1. 서 론

일반적으로 전동기는 PSIM과 같은 회로 시뮬레이터에서 시뮬레이션을 수행한다. 이때에 정상 상태 모델이 사용된다. 그러나, 전동기를 구동하는 경우에 발생하는 과도 상태의 변화를 분석하는 것은 중요한 주제가 된다. 이때에 Simulink는 이와 같은 전동기에서 발생하는 과도 상태에 대한 해석을 쉽게 수행할 수 있고, 추가적으로 제어 관련 알고리즘 개발에 따른 연동 시뮬레이션도 분석할 수 있도록 통합 환경을 제공한다. 기존에 알려진 전동기 방정식과 새로운 제어 및 구동 알고리즘을 Simulink에서 동작하는 모델로 구현할 수 있는데, 기존의 전압 방정식은 시간에 따른 미분 변수가 하나가 아닌 2개를 가지고 있으므로 Simulink 모델를 포함한 일반 소프트웨어로 구현하기 어렵다. 이때에 하나의 미분 변수를 갖는 전동기에 대한 상태 방정식을 유도하기 위한 자속 방정식 모델을 여러 논문에서 제시하였는데^{[1, 2]}, 본 논문에서는 자속 관련 6x6 행렬에 대한 역행렬을 계산하여 새로운 자속 방정식 모델을 제안하였다. 제안된 모델을 Simulink로 구현하고 그 결과를 상용 시뮬레이터인 PSIM을 이용하여 비교 검증하였다.

2. 전동기 전압 방정식

교류 전동기는 회전자(rotor)를 강자성체로 만든 유도기(Induction Motor, IM)^[3]와 회전자가 영구자석인 동기기(Permanent Magnetic Synchronous Motor, PMSM) 등으로 분류된다. 그리고, 고정자(stator)는 강자성체에 도체를 감아 만든 전자석을 동일하게 이용한다. Fig. 1은 본 논문에서 사용될 2-poles 3상 유도 전동기의 권선 구조이다^{[4, 5]}.

여기서,

$N_{s}$ : 고정자 유효 권수, $R_{s}$ : 고정자 저항

$N_{r}$ : 회전자 유효 권수, $R_{r}$ : 회전자 저항이다.

또한, 철심의 투자율은 무한대로서 포화 현상은 무시하며, 슬롯 효과와 코깅 토크(cogging torque) 등의 현상은 없다고 가정한다. Fig. 1에 주어진 유도 전동기는 권선이 고정자 3개와 회전자 3개, 총 6개이므로 6개의 전압 방정식으로 표현된다. 권선의 전압은 저항에서의 전압 강하와 고정자와 회전자에 감은 코일을 관통하는 쇄교 자속(Linkage flux)의 변동으로 인한 전압의 합으로 표현되는 데, (식 1)과 같이 6개의 전압 방정식을 고정자와 회전자의 2개 행렬식으로 나타낼 수 있다.

단,

① 고정자 전압 : $V_{abcs}=[v_{as} v_{bs} v_{cs}]^{T}$,

고정자 전류 : $i_{abcs}=[i_{as} i_{bs} i_{cs}]^{T}$

고정자 쇄교 자속 : $\lambda_{abcs}=[\lambda_{as}\lambda_{bs}\lambda_{cs}]^{T}$,

고정자 저항 : $R_{s}=\begin{bmatrix}R_{s}&0 &0 \\ 0& R_{s}& 0\\ 0& 0&R_{s}\end{bmatrix}$

② 회전자 전압 : $V_{abcr}=[v_{ar} v_{br} v_{cr}]^{T}$,

회전자 전류 : $i_{abcr}=[i_{ar} i_{br} i_{cr}]^{T}$

회전자 쇄교 자속 : $\lambda_{abcr}=[\lambda_{ar}\lambda_{br}\lambda_{cr}]^{T}$,

회전자 저항 : $R_{r}=\begin{bmatrix}R_{r}&0 &0 \\ 0& R_{r}& 0\\ 0& 0&R_{r}\end{bmatrix}$

쇄교 자속을 유도 전동기의 전압 방정식에 대입하여 정리하면, (식 4)와 같이 인덕턴스와 전류에 대한 행렬로 나타낼 수 있다. 즉,

(식 4)의 첫 번째 행과 같이 주어진 abc축 좌표계의 고정자 권선의 전압 방정식을 임의의 각속도 $\omega$로 회전하는 $d^{\omega}- q^{\omega}$축 전압 방정식으로 변화하기 위해서 $T(\theta)$를 (식 2)에 곱해 주고, 정리하면, (식 5)와 같이 $\beta$(단, $\theta -\theta_{r}=\beta$)를 사용하여 abc축 좌표계의 회전자 전압 방정식을 $d^{\omega}- q^{\omega}$축의 식으로 변환할 수 있다.

단, $T(\theta)= R(\theta)T(0)$, 여기서,

$R(\theta)=\begin{bmatrix}\cos\theta \sin\theta &0 \\-\sin\theta \cos\theta &0\\0 0 1\end{bmatrix}$, $T(0)=\dfrac{2}{3}\begin{bmatrix}1 -\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\\0 \dfrac{\sqrt{3}}{2} -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{21}}}{\sqrt{2}}\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}$이다.

여기서,

$T(\theta)V_{abcs}= v_{dqns}^{\omega}$이고, $T(\theta)\dfrac{d T(\theta)^{-1}}{dt}=\omega\begin{bmatrix}0&-1 &0 \\1 &0 &0 \\ 0& 0& 0\end{bmatrix}$이다. 임의의 각속도 $\omega$로 회전하는 $d^{\omega}- q^{\omega}$축상에서의 유도 전동기에 대한 전압방정식을 정리하면 다음과 같다^[5-7].

◼ 고정자에 대한 전압 방정식 :

(식 6)은 (식 7)과 같이 정리할 수 있다.

◼ 회전자에 대한 전압 방정식 :

(식 8)은 (식 9)과 같이 정리할 수 있다.

(식 8)과 (식 9)로 표현된 전압 방정식은 통계적인 시뮬레이션 방법, 예를 들면, 몬테카를로 시뮬레이션(Monte Carlo 시뮬레이션)을 적용해야 시뮬레이션을 수행할 수 있다. 본 논문은 이보다는 (식 8)과 (식 9)로 표현된 전압 방정식을 쇄교 자속 중심의 방정식으로 변형하여 쉽게 시뮬레이션 모델을 생성할 수 있는 수식으로 변환하는 과정을 보여주고, 변환한 수식에 근거하여 Mathwork Inc.의 Simulink 모델로 모델링하여 시뮬레이션을 수행하고, 그 결과를 동일 조건에서 수행한 PSIM의 결과물과 비교하여 수식의 변환에 대한 정당성을 보여준다.

Fig. 1. Stator and rotor of induction motor

3. 시뮬레이션 모델 생성을 위한 전압 방정식 변환

(식 8)과 (식 9)에 보여준 것과 같이 전류에 대한 상태 방정식으로 전압 방정식들을 표현하는 경우에는 각각의 전압 방정식들에 2개의 시간에 따른 서로 다른 미분 항들이 있는 것을 볼 수 있다. 이처럼 2개의 서로 다른 미분 항들이 있는 경우에는 근본적으로 산술 루프를 가지게 되어 선형 시스템이 아니다^{[6, 7]}. 결국, 해당 미분 방정식을 풀 수 없게 된다. 무엇보다 산술 루프를 피하기 위해서 미분 블록을 사용한다면 급격한 변화를 갖는 신호에 대해서는 큰 값을 가지게 되어 전반적인 시뮬레이션에 대한 신뢰도를 잃게 된다. 주어진 시스템을 모델링하는 방법에는 전달함수로 표현하는 방법과 상태 방정식으로 표현하는 방법이 있다. 그런데, 대부분의 경우에는 상태 방정식으로 시스템을 표현한다. 그것은 전달함수로 표현하는 경우, 분모에 아주 작은 값이 갑자기 나타난다면, 전체 시스템의 이득에 큰 영향을 주기 때문이다. (식 8)과 (식 9)가 안고 있는 문제점을 극복하고, 시뮬레이션을 수행할 수 있는 모델을 생성하기 위하여 전압 방정식을 쇄교 방정식으로 표현하겠다. 우선, 전압 방정식에 나오는 쇄교 자속식을 d-q축상에서 구하기 위해서 abc축 좌표계의 고정자 쇄교 자속을 임의의 각속도 $\omega$로 회전하는 $d^{\omega}- q^{\omega}$축에서의 식으로 변환하면, (식 10)을 얻을 수 있다. 단, $L_{m}=\dfrac{3}{2}L_{ms},\: L_{s}= L_{ls}+ L_{m}$이다.

[Fig. 2]는 각속도 $\omega$로 회전하는 $d^{\omega}- q^{\omega}$축을 나타낸다.

(식 10)은 $d^{\omega}- q^{\omega}$축에서의 고정자 쇄교 자속에 대한 수식이다. 또한, $d^{\omega}- q^{\omega}$축에서의 회전자 쇄교 자속에 대한 수식을 구하면 (식 11)과 같다.

단, $L_{m}=\dfrac{3}{2}L_{mr}=\dfrac{3}{2}L_{ms},\: L_{r}= L_{lr}+ L_{m}$이다.

(식 10)과 (식 11)에서 $L_{m}=\dfrac{3}{2}L_{mr}=\dfrac{3}{2}L_{ms}$으로 놓고 고정자와 회전자의 쇄교 자속의 관계를 정리하면 (식 12)와 같다.

(식 12)에서 회전자와 관련된 항목들에 사용한 기호(즉, ‘)는 고정자 측면에서 다음과 같은 관계를 갖는 다는 것을 의미한다.

그리고, 고정자 측면에서 자화 인덕턴스 $L_{m}$는 다음과 같은 관계식을 가진다.

(식 12)를 (식 6)과 (식 8)에 대입하고, 정리하면, 유도 전동기에 대한 전압 방정식을 얻을 수 있다. 그러기 위해서는 우선, (식 12)에 대한 역행렬을 구해야 한다.

여기서, $L = L_{ls}· L_{lr}^{'}+ L_{ls}· L_{m}+ L_{lr}^{'}· L_{m}$

수식을 좀 더 간단히 하기 위해서 $N_{s}= N_{r}$과 같이 턴수가 동일하다고 가정하고, 또한, 중성점에 대한 전압식은 생략한다.

◼ 고정자에 대한 전압 방정식 :

정리하면, 다음과 같다.

◼ 회전자에 대한 전압 방정식 :

정리하면, 다음과 같다.

(식 19)와 (식 21)처럼 쇄교 자속에 대한 상태 방정식으로 전압 방정식들을 표현한 경우에는 앞에서 유도한 (식 7), 그리고 (식 9)와는 다르게 시간에 따른 미분항이 하나밖에 없다는 것을 알 수 있다. 물론, 이론적으로는 (식 19)와 (식 21), 그리고, (식 7)과 (식 9)는 동일하지만, 시뮬레이션 모델을 생성하기 위한 수식 구조상으로는 아주 중요한 차이점이 있다는 것을 알 수 있다.

Fig. 2. $bold d^{\omega}-q^{\omega}$ axis by Angular Velocity $bold\omega$

4. Simulink 모델 생성과 PSIM 시뮬레이션 결과 비교

3상 유도 전동기를 표현하는 (식 19)와 (식 21)를 이용하여 Mathworks Inc.의 전문 시뮬레이션 개발 도구인 Simulink 모델을 만들면, Fig. 3과 같다^[8-10].

Fig. 4는 Fig. 3에서 (식 19)를 표현한 부분만 확대하여 보여준 것이다. 단, IM은 Induction Motor를 의미한다.

특별히, 주의해서 볼 것은 ①번과 같이 고정자의 상변환에는 고정자 주파수를 사용해야하고, 회전자의 상변환에는 $\omega -\omega_{r}$을 사용해야 한다는 것이다. 또한, ②번에서 보여준 $L$은 (식 17)에서 유도한 것이고, ③번은 좌표변환에서 블록 라이브러리화한 것을 사용하였다. 이 모델은 Fig. 3에서 “회전자 상변환” 관련 블록들을 보면 알 수 있듯이 농형(Squirrel-Cage type)과 권선형(Wound-Rotor type)을 모두 파라미터 설정박스에서 선택하여 시뮬레이션에 사용할 수 있도록 만든 것이다. 그러나, Fig. 5와 같이 현재, 가장 많이 사용하는 농형만 지원하도록 제한하였다. Fig. 6은 Fig. 3에서 만든 Simulink 모델을 Fig. 5와 같은 파라미터들로 설정하고, 시뮬레이션 구간은 [0～1.4]초로 한 것이다. Fig. 7부터 Fig. 10까지 보여준 시뮬레이션 결과들의 왼쪽은 Fig. 6에서 보여준 Simulink model에 대한 것이고, 오른쪽은 Fig. 11에서 보여준 PSIM model에 동일한 파라미터를 설정하였을 때의 시뮬레이션 결과이다. Fig. 11은 Fig. 5에서 보여준 3상 유도 전동기 파라미터를 설정하고, 그에 따른 출력 값들을 얻기 위해서 만든 PSIM의 dll 블록이다. t = 0.8초에서 3마력의 부하가 가해졌을 때, 전류가 더 많이 요구되는 것을 알 수 있다.

그리고, 회전자와 고정자의 주파수를 볼 수 있으며, 그에 따른 슬립(slip)의 변화량을 볼 수 있다. 슬립은 1에서 0까지 변화하며, t=0.8에서 약간 증가하는 것을 확인 할 수 있다. 부하가 가해질 때, 속도 제어를 하지 않으므로 회전자의 속도가 떨어지는 것을 알 수 있으며, 동기속도로 회전자가 회전할 때는 구동 토크는 0인 것을 알 수 있다. Fig. 7부터 Fig. 10까지의 PSIM에서의 시뮬레이션 결과와 Simulink로 시뮬레이션 한 결과가 상호 유사하다는 것을 확인 할 수 있다.

Fig. 3. 3-phase induction motor simulink model

Fig. 4. Part of 3-phase IM simulink model

Fig. 5. 3-phase IM simulink parameters

Fig. 6. 3-phase IM simulation simulink model

Fig. 7. Result of 3-phase IM simulation - slip

Fig. 8. Result of 3-phase IM simulation - torque

Fig. 9. Result of 3-phase IM simulation - velocity

Fig. 10. Result of 3-phase IM simulation–ids/iqs

Fig. 11. PSIM simulation model of 3-phase IM

5. 결 론

본 논문에서는 3상 유도 전동기에 대한 정확한 시뮬레이션을 수행하기 위한 새로운 자속 방정식을 유도하였다. 유도한 방정식에 대한 검증을 위하여 Mathworks Inc.의 Simulink를 이용하여 모델링 하고, 시뮬레이션 하였다. 동일한 조건에서 전용 시뮬레이션 소프트웨어인 PSIM을 이용하여 모델링하고, 시뮬레이션하여 결과를 비교하였다. 슬립, 토크, 각속도, 고정자 전류를 비교한 결과 동일한 2개의 결과물을 확인하게 되었다. 이로부터 본 논문에서 기술한 새로운 자속 방정식에 대한 타당성을 확인하였다. 논문을 통하여 개발한 Simulink model을 이용하여 Simulink 환경에서 향후 전동기 제어 관련 추가적인 알고리즘 개발에 적극 활용할 수 있게 되었다.