3.1 결정변수

제안하는 모형에서 사용하는 변수는 X, W, B, S의 네 종류로 구분할 수 있는데, 이 중에서 W에 속하는 변수는 정수변수이다. 이제 각 변수의 의미를 종류별로 설명하고자 한다.

시간구간의 개수를 $n_{T}$라 하면, X에 속하는 변수의 개수는 $6n_{T}+1$개이다. 구체적으로는 각 시간구간 t마다 다음의 6가지 변수가 있다.

· 총 부하 전력량($x_{1t}$)

· 구매하여 부하에 공급하는 전력량($x_{2t}$)

· 구매하여 ESS에 저장하는 전력량($x_{3t}$)

· PV발전에서 ESS에 저장하는 전력량($x_{4t}$)

· ESS에서 부하에 공급하는 전력량($x_{5t}$)

· ESS에 저장되어 있는 에너지양($x_{6t}$)

위의 각 항목에 해당하는 변수는 각각 $n_{T}$개씩 이며, $x_{6t}$항목만은 모든 작업이 종료된 후의 ESS에 저장된 에너지양 조건이 필요해서 $n_{T}+1$개가 된다. X에 속하는 변수들은 Kondili의 모형에는 없으며 PV발전과 ESS를 포함한 부하계획을 위하여 본 논문에서 도입하였다.

W에 속하는 변수는 각 task의 작업 시작시간을 결정하는 정수변수로 0 또는 1 값을 가진다. 예를 들어, 변수 $w_{ijt}$가 1이면 task i는 unit j를 사용하여 시간구간 t에 작업을 시작함을 의미하고 0이면 해당 작업이 해당 시간에 시작하지 않음을 의미한다.

B에 속하는 변수 $b_{ijt}$는 대응되는 변수 $w_{ijt}$의 작업량을 의미하며, 따라서 변수 $b_{ijt}$의 개수는 변수 $w_{ijt}$의 개수와 같다. 여기서, 작업량은 task에서 다루는 재료 또는 생성물의 무게를 뜻한다. $w_{ijt}$가 1이면 대응되는 $b_{ijt}$의 값은 해당 작업의 작업강도를 의미하는 0이상의 실수이며 $w_{ijt}$가 0이면 작업을 수행하지 않으므로 대응되는 $b_{ijt}$또한 0이다.

S에 속하는 변수 $s_{kt}$는 시간구간 t에서 state k의 값, 즉 원재료, 중간 생산물, 최종 생산물의 저장량을 의미한다. S에 속하는 변수는, 각 시간구간 뿐 아니라 모든 작업이 종료된 후의 state의 저장량에 대한 제약조건도 있어야 하므로 각 state 마다 $n_{T}+1$개의 변수가 필요하다.

3.2 등식조건

등식조건은 모두 4종류로 구분하였다.

첫째로는 부하량 관련 조건으로서 변수 X의 첫 번째 부류에 속하는 ‘총 부하 전력량’을 얻기 위한 식이다. 이를 수식으로 표현하면 식 (1)과 같다.

식 (1)에서 $p_{ijt}$는 task i가 unit j를 사용하여 시간구간 t에서 소비하는 전력으로 식 (2)와 같이 계산된다. 식 (2)에서 $\alpha_{ij}$는 unit j에서 task i를 수행하면서 작업량과 관계없이 사용하는 기본 전력량이고 $\beta_{ij}$는 작업량에 비례하는 전력량의 비례상수이다. 한편 식 (2)에서 $\theta$는 시간구간 t를 포함하는 시간대의 작업임을 표현하고자 사용하였다. 예를 들어, $w_{215}$가 1이면 task 2가 unit 1을 사용하여 시간구간 5에서 작업을 시작하는 것을 의미하는데 작업시간이 3시간이라면 시간구간 5, 6, 7동안 전력을 소비하게 된다. 즉, $w_{216}$과 $w_{217}$은 0이지만 $p_{216}$과 $p_{217}$은 0이 아니다. 이 경우에 작업 $w_{215}$은 시간구간 5, 6, 7을 포함하는 시간대의 작업이 되며 이러한 관계를 의미하고자 식 (2)에서 첨자 $\theta$를 사용하였다.

두 번째는 부하수급조건으로 ‘총 부하 전력량’이 구매해서 부하에, PV발전에서 부하에, ESS에서 부하에 공급하는 전력량의 합과 같아야 함을 반영한다. 이를 수식으로 표현하면 식 (3)과 같고, $PV_{t}$는 시간구간 t에서의 태양광 발전량으로 예측값이다.

세 번째는 state의 연속성조건으로 state의 값은 이전 시간구간에서의 값에서 현재 사용한 양을 빼고 현재 생산된 양을 더한 값과 같아야 함을 반영한다. 이를 식으로 표현하면 식 (4)와 같다.

식 (4)에서 $i_{k}^{m}$과 $i_{k}^{u}$는 각각 state k를 생산/소비하는 task를 의미하며, $j_{i}$는 task i를 수행할 수 있는 unit을 의미한다. 또한, $\overline{\rho}_{ik}$와 $\rho_{ik}$는 각각 작업량에 대한 생산량/소비량의 비율을 의미한다. 한편, state의 소비는 작업의 시작과 동시에 이루어진다고 취급할 수 있으나 생산하는 데는 시간이 필요하므로 이를 반영하고자 식 (4)에서 기호 $\theta$를 사용하였고, $\theta$는 시간구간 t에서 state k가 생산되는 작업임을 의미한다. 그리고, 모든 state는 초깃값이 주어져야 하므로 식 (4) 외에 각 초깃값을 지정하는 등식 조건이 추가로 부가된다.

네 번째로, ESS에 저장된 에너지의 연속성 조건이 필요하며 이는 이전 시간구간에서의 저장량, 충전량, 방전량을 이용하여 식 (5)와 같이 반영하였다.

ESS는 초깃값과 최종값이 모두 주어져야 하므로 식 (5) 외에 이와 관련된 두 개의 등식 조건이 추가로 부가된다. 만약 초깃값만 지정하고 최종값을 지정하지 않으면 ESS에 저장된 에너지를 모두 사용하도록 부하계획이 세워져서 그다음 날의 부하계획에 영향을 미치게 된다. 본 논문에서는 ESS의 초깃값과 최종값이 같아지도록 하였다.

3.3 부등식조건

부등식조건 또한 모두 4종류로 구분하였다.

첫째로는 동시불가능 조건으로 동일한 task가 동시에 여러 개 진행되거나 하나의 unit을 동시에 여러 task가 사용할 수 없음을 반영한다.

식 (6)에서 $i_{j}$는 unit j를 이용하는 task의 집합을, $t_{i}$는 $w_{ijt}$가 작업 중인 시간구간의 집합을 의미하며 i'은 $i_{j}$의 원소이고 t'은 $t_{i}$의 원소이다. 만약 $w_{ijt}$가 1이면 $\sum_{i_{j}}\sum_{t_{i}}w_{i'jt'}\le 1$을 만족해야 하는데 $w_{ijt}$가 이미 1이므로 이를 제외한 좌변의 다른 변수들은 0이어야 하므로 동시 불가능 조건을 충족한다. 반면에, $w_{ijt}$가 0이고 M이 충분히 큰 수이면, 식 (6)은 $\sum_{i_{j}}\sum_{t_{i}}w_{i'jt'}\le M+1$이 되어 좌변의 변수들에 대한 제약은 실질적으로 없는 것과 같다.

두 번째는 변수 $b_{ijt}$의 범위에 대한 제약조건으로 작업강도 $b_{ijt}$는 $w_{ijt}$가 1이면 그 허용 범위인 $q_{ij}^{\min}$와 $q_{ij}^{\max}$사잇값이어야 하고 $w_{ijt}$가 0이면 0이어야 한다. 이는 식 (7)과 같이 반영할 수 있다.

세 번째는 각 state의 최종값 조건인데, 모든 state의 최종값의 최소값을 지정하여 준다. 일반적으로 state의 최종값이 주어진 최소값과 같을 때 전기요금이 가장 작겠지만 특성상 최소값을 정확히 맞출 수 없는 작업도 있을 수 있으므로 등식조건이 아닌 부등식조건으로 지정하였다. 이는 식 (8)과 같이 반영하였다.

네 번째로 ESS의 전력변환장치(PCS)의 한계로 인하여 각 시간구간에서 충전할 수 있는 전력의 한계를 반영해야 하는데 식 (9)와 같이 표현할 수 있다.

한편, ESS를 방전하는 경우에도 PCS 제약조건이 있어야 하지만 ESS 방전량은 하나의 변수 $x_{5t}$로 표현되므로 다음 절의 변수 범위에서 반영하였다.

3.3 목적함수 및 결정변수의 범위

최적화의 목표가 전기요금의 최소화이므로 목적함수는 식 (10)과 같이 구매한 전력량에 요금 단가를 곱해서 표현할 수 있다. 여기서 $Rate_{t}$는 시간구간 t에서의 전기요금 단가이다.

끝으로, 각 결정변수의 존재 가능한 범위는 식 (11)～(16)과 같다.

위에서, $P_{\max}$는 전력 수전설비의 한계값, $ESS_{\min}$와 $ESS_{\max}$는 ESS에 저장할 수 있는 에너지의 하한값과 상한값, $s_{k}^{\min}$과 $s_{k}^{\max}$는 state k에 저장할 수 있는 하한값과 상한값이며 M은 충분히 큰 수로서 변수 $b_{ijt}$의 상한은 식 (7)에서 결정되므로 여기서는 제한이 없음을 의미한다.

4.1 문제 설명

Fig. 1의 일괄작업은 5종류의 작업으로 구성되어 있지만 Reaction 1, 2 ,3에서 공용으로 사용할 수 있는 반응기(reactor)가 2개라고 가정하여 Table 1과 같이 8개의 작업으로 구분하였다. 예를 들어, Task 2와 3은 같은 작업이지만 사용하는 unit이 달라서 별도의 작업으로 구분하였다. α와 β는 3절에서 설명한 사용 전력량(kW)과 관련된 계수이다.

Table 2는 일괄작업에 사용하는 unit에 대한 정보이며 각 unit이 감당할 수 있는 재료의 무게 한계가 함께 주어져 있다.

Fig. 1에서 state는 모두 9개이며 이를 Table 3에 정리하였다. 각 중간 산물은 일괄작업 과정 중에 저장할 수 있는 최대량을 함께 수록하였다. 각 task와 state의 관계는 Fig. 1로부터 알 수 있다.

사례연구에서 가정한 ESS의 데이터는 Table 4와 같다. 일괄작업이 종료된 후에 ESS에 저장된 에너지양은 초깃값과 같아지도록 제약을 두었다.

시간대별 전기요금과 태양광 예상 발전량은 Table 5에 주어졌으며 발전량의 단위는 kWh이다.

모든 시간 구간에서 총 부하의 합과 구매할 수 있는 전력의 한계는 모두 1,000kW로 제한하였고, 작업가능 시간은 2시～22시로 제한하였다. 끝으로, 일괄작업의 목표량은 Product 1이 200kg, Product 2가 300kg이다.

4.2 사례연구 결과

앞에서 설명한 문제에 제안한 부하계획 모형을 적용하여 얻은 일괄작업계획을 Fig. 2와 3에서 확인할 수 있다. Fig. 2에서는 각 task별로 작업시점과 작업량(kg)을 쉽게 알 수 있고, Fig. 3에서는 각 unit별로 수행되는 task의 종류와 작업시점, 작업량(kg)을 바로 확인할 수 있다. 총 전기요금은 1,235,006원이며 이보다 더 적은 전기요금으로 주어진 조건을 모두 만족하는 일괄작업계획은 세울 수 없다.

Fig. 4에서는 부하량이 1,000kW 이하로 제한됨을 확인할 수 있고, 요금단가가 비싼 시간구간에서는 주로 태양광 발전이나 ESS의 에너지를 부하에 공급하게 됨을 알 수 있다.

Fig. 5에서는 구매전력이 한계값인 1,000kW 이하로 제한됨을 확인할 수 있고, 전기요금이 저렴한 시간대에 전기를 구매해서 ESS에 저장하게 됨을 알 수 있다.

Fig. 6에서는 대부분의 태양광 발전에너지는 부하에 직접 공급하고 전기요금이 저렴한 시간대에만 일부 에너지를 ESS의 충전에 사용하게 됨을 알 수 있다.

Fig. 7과 8은 각각 최종 산물인 Product 1과 2의 변화 그래프이다. 두 최종 산물 모두 작업종료 시점인 22시에는 목표량인 200kg과 300kg을 달성하게 된다.

Fig. 9는 ESS의 저장량 변화 그래프인데, 최대값인 2,000kWh를 넘지 않으며 일괄작업계획의 시작과 끝 시점에서의 저장량이 지정한 값인 1,000kWh를 유지함을 확인할 수 있다. 한편, 저장하는 최소값이 19시의 600kWh인데 이는 하한값인 100kWh보다 제법 커서 ESS의 용량을 충분히 활용하지 못하고 있음을 알 수 있고 PCS의 전력변환 한계를 늘릴 필요가 있다.

Table 6은 생산량 목표를 현재값에 대한 배율로 바꾸어가며 일괄작업계획을 세운 결과인데 생산량 배율이 작을수록 전기요금의 상대비율은 더 작아짐을 알 수 있다. 이는 생산량 목표가 작을수록 전기요금이 비싼 시간대에 작업을 피할 수 있기 때문으로 생각한다. 한편, 생산량이 1.4배 이상인 경우에는 주어진 조건을 모두 만족하는 해가 존재하지 않았다. 따라서, 생산목표가 현재값의 1.6배인 320kg과 480kg이면 이틀에 나누어 작업을 해야 하는데 이 경우에 작업량을 1.0배+0.6배로 하는 것보다(100+50.1=150.1%) 0.8배로 이틀 작업하는 것이(74.2×2=148.4%) 전기요금의 측면에서 이득이다.

앞서, PCS 한계의 증대가 전기요금 절약에 도움이 될 수 있음을 지적하였으므로 그 효과를 확인하고자 Table 7을 작성하였다. Table 7로부터 PCS의 한계를 현재의 3배 이상으로 늘리는 것은 별 의미가 없지만 2배 늘린다면 전기요금을 하루에 2만원 이상 줄일 수 있음을 알 수 있다. 또 ESS의 용량을 현재의 2배로 확장하면 PCS의 한계는 현재의 5배로 늘리는 것이 가장 효과적이며 이 경우에 전기요금을 하루에 6만원 가까이 줄일 수 있다.

끝으로, 몇 가지 상황을 가정하여 최적 일괄작업계획에 따른 전기요금을 비교하여 보았다. Table 8을 보면 ESS보다 태양광 발전에 따른 전기요금의 절감효과가 훨씬 큰데, 이는 ESS는 단지 전기의 사용 시간만 조절하지만 태양광 발전은 에너지를 생산하기 때문이다. 경우 3과 4를 비교해보면 ESS를 설치하면 태양광 발전만 있는 경우보다 전기요금을 2.5% 더 줄 일 수 있고, ESS와 PCS의 용량을 각각 현재의 2배와 5배로 확대하면(경우 5) 전기요금을 추가로 4% 더 줄일 수 있다. 한편, 앞서 언급한 바와 같이 본 사례연구에서는 태양광 발전량으로 그 예측값을 사용하였는데, 실제 발전량과 예측값의 차이가 큰 경우에는 본 연구의 방법으로 최적해를 구할 수 없다. 이러한 상황을 반영하려면 확률적인 최적화를 수행하여야 하는데, 이는 본 논문의 범위를 벗어나므로 고려하지 않았다.

이상과 같이 사례연구를 수행하였고 최적화에는 matlab의 혼합정수선형계획 함수 intlinprog를 이용하였다.