet X_{AB}=\dfrac{P_{B}^{2}+Q_{B}^{2}}{V_{B}^{2}}\bullet X_{AB}$

(14), (15)의 관계를 (13)에 대입하면

(16)

$\begin{array}{l} \left[(P_{A}+P_{B}+\dfrac{P_{B}^{2}+Q_{B}^{2}}{V_{B}^{2}}\bullet R_{AB})+G_{SA}V_{A}^{2}\right]^{2}\\ +\left[(Q_{A}+Q_{B}+\dfrac{P_{B}^{2}+Q_{B}^{2}}{V_{B}^{2}}\bullet X_{AB})+B_{SA}V_{A}^{2}\right]^{2}=(V_{S}Y_{SA}V_{A})^{2} \end{array} $

를 얻을 수 있다. 주어진 data를 대입하고 식 (16) 및 식 (10)을 연립으로 풀면,

(17)

$V_{A}=21.04$ $V_{B}=20.46$

을 얻는다. 이 해는 조류계산 결과와 정확하게 일치한다^[10].

3. Simplified V-P Formula 를 이용한 배전선로의 Step by Step 전압계산

식 (10), (18)과 같은 연립방정식은 Equation Solver Program이 탑재된 Tablet 이나 PC 에서는 풀이가 가능하지만, 실무현장에서 사용되는 평범한 공학용 계산기로는 풀기가 어렵다. 그런데, 식 (18)을 살펴보면, 식 (16)에 있었던 변수 $V_{B}$ 가 간략화 과정에서 배제되어, Simplified V-P formula (18)은 S, A 양단의 전압 $V_{S},\: V_{A}$ 2개 만을 변수로 가지는 간단한 형태임을 볼 수 있다.

이 성질을 이용하면, 다음과 같이 Step by Step으로 $V_{A},\: V_{B}$ 값을 차례로 구할 수 있다.

4. 3개의 부하점을 가진 배전선의전압계산 결과 비교 및 해의 신뢰도 검증

Fig. 7과 같이 세 개의 부하점 A, B, C 를 가진 배전선로에서, 전압 $V_{A},\: V_{B},\: V_{C}$ 를 Step by step으로 계산해 보자.

A,B,C 점에 각각 정전력 부하

가 주어진 것으로 가정한다.

Fig. 7. A radial distribution line with 3 load points

5. 결 론

본 논문에서는 P-Q 부하가 주어진 방사상 배전선로에서 Simplified V-P formula를 이용하여 연립방정식을 풀지 않고, Step-by-step으로 각 부하점의 전압을 계산하는 방법을 검토하였다.

Simplified V-P formula가 양단 2개의 전압 변수만을 가지는 성질을 이용하면, 방사상 배전선로의 부하점 전압을 Step-by-step으로 풀 수 있다.

P-Q 부하가 주어진 중부하 상태의 3 부하점 배전선로의 사례연구 결과, Simplified V-P Formula를 이용한 Step-by-step 방법으로 구해진 연산결과는 조류계산 결과에 비하여 0.25% 이하의 오차를 보였으며 신뢰도가 높은 것으로 판단된다.

Step-by-step 풀이는 매 step 마다 하나의 수식으로 하나의 변수값에 대한 해를 구하게 되므로, 연립방정식을 풀지 않고도 부하점의 전압을 차례로 푸는 것이 가능하다.

전문가용 프로그램을 사용하지 않고 휴대용 계산기로 연산이 가능한 Step-by-step 풀이 방법은, 프로그램에 대한 전문성이 부족하고 시간에 쫒기는 실무현장에서는 유용한 tool 이 될 수 있다.